V246.XGP[TEX,DEK]1 - www.SailDart.org

perm filename V246.XGP[TEX,DEK]1 blob sn#382946 filedate 1978-09-27 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000453*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	←␈↓ α6␈εαSECTION␈α4.6␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β

␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε2␈ε∧0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6␈ε∞␈↓ πBP␈α␈OL␈α}YNOMIA␈α␈L␈α	ARIT␈α␈HMET␈α␈IC␈↓ 
v␈εα387
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.6.␈α
P␈α↓OL␈α|YNOMIAL␈α
ARITHME␈α␈TIC
␈βαi␈↓ ↓H␈εαT␈↓ βg␈εαw␈α␈e␈απhav␈α␈e␈αλbeen␈απstudying␈απapply␈απin␈απa␈αλnatural␈απway␈απto␈απman␈α␈y␈απdi{eren␈α␈t
␈βαn␈↓ ↓b␈ε∧HE␈αεTE␈α↓CHN␈α␈I␈α↓Q␈α␈U␈α↓ES
␈ββ∀␈↓ ↓H␈εαtypes␈α⊂of␈α⊃mathematical␈α⊂quan␈α␈tities,␈α∩not␈α⊃simply␈α⊂to␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers.␈α~In␈α⊂this␈α⊃section␈α⊂w␈α␈e
␈ββ?␈↓ ↓H␈εαshall␈α
deal␈α
with␈α
polynomials,␈αwhich␈α
are␈αthe␈α
next␈α
step␈α
up␈αfrom␈α
n␈α␈um␈α␈bers.␈αFormally
␈ββj␈↓ ↓H␈εαspeaking,␈αa␈ε∂␈αpolynomial␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ ¬␈ελS␈↓ ¬.␈εαis␈αan␈αexpression␈αof␈αthe␈αform
␈β∧6␈↓ ¬v␈εn
␈β∧<␈↓ ∧D␈ελu␈↓ ∧Z␈εα(␈↓ ∧f␈ελx␈↓ ∧x␈εα)␈α
=␈↓ ¬<␈ελu␈↓ ¬c␈ελx␈↓ ε∂␈εα+␈↓ ε;␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εm␈εα+␈↓ π→␈ελu␈↓ π<␈ελx␈↓ πW␈εα+␈↓ λβ␈ελu␈↓ λ&␈εα,␈↓ α␈εα(1)
␈β∧I␈↓ ¬Q␈εn␈↓ π.␈ε¬1␈↓ λ_␈ε¬0
␈β¬
␈↓ ↓H␈εαwhere␈αthe␈α\coe}cien␈α␈ts"␈↓ ∧E␈ελu␈↓ ∧k␈εα,␈↓ ¬↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬1␈εα,␈↓ ¬F␈ελu␈↓ ¬i␈εα,␈↓ ¬␈␈ελu␈↓ ε-␈εαare␈αelemen␈α␈ts␈αof␈αsome␈αalgebraic␈αsystem␈↓ ␈ελS␈↓ "␈εα,
␈β¬≠␈↓ ∧Y␈εn␈↓ ¬[␈ε¬1␈↓ ε∪␈ε¬0
␈β¬9␈↓ ↓H␈εαand␈α
the␈α
\variable"␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧∩␈εαmay␈α
be␈αregarded␈α
as␈αa␈α
formal␈α
sym␈α␈bol␈αwith␈α
an␈α
indeterminate
␈β¬d␈↓ ↓H␈εαmeaning.␈αWe␈α	will␈α
assume␈α
that␈α	the␈α
algebraic␈α
system␈↓ πl␈ελS␈↓ λ␈εαis␈α
a␈ε∂␈α	comm␈α␈utativ␈α␈e␈α
ring␈α	with
␈βε∂␈↓ ↓H␈ε∂iden␈α␈tity␈↓ αD␈εα;␈α
this␈αmeans␈α
that␈↓ ∧←␈ελS␈↓ ¬α␈εαadmits␈αthe␈α
operations␈α
of␈α
addition,␈α
subtraction,␈αand
␈βε:␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication,␈αsatisfying␈αthe␈αcustomary␈αproperties:␈αAddition␈αand␈αm␈α␈ultiplication
␈βεe␈↓ ↓H␈εαare␈α∞associativ␈α␈e␈α∞and␈α∞comm␈α␈utativ␈α␈e␈α∞binary␈α∂operations␈α∞de|ned␈α∞on␈↓ 	4␈ελS␈↓ 	J␈εα,␈α∂where␈α∞m␈α␈ulti-
␈βπ⊃␈↓ ↓H␈εαplication␈α∂distributes␈α⊂o␈α␈v␈α␈er␈α∂addition;␈α⊃and␈α⊂subtraction␈α∂is␈α⊂the␈α∂in␈α␈v␈α␈erse␈α⊂of␈α∂addition.
␈βπ<␈↓ ↓H␈εαThere␈αis␈α
an␈α
additiv␈α␈e␈α
iden␈α␈tity␈αelemen␈α␈t␈α
0␈α
such␈α
that␈↓ πb␈ελa␈↓ π|␈εα+␈αλ0␈α=␈↓ λu␈ελa␈↓ 	π␈εα,␈α
and␈α
a␈αm␈α␈ultiplica-
␈βπg␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈e␈α⊂iden␈α␈tity␈α⊃elemen␈α␈t␈α⊃1␈α⊃such␈α⊃that␈↓ ¬v␈ελa␈↓ ε∪␈ε⊗↓␈εα␈α1␈α∩=␈↓ πα␈ελa␈↓ π∀␈εα,␈α∩for␈α⊃all␈↓ λ#␈ελa␈↓ λF␈εαin␈↓ λu␈ελS␈↓ 	␈εα.␈α≠The␈α⊂polynomial
␈βλ
␈↓ ↓l␈εn␈↓ ↓}␈ε¬+␈↓ α≠␈εm␈↓ βX␈εn␈↓ βj␈ε¬+1␈↓ ∧y␈εn
␈βλ∩␈↓ ↓H␈εα0␈↓ ↓Z␈ελx␈↓ α8␈εα+␈↓ α←␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β␈εα+␈α∧0␈↓ βF␈ελx␈↓ ∧→␈εα+␈↓ ∧@␈ελu␈↓ ∧f␈ελx␈↓ ¬∞␈εα+␈↓ ¬5␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬b␈εα+␈↓ ε	␈ελu␈↓ ε,␈ελx␈↓ εB␈εα+␈↓ εi␈ελu␈↓ π∃␈εαis␈αλregarded␈αλas␈α	the␈αλsame␈αλpolynomial
␈βλ ␈↓ ∧T␈εn␈↓ ε≡␈ε¬1␈↓ ε}␈ε¬0
␈βλ=␈↓ ↓H␈εαas␈α(1),␈αalthough␈αits␈αexpression␈αis␈αformally␈αdi{eren␈α␈t.
␈βλi␈↓ α␈εαWe␈α⊂say␈α∂that␈α⊂(1)␈α⊂is␈α∂a␈α⊂polynomial␈α⊂of␈ε∂␈α∂degree␈↓ πG␈ελn␈↓ πl␈εαand␈ε∂␈α⊂leading␈α⊂coe}cien␈α␈t␈↓ 
`␈ελu␈↓ ⊗␈εαif
␈βλv␈↓ 
u␈εn
␈β	∀␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓x␈ε⊗≤␈εα␈α
0;␈αand␈αin␈αthis␈αcase␈αw␈α␈e␈αwrite
␈β	!␈↓ ↓\␈εn
␈β	e␈↓ ∧c␈εαdeg␈↓ ¬→␈εα(␈↓ ¬%␈ελu␈↓ ¬:␈εα)␈α
=␈↓ ¬}␈ελn␈↓ ε∀␈εα,␈↓ εl␈ελ#␈↓ ε{␈εα(␈↓ ππ␈ελu␈↓ π≥␈εα)␈α
=␈↓ πa␈ελu␈↓ λπ␈εα.␈↓ α␈εα(2)
␈β	s␈↓ πu␈εn
␈β
7␈↓ ↓H␈εαBy␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tion,␈αw␈α␈e␈αalso␈αset
␈βλ␈↓ ∧W␈εαdeg␈↓ ¬
␈εα(0)␈α
=␈ε⊗␈α
␈1␈εα,␈↓ π∂␈ελ#␈↓ π∨␈εα(0)␈α
=␈α
0,␈↓ α␈εα(3)
␈βZ␈↓ ↓H␈εαwhere␈α∞\0"␈α∞denotes␈α∞the␈α∞zero␈α∞polynomial␈α∞whose␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞are␈α∞all␈α∞zero.␈α∩We␈α∞say
␈β¬␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈αis␈αa␈ε∂␈αmonic␈αpolynomial␈↓ ∧z␈εαif␈↓ ¬≤␈ελ#␈↓ ¬+␈εα(␈↓ ¬7␈ελu␈↓ ¬M␈εα)␈α
=␈α
1.
␈β0␈↓ α␈εαArithmetic␈α
on␈α
polynomials␈α∞consists␈α
primarily␈α
of␈α
addition,␈α∞subtraction,␈α
and
␈β[␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplication;␈α	in␈α	some␈αλcases,␈α	further␈α	operations␈αλsuch␈α	as␈αλdivision,␈α	exponen␈α␈tiation,
␈β
π␈↓ ↓H␈εαfactoring,␈αλand␈απtaking␈απthe␈αλgreatest␈απcommon␈απdivisor␈απare␈αλimportan␈α␈t.␈α
The␈απprocesses␈απof
␈β
2␈↓ ↓H␈εαaddition,␈α
subtraction,␈α
and␈α
m␈α␈ultiplication␈α
are␈α
de|ned␈α
in␈α
a␈α	natural␈α
way,␈αas␈α	though
␈β
]␈↓ ↓H␈εαthe␈αλvariable␈↓ β	␈ελx␈↓ β%␈εαw␈α␈ere␈αλan␈α	elemen␈α␈t␈α	of␈↓ ¬K␈ελS␈↓ ¬b␈εα:␈α
Addition␈α	and␈α	subtraction␈αλare␈α	done␈α	by␈αλadding
␈β∞λ␈↓ ↓H␈εαor␈απsubtracting␈απthe␈απcoe}cien␈α␈ts␈απof␈αλlik␈α␈e␈απpo␈α␈w␈α␈ers␈απof␈↓ π␈ελx␈↓ π≡␈εα.␈α
Multiplication␈αλis␈απdone␈απby␈απthe␈απrule
␈β∞T␈↓ β≥␈εr␈↓ ¬&␈εs␈↓ λ∪␈εr␈↓ λ!␈ε¬+␈↓ λ>␈εs
␈β∞Z␈↓ α\␈εα(␈↓ αh␈ελu␈↓ β
␈ελx␈↓ β2␈εα+␈↓ β↑␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧⊂␈εα+␈↓ ∧<␈ελu␈↓ ∧←␈εα)(␈↓ ∧w␈ελv␈↓ ¬∪␈ελx␈↓ ¬:␈εα+␈↓ ¬f␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε_␈εα+␈↓ εD␈ελv␈↓ εb␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ π2␈ελw␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λR␈εα+␈↓ λ}␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	0␈εα+␈↓ 	\␈ελw␈↓ 
α␈εα),
␈β∞g␈↓ α|␈εr␈↓ ∧P␈ε¬0␈↓ ¬π␈εs␈↓ εT␈ε¬0␈↓ πJ␈εr␈↓ πX␈ε¬+␈↓ πt␈εs␈↓ 	t␈ε¬0
␈β∂+␈↓ ↓H␈εαwhere
␈β∂V␈↓ β[␈ελw␈↓ ∧␈εα=␈↓ ∧9␈ελu␈↓ ∧\␈ελv␈↓ ¬β␈εα+␈↓ ¬/␈ελu␈↓ ¬R␈ελv␈↓ ε#␈εα+␈↓ εO␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π↓␈εα+␈↓ π-␈ελu␈↓ π{␈ελv␈↓ λ"␈εα+␈↓ λN␈ελu␈↓ λq␈ελv␈↓ 	∂␈εα.␈↓ α␈εα(4)
␈β∂d␈↓ βs␈εk␈↓ ∧N␈ε¬0␈↓ ∧l␈εk␈↓ ¬C␈ε¬1␈↓ ¬a␈εk␈↓ ¬p␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πB␈εk␈↓ πP␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ␈ε¬1␈↓ λb␈εk␈↓ 	↓␈ε¬0
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαIn␈αthe␈αlatter␈αform␈α␈ula␈↓ ∧→␈ελu␈↓ ∧E␈εαor␈↓ ∧q␈ελv␈↓ ¬~␈εαare␈αtreated␈αas␈αzero␈αif␈↓ πl␈ελi␈↓ λ∧␈εα>␈↓ λ2␈ελr␈↓ λM␈εαor␈↓ λy␈ελj␈↓ 	∀␈εα>␈↓ 	B␈ελs␈↓ 	Q␈εα.
␈β⊂&␈↓ ∧-␈εi␈↓ ¬␈εj
␈β⊂D␈↓ α␈εαThe␈α	algebraic␈α	system␈↓ ∧\␈ελS␈↓ ∧|␈εαis␈αλusually␈α	the␈α	set␈α	of␈α	in␈α␈tegers,␈α	or␈α	the␈α	rational␈αλn␈α␈um␈α␈bers;
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαor␈α∞it␈α∞may␈α∞itself␈α∞be␈α∞a␈α∞set␈α∞of␈α∞polynomials␈α∞(in␈α∞variables␈α∞other␈α∞than␈↓ 	R␈ελx␈↓ 	e␈εα);␈α∂in␈α∞the␈α∞lat-
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαter␈αsituation␈α(1)␈αis␈αa␈ε∂␈αm␈α␈ultivariate␈εα␈αpolynomial,␈αa␈αpolynomial␈αin␈αsev␈α␈eral␈αvariables.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα388␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
}4.6
␈βα(␈↓ ↓H␈εαAnother␈α
importan␈α␈t␈α∞case␈α
occurs␈α
when␈α∞the␈α
algebraic␈α∞system␈↓ λn␈ελS␈↓ 	∩␈εαconsists␈α∞of␈α
the␈α
in-
␈βαS␈↓ ↓H␈εαtegers␈α
0,␈α1,␈↓ α{␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β+␈εα,␈↓ β@␈ελm␈↓ βe␈ε⊗␈␈εα␈αε1,␈α
with␈αaddition,␈α
subtraction,␈αand␈α
m␈α␈ultiplication␈α
performed
␈βα}␈↓ ↓H␈εαmod␈↓ α~␈ελm␈↓ αG␈εα(cf.␈α∞Eq.␈α∞4.3.2↑11);␈α∂this␈α∂is␈α∞called␈ε∂␈α∞polynomial␈α∞arithmetic␈α∞modulo␈↓ 
3␈ελm␈↓ 
R␈ε∂.␈εα␈α∩The
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαspecial␈αcase␈α
of␈αpolynomial␈α
arithmetic␈αmodulo␈α2,␈α
when␈α
each␈αof␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈αis
␈ββU␈↓ ↓H␈εα0␈αor␈α1,␈αis␈αespecially␈αimportan␈α␈t.
␈β∧β␈↓ α␈εαThe␈α∂reader␈α∂should␈α∂note␈α∂the␈α∂similarity␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂polynomial␈α∂arithmetic␈α∞and
␈β∧.␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiple-precision␈α⊂arithmetic␈α⊃(Section␈α⊃4.3.1),␈α∩where␈α⊂the␈α⊃radix␈↓ 	5␈ελb␈↓ 	T␈εαis␈α⊂substituted
␈β∧T␈↓ λ∪␈εk
␈β∧Y␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ ↓⎇␈ελx␈↓ α⊂␈εα.␈αThe␈α
chief␈α	di{erence␈α
is␈α	that␈α
the␈α	coe}cien␈α␈t␈↓ π-␈ελu␈↓ πY␈εαof␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ+␈εαin␈α
polynomial␈α	arithmetic
␈β∧g␈↓ πA␈εk
␈β¬¬␈↓ ↓H␈εαbears␈α	little␈α	or␈α	no␈α	essen␈α␈tial␈α	relation␈α
to␈α	its␈α	neigh␈α␈boring␈α	coe}cien␈α␈ts␈↓ 	&␈ελu␈↓ 	t␈εα,␈α
so␈α	the␈α	idea
␈β¬∩␈↓ 	;␈εk␈↓ 	I␈ε→ε␈ε¬1
␈β¬0␈↓ ↓H␈εαof␈α	\carrying"␈α	from␈α
one␈α	place␈α	to␈α
the␈α	next␈α	is␈α
absen␈α␈t.␈αIn␈α	fact,␈α
polynomial␈α	arithmetic
␈β¬[␈↓ ↓H␈εαmodulo␈↓ αK␈ελb␈↓ αi␈εαis␈α⊂essen␈α␈tially␈α∂iden␈α␈tical␈α⊂to␈α∂m␈α␈ultiple-precision␈α⊂arithmetic␈α∂with␈α⊂radix␈↓ ∀␈ελb␈↓ "␈εα,
␈βεε␈↓ ↓H␈εαex␈α␈cept␈αλthat␈αλall␈αλcarries␈αλare␈αλsuppressed.␈αFor␈αλexample,␈α	compare␈αλthe␈αλm␈α␈ultiplication␈αλof
␈βε1␈↓ ↓H␈εα(1101␈↓ α≤␈εα)␈↓ α>␈εαby␈α	(1011␈↓ βC␈εα)␈↓ βe␈εαin␈α	the␈αλbinary␈αλn␈α␈um␈α␈ber␈αλsystem␈α	with␈αλthe␈αλanalogous␈αλm␈α␈ultiplication
␈βε?␈↓ α(␈ε¬2␈↓ βO␈ε¬2
␈βεX␈↓ α∧␈ε¬3␈↓ αZ␈ε¬2␈↓ ∧↓␈ε¬3
␈βε]␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελx␈↓ α≠␈εα+␈↓ αG␈ελx␈↓ αp␈εα+␈αλ1␈αby␈↓ βn␈ελx␈↓ ∧↔␈εα+␈↓ ∧C␈ελx␈↓ ∧↑␈εα+␈αλ1␈αmodulo␈α2:
␈βπ>␈↓ αg␈εαBinary␈αsyst␈↓ ∧≠␈εαem␈↓ π1␈εαPolynomials␈αm␈↓ 	→␈εαodulo␈α2
␈βπq␈↓ βS␈εα1101␈↓ λQ␈εα1101
␈βλ≤␈↓ β'␈ε⊗α␈εα␈αλ1011␈↓ λ%␈ε⊗α␈εα␈αλ1011
␈βλA␈↓ β∨␈∧λAβ∨α⎇␈↓ λ≥␈∧λAλ≥α⎇
␈βλM␈↓ βS␈εα1101␈↓ λQ␈εα1101
␈βλx␈↓ βA␈εα1101␈↓ λ?␈εα1101
␈β	$␈↓ β≥␈εα1101␈↓ λ≠␈εα1101
␈β	I␈↓ β≥␈∧	Iβ≥α}␈↓ λ≠␈∧	Iλ≠α}
␈β	U␈↓ β␈εα10001111␈↓ λ≠␈εα1111111
␈β
4␈↓ ↓H␈εαThe␈α	product␈αλof␈α	these␈α	polynomials␈α	modulo␈α	2␈α	is␈α	obtained␈α	by␈α	suppressing␈α	all␈αλcarries,
␈β
Z␈↓ α]␈ε¬6␈↓ β(␈ε¬5␈↓ βs␈ε¬4␈↓ ∧>␈ε¬3␈↓ ¬	␈ε¬2
␈β
←␈↓ ↓H␈εαand␈αλit␈αλis␈↓ αJ␈ελx␈↓ αn␈εα+␈↓ β∃␈ελx␈↓ β:␈εα+␈↓ β`␈ελx␈↓ ∧¬␈εα+␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧P␈εα+␈↓ ∧w␈ελx␈↓ ¬≠␈εα+␈↓ ¬B␈ελx␈↓ ¬W␈εα+␈αβ1.␈αIf␈αλw␈α␈e␈α	had␈αλm␈α␈ultiplied␈αλthe␈αλsame␈αλpolynomials
␈β␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers,␈αwithout␈αtaking␈αresidues␈αmodulo␈α2,␈αthe␈αresult␈αw␈α␈ould␈αhav␈α␈e␈αbeen
␈β1␈↓ ↓Z␈ε¬6␈↓ α/␈ε¬5␈↓ β∧␈ε¬4␈↓ βk␈ε¬3␈↓ ∧?␈ε¬2
␈β6␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓q␈εα+␈↓ α≤␈ελx␈↓ αE␈εα+␈↓ αq␈ελx␈↓ β~␈εα+␈αλ3␈↓ βX␈ελx␈↓ ∧↓␈εα+␈↓ ∧-␈ελx␈↓ ∧V␈εα+␈↓ ¬↓␈ελx␈↓ ¬≤␈εα+␈αλ1;␈αagain␈αcarries␈αare␈αsuppressed,␈αbut␈αin␈αthis␈αcase
␈βa␈↓ ↓H␈εαthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αcan␈αget␈αarbitrarily␈αlarge.
␈β∂␈↓ α␈εαIn␈α∞view␈α
of␈α∞this␈α∞strong␈α∞analogy␈α
with␈α∞m␈α␈ultiple-precision␈α∞arithmetic,␈α∞it␈α∞is␈α
un-
␈β:␈↓ ↓H␈εαnecessary␈αto␈α
discuss␈αpolynomial␈α
addition,␈α
subtraction,␈αand␈α
m␈α␈ultiplication␈αm␈α␈uch
␈βf␈↓ ↓H␈εαfurther␈απin␈αλthis␈αλsection.␈αHo␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αλw␈α␈e␈αλshould␈αλpoin␈α␈t␈αλout␈απsome␈αλfactors␈αλthat␈αλoften␈απmak␈α␈e
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εαpolynomial␈αarithmetic␈αsomewhat␈αdi{eren␈α␈t␈αfrom␈αm␈α␈ultiple-precision␈αarithmetic␈αin
␈β
<␈↓ ↓H␈εαpractice:␈α∞There␈α
is␈α
often␈α∞a␈α
tendency␈α
to␈α
hav␈α␈e␈α
a␈α∞large␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
zero␈α
coe}cien␈α␈ts,
␈β
g␈↓ ↓H␈εαand␈α	polynomials␈α
of␈α
h␈α␈uge␈α	degrees,␈α
so␈α
special␈α
forms␈α	of␈α
represen␈α␈tation␈α
are␈α	desirable;
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εαthis␈αsituation␈αis␈αconsidered␈αin␈αSection␈α2.2.4.␈αFurthermore,␈αarithmetic␈αon␈αpolyno-
␈β∞>␈↓ ↓H␈εαmials␈α	in␈α	sev␈α␈eral␈α	variables␈α	leads␈α	to␈α	routines␈α
that␈α	are␈α	best␈α	understood␈α	in␈α	a␈α	recursiv␈α␈e
␈β∞i␈↓ ↓H␈εαframew␈α␈ork;␈αthis␈αsituation␈αis␈αdiscussed␈αin␈αChapter␈α8.
␈β∂↔␈↓ α␈εαAlthough␈α⊃the␈α⊃techniques␈α⊃of␈α⊃polynomial␈α∩addition,␈α∩subtraction,␈α∩and␈α⊃m␈α␈ulti-
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαplication␈α∞are␈α∂comparativ␈α␈ely␈α∂straigh␈α␈tforward,␈α∂there␈α∂are␈α∂sev␈α␈eral␈α∂other␈α∞importan␈α␈t
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαaspects␈α	of␈α	polynomial␈α	arithmetic␈α	that␈α	deserv␈α␈e␈αλspecial␈α	examination.␈αThe␈α	follo␈α␈wing
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαsubsections␈α
therefore␈αdiscuss␈ε∂␈αdivision␈εα␈αof␈αpolynomials,␈αwith␈αassociated␈α
techniques
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαsuch␈α	as␈α
|nding␈α	greatest␈α
common␈α
divisors␈α	and␈α
factoring.␈αWe␈α
shall␈α	also␈α
discuss␈α	the
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαproblem␈αof␈αe}cien␈α␈t␈ε∂␈αevaluation␈εα␈αof␈αpolynomials,␈αi.e.,␈αthe␈αtask␈αof␈α|nding␈αthe␈αvalue
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελu␈↓ απ␈εα(␈↓ α∪␈ελx␈↓ α&␈εα)␈αwhen␈↓ β≤␈ελx␈↓ β;␈εαis␈αa␈αgiv␈α␈en␈αelemen␈α␈t␈αof␈↓ ε␈ελS␈↓ ε"␈εα,␈αusing␈αas␈αfew␈αoperations␈αas␈αpossible.␈αThe
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα389
␈βα#␈↓ ∧p␈εn
␈βα(␈↓ ↓H␈εαspecial␈αcase␈αof␈αevaluating␈↓ ∧]␈ελx␈↓ ¬
␈εαrapidly␈αwhen␈↓ εe␈ελn␈↓ πε␈εαis␈αlarge␈αis␈αquite␈αimportan␈α␈t␈α
by␈αitself,
␈βαS␈↓ ↓H␈εαso␈αit␈αis␈αdiscussed␈αin␈αdetail␈αin␈αSection␈α4.6.3.
␈ββ↓␈↓ α␈εαThe␈α
|rst␈α
major␈α
set␈α
of␈α
computer␈α
subroutines␈α
for␈α
doing␈α
polynomial␈α
arithmetic
␈ββ,␈↓ ↓H␈εαwas␈α
the␈α
ALP␈α⎇AK␈α
system␈α[W.␈α
S.␈α
Bro␈α␈wn,␈αJ.␈α
P.␈α
Hyde,␈αand␈α
B.␈α
A.␈αTague,␈ε∂␈α
Bell␈α
System
␈ββW␈↓ ↓H␈ε∂Tech.␈α∞J.␈ε∩␈α∂42␈εα␈α∂(1963),␈α∂2081↑2119;␈ε∩␈α⊃43␈εα␈α∞(1964),␈α⊂785↑804,␈α∂1547↑1562].␈α∃Another␈α∞early
␈β∧α␈↓ ↓H␈εαlandmark␈α∞in␈α∞this␈α∞|eld␈α∞was␈α∞the␈α∞PM␈α∞system␈α∞of␈α∞George␈α
Collins␈α∞[␈ε∂CA␈α␈CM␈ε∩␈α∞9␈εα␈α∞(1966),
␈β∧-␈↓ ↓H␈εα578↑589];␈αsee␈αalso␈αC.␈αL.␈αHam␈α␈blin,␈ε∂␈αComp.␈αJ.␈ε∩␈α10␈εα␈α(1967),␈α168↑171.
␈β¬H␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈βε≡␈↓ 
[␈εε2
␈βε#␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗If␈αλw␈α␈e␈αλa␈α␈re␈αλd␈α␈oing␈απp␈α␈olyn␈α␈omial␈αλa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈απmod␈α␈ulo␈απ10␈α␈,␈α	wha␈α␈t␈αλis␈αλ7␈↓ 	≠␈ε	x␈↓ 	0␈εβ+␈αβ2␈απmin␈α␈u␈α␈s␈↓ 
J␈ε	x␈↓ 
k␈εβ+␈αβ3␈α␈?
␈βεF␈↓ αg␈εε2␈↓ ∧|␈εε2
␈βεJ␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈at␈αis␈α6␈↓ αV␈ε	x␈↓ α{␈εβ+␈↓ β$␈ε	x␈↓ β=␈εβ+␈αλ3␈α
ti␈α↓m␈α␈es␈α5␈↓ ∧k␈ε	x␈↓ ¬⊂␈εβ+␈αλ2?
␈βπ¬␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	17␈↓ α;␈εβ]␈α⊗True␈α∂o␈α␈r␈α∂f␈α↓a␈α␈lse:␈α"(a␈α␈)␈α⊂Th␈α␈e␈α∂pro␈α␈du␈α␈ct␈α∂of␈α∂mon␈α␈ic␈α∂po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∂i␈α↓s␈α∂mo␈α␈nic.␈α!(b)␈α∂The
␈βπ-␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uct␈α
of␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈αo␈α␈f␈αres␈α␈pectiv␈α}e␈αd␈α␈egre␈α␈es␈↓ εV␈ε	m␈↓ ε⎇␈εβan␈α␈d␈↓ π=␈ε	n␈↓ π\␈εβh␈α␈as␈α
deg␈α␈ree␈↓ λ⎇␈ε	m␈↓ 	!␈εβ+␈↓ 	I␈ε	n␈↓ 	]␈εβ.␈α_(c)␈α
The␈α
sum
␈βπT␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈αof␈αrespe␈α␈ctiv␈α␈e␈αd␈α␈egree␈α␈s␈↓ ¬]␈ε	m␈↓ εε␈εβa␈α␈nd␈↓ εF␈ε	n␈↓ εf␈εβh␈α␈as␈αd␈α␈egree␈↓ λλ␈εβmax␈↓ λG␈εβ(␈↓ λR␈ε	m␈↓ λp␈εβ,␈↓ λ}␈ε	n␈↓ 	∪␈εβ).
␈βλ∂␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗If␈α	eac␈α␈h␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s␈↓ ¬a␈ε	u␈↓ ε↓␈εβ,␈↓ ε∀␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε@␈εβ,␈↓ εS␈ε	u␈↓ εr␈εβ,␈↓ π¬␈ε	v␈↓ π∨␈εβ,␈↓ π2␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π↑␈εβ,␈↓ πq␈ε	v␈↓ λ∃␈εβi␈α↓n␈αλ(4)␈α	is␈α	an␈α	in␈α}teger␈α	sa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing
␈βλ→␈↓ ¬u␈εr␈↓ εf␈εε0␈↓ π∀␈εs␈↓ λ␈εε0
␈βλ6␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈απcon␈α␈dition␈α␈s␈ε↔␈αλj␈↓ β"␈ε	u␈↓ β@␈ε↔j␈α	∀␈↓ β⎇␈ε	m␈↓ ∧&␈εβ,␈ε↔␈αλj␈↓ ∧@␈ε	v␈↓ ∧[␈ε↔j␈α
∀␈↓ ¬_␈ε	m␈↓ ¬A␈εβ,␈α	wh␈α␈at␈απis␈αλth␈α␈e␈απmax␈α␈i␈α↓m␈α}um␈απab␈α␈solut␈α␈e␈αλv␈α␈alue␈απo␈α␈f␈αλth␈α␈e␈αλp␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t
␈βλA␈↓ β5␈εi␈↓ ∧→␈εε1␈↓ ∧O␈εj␈↓ ¬5␈εε2
␈βλ↑␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈↓ αo␈ε	w␈↓ β∩␈εβ?
␈βλi␈↓ β¬␈εk
␈β	∃␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	→␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	21␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Can␈αthe␈αm␈α␈ultiplication␈αof␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αmo␈α␈du␈α␈lo␈α2␈αb␈α␈e␈αfacilitated␈αby␈αusing␈αthe
␈β	@␈↓ ↓H␈εβo␈α␈rdin␈α␈ary␈α∞arith␈α␈metic␈α∞op␈α␈eration␈α␈s␈α∞on␈α∞a␈α∞b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
comp␈α␈ute␈α␈r,␈α⊂if␈α∞coe}␈α␈ci␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α∞are␈α∞p␈α␈ack␈α}ed␈α∞in␈α␈to
␈β	h␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uter␈αw␈α␈o␈α␈rds?
␈β
∨␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
#␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αho␈α}w␈αto␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈αt␈α␈w␈α␈o␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈eg␈α␈ree␈ε↔␈α∀␈↓ λx␈ε	n␈↓ 	␈εβ,␈αm␈α␈odu␈α␈lo␈α2␈α␈,␈αwith␈αan
␈β
F␈↓ ¬9␈εεlg␈↓ ¬Q␈εε3
␈β
J␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ecu␈α␈tion␈απtime␈αλp␈α␈rop␈α␈ortion␈α␈al␈αλto␈↓ ¬α␈ε	O␈↓ ¬~␈εβ(␈↓ ¬%␈ε	n␈↓ ¬↑␈εβ)␈αλwh␈α␈en␈↓ εD␈ε	n␈↓ ε`␈εβis␈αλlarg␈α␈e,␈α	b␈α␈y␈απad␈α␈aptin␈α␈g␈αλKa␈α␈ratsu␈α␈ba␈α␈'␈α↓s␈απmeth␈α␈od
␈β
r␈↓ ↓H␈εβ(cf.␈αS␈α␈ection␈α4␈α␈.3.3).
␈βε␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.6.1.␈α
Div␈α↓ision␈α∞o␈α␈f␈α∞Polyn␈α↓o␈α␈m␈α↓ials
␈βO␈↓ ↓H␈εαIt␈αλis␈αλpossible␈αλto␈α	divide␈αλone␈αλpolynomial␈α	by␈αλanother␈αλin␈αλessen␈α␈tially␈α	the␈αλsame␈αλway␈αλthat
␈βz␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈απdivide␈απone␈απm␈α␈ultiple-precision␈απin␈α␈teger␈απby␈αλanother,␈αλwhen␈απarithmetic␈απis␈απbeing␈απdone
␈β
&␈↓ ↓H␈εαon␈αpolynomials␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αa␈α
\|eld."␈α
A␈α|eld␈↓ ε"␈ελS␈↓ εE␈εαis␈αa␈αcomm␈α␈utativ␈α␈e␈α
ring␈αwith␈α
iden␈α␈tity,␈αin
␈β
Q␈↓ ↓H␈εαwhich␈α	exact␈α
division␈α	is␈α	possible␈α
as␈α	w␈α␈ell␈α
as␈α	the␈α
operations␈α	of␈α	addition,␈α
subtraction,
␈β
|␈↓ ↓H␈εαand␈α
m␈α␈ultiplication;␈αthis␈αmeans␈αas␈α
usual␈αthat␈α
whenev␈α␈er␈↓ λ∨␈ελu␈↓ λ?␈εαand␈↓ 	∧␈ελv␈↓ 	!␈εαare␈αelemen␈α␈ts␈αof␈↓ ⊗␈ελS
␈β∞'␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελv␈↓ α,␈ε⊗≤␈εα␈α0,␈α
there␈α
is␈αan␈α
elemen␈α␈t␈↓ ¬?␈ελw␈↓ ¬f␈εαin␈↓ ε⊃␈ελS␈↓ ε4␈εαsuch␈α
that␈↓ πV␈ελu␈↓ πw␈εα=␈↓ λ&␈ελv␈↓ λ9␈ελw␈↓ λT␈εα.␈α∞The␈α
most␈αimportan␈α␈t
␈β∞R␈↓ ↓H␈εα|elds␈αof␈αcoe}cien␈α␈ts␈αthat␈αarise␈αin␈αapplications␈αare
␈β∂⊃␈↓ ↓b␈εαa)␈↓ α␈εαthe␈αrational␈αn␈α␈um␈α␈bers␈α(represen␈α␈ted␈αas␈αfractions,␈αsee␈αSection␈α4.5.1);
␈β∂>␈↓ ↓`␈εαb)␈↓ α␈εαthe␈α∞real␈α∂or␈α∞complex␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂(represen␈α␈ted␈α∞within␈α∞a␈α∂computer␈α∞by␈α∞means␈α∞of
␈β∂i␈↓ α␈εα⎇oating-poin␈α␈t␈αappro␈α␈ximations;␈αsee␈αSection␈α4.2);
␈β⊂↔␈↓ ↓d␈εαc)␈↓ α␈εαthe␈α
in␈α␈tegers␈α
modulo␈↓ ∧Q␈ελp␈↓ ∧q␈εαwhere␈↓ ¬Y␈ελp␈↓ ¬y␈εαis␈αprime␈α
(with␈α
division␈α
implemen␈α␈ted␈α
as␈αsug-
␈β⊂B␈↓ α␈εαgested␈αin␈αex␈α␈ercise␈α4.5.2↑15);
␈β⊂o␈↓ ↓`␈εαd)␈↓ α␈εα\rational␈α	functions"␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλa␈α	|eld␈αλ(namely,␈α
quotien␈α␈ts␈αλof␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλpolynomials␈αλwhose
␈β⊃~␈↓ α␈εαcoe}cien␈α␈ts␈αare␈αin␈αthat␈α|eld,␈αthe␈αdenominator␈αbeing␈αmonic).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα390␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα(␈↓ ↓H␈εαOf␈α	special␈α	importance␈α	is␈α	the␈α	|eld␈α	of␈α	in␈α␈tegers␈α	modulo␈α	2,␈α	when␈α	the␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	values␈α	0␈α	and
␈βαS␈↓ ↓H␈εα1␈αare␈αthe␈αonly␈αelemen␈α␈ts␈αof␈αthe␈α|eld.␈αPolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthis␈α|eld␈α(namely␈αpolyno-
␈βα}␈↓ ↓H␈εαmials␈α
modulo␈α
2)␈α
hav␈α␈e␈α∞man␈α␈y␈α
analogies␈α
to␈α
in␈α␈tegers␈α∞expressed␈α
in␈α
binary␈α
notation;
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαand␈α
rational␈αfunctions␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
this␈α|eld␈αhav␈α␈e␈αstriking␈α
analogies␈αto␈αrational␈α
n␈α␈um␈α␈bers
␈ββU␈↓ ↓H␈εαwhose␈αn␈α␈umerator␈αand␈αdenominator␈αare␈αrepresen␈α␈ted␈αin␈αbinary␈αnotation.
␈β∧↓␈↓ α␈εαGiv␈α␈en␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλpolynomials␈↓ ∧s␈ελu␈↓ ¬	␈εα(␈↓ ¬∃␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈αλand␈↓ ¬|␈ελv␈↓ ε∂␈εα(␈↓ ε≠␈ελx␈↓ ε.␈εα)␈απo␈α␈v␈α␈er␈απa␈απ|eld,␈α	with␈↓ λE␈ελv␈↓ λX␈εα(␈↓ λd␈ελx␈↓ λw␈εα)␈ε⊗␈α
≤␈εα␈α
0,␈αλw␈α␈e␈απcan␈απdivide
␈β∧,␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈α∞by␈↓ αL␈ελv␈↓ α←␈εα(␈↓ αk␈ελx␈↓ α⎇␈εα)␈α∞to␈α∞obtain␈α∞a␈α∞quotien␈α␈t␈α∞polynomial␈↓ π"␈ελq␈↓ π2␈εα(␈↓ π>␈ελx␈↓ πQ␈εα)␈α∞and␈α∞a␈α∞remainder␈α
polynomial
␈β∧W␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εα(␈↓ ↓c␈ελx␈↓ ↓v␈εα)␈αsatisfying␈αthe␈αconditions
␈β¬/␈↓ βQ␈ελu␈↓ βg␈εα(␈↓ βs␈ελx␈↓ ∧¬␈εα)␈α
=␈↓ ∧I␈ελq␈↓ ∧Z␈εα(␈↓ ∧f␈ελx␈↓ ∧x␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ¬≡␈ελv␈↓ ¬1␈εα(␈↓ ¬=␈ελx␈↓ ¬P␈εα)␈αλ+␈↓ ε⊂␈ελr␈↓ ε ␈εα(␈↓ ε,␈ελx␈↓ ε>␈εα),␈↓ π"␈εαdeg␈↓ πX␈εα(␈↓ πd␈ελr␈↓ πt␈εα)␈α
<␈↓ λ8␈εαdeg␈↓ λn␈εα(␈↓ λz␈ελv␈↓ 	
␈εα).␈↓ α␈εα(1)
␈β¬h␈↓ 	,␈ε↓␈␈↓ 
?␈ε↓↓
␈βελ␈↓ ↓H␈εαIt␈α
is␈α
easy␈α∞to␈α
see␈α∞that␈α
there␈α∞is␈α
at␈α
most␈α∞one␈α
pair␈α∞of␈α
polynomials␈↓ 	:␈ελq␈↓ 	J␈εα(␈↓ 	V␈ελx␈↓ 	h␈εα),␈↓ 
∧␈ελr␈↓ 
∀␈εα(␈↓ 
 ␈ελx␈↓ 
3␈εα)␈↓ 
Z␈εαsatis-
␈βε∪␈↓ π!␈ε↓␈␈↓ λK␈ε↓↓␈↓ 	-␈ε↓␈␈↓ 
W␈ε↓↓
␈βε3␈↓ ↓H␈εαfying␈α
these␈α
relations;␈α∞for␈α
if␈α
(1)␈α
holds␈α
for␈α∞both␈↓ π/␈ελq␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ πi␈εα),␈↓ λ¬␈ελr␈↓ λ ␈εα(␈↓ λ,␈ελx␈↓ λ?␈εα)␈↓ λf␈εαand␈↓ 	;␈ελq␈↓ 	W␈εα(␈↓ 	c␈ελx␈↓ 	u␈εα),␈↓ 
⊃␈ελr␈↓ 
,␈εα(␈↓ 
8␈ελx␈↓ 
K␈εα)␈↓ 
r␈εαand
␈βε@␈↓ π<␈ε¬1␈↓ λ∩␈ε¬1␈↓ 	H␈ε¬2␈↓ 
≡␈ε¬2
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαfor␈α∞the␈α∞same␈α∞polynomials␈↓ ∧h␈ελu␈↓ ∧}␈εα(␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬≤␈εα),␈↓ ¬8␈ελv␈↓ ¬K␈εα(␈↓ ¬W␈ελx␈↓ ¬j␈εα),␈α∂then␈↓ εc␈ελq␈↓ ε}␈εα(␈↓ π
␈ελx␈↓ π≥␈εα)␈↓ π)␈ελv␈↓ π<␈εα(␈↓ πH␈ελx␈↓ πZ␈εα)␈α
+␈↓ λ≥␈ελr␈↓ λ8␈εα(␈↓ λD␈ελx␈↓ λW␈εα)␈α∞=␈↓ 	"␈ελq␈↓ 	=␈εα(␈↓ 	I␈ελx␈↓ 	\␈εα)␈↓ 	h␈ελv␈↓ 	{␈εα(␈↓ 
π␈ελx␈↓ 
~␈εα)␈α	+␈↓ 
\␈ελr␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈βεj␈↓ ↓y␈ε↓␈␈↓ βN␈ε↓↓
␈βεk␈↓ εp␈ε¬1␈↓ λ*␈ε¬1␈↓ 	/␈ε¬2␈↓ 
i␈ε¬2
␈βπ	␈↓ ↓H␈εαso␈↓ απ␈ελq␈↓ α"␈εα(␈↓ α.␈ελx␈↓ αA␈εα)␈ε⊗␈α␈␈↓ βλ␈ελq␈↓ β#␈εα(␈↓ β/␈ελx␈↓ βB␈εα)␈↓ β\␈ελv␈↓ βo␈εα(␈↓ β{␈ελx␈↓ ∧∞␈εα)␈α∩=␈↓ ∧c␈ελr␈↓ ∧}␈εα(␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬≥␈εα)␈ε⊗␈α␈␈↓ ¬d␈ελr␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ ε␈ελx␈↓ ε≡␈εα).␈α≠No␈α␈w␈α⊃if␈↓ πN␈ελq␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελx␈↓ λ	␈εα)␈ε⊗␈α␈␈↓ λO␈ελq␈↓ λk␈εα(␈↓ λw␈ελx␈↓ 	
␈εα)␈α⊃is␈α⊃nonzero,␈α∩then
␈βπ∃␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ β'␈ε↓↓
␈βπ↔␈↓ α∀␈ε¬1␈↓ β∃␈ε¬2␈↓ ∧p␈ε¬2␈↓ ¬p␈ε¬1␈↓ π[␈ε¬1␈↓ λ\␈ε¬2
␈βπ4␈↓ ↓H␈εαdeg␈↓ α␈εα(␈↓ α_␈ελq␈↓ α6␈ε⊗␈␈↓ α]␈ελq␈↓ αx␈εα)␈ε⊗␈α∧↓␈↓ β∃␈ελv␈↓ β?␈εα=␈↓ βm␈εαdeg␈↓ ∧#␈εα(␈↓ ∧/␈ελq␈↓ ∧N␈ε⊗␈␈↓ ∧u␈ελq␈↓ ¬⊂␈εα)␈αβ+␈↓ ¬F␈εαdeg␈↓ ¬|␈εα(␈↓ ελ␈ελv␈↓ ε≠␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ ε←␈εαdeg␈↓ π∃␈εα(␈↓ π!␈ελv␈↓ π4␈εα)␈α
>␈↓ πx␈εαdeg␈↓ λ.␈εα(␈↓ λ:␈ελr␈↓ λX␈ε⊗␈␈↓ λ␈␈ελr␈↓ 	~␈εα),␈α	a␈αλcon␈α␈tradiction;
␈βπB␈↓ α%␈ε¬1␈↓ αj␈ε¬2␈↓ ∧<␈ε¬1␈↓ ¬α␈ε¬2␈↓ λG␈ε¬2␈↓ 	␈ε¬1
␈βπ`␈↓ ↓H␈εαhence␈↓ α,␈ελq␈↓ αG␈εα(␈↓ αS␈ελx␈↓ αf␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ β&␈ελq␈↓ βA␈εα(␈↓ βM␈ελx␈↓ β`␈εα)␈α
=␈α
0␈αand␈↓ ¬λ␈ελr␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελx␈↓ ¬B␈εα)␈α
=␈α
0.
␈βπm␈↓ α9␈ε¬1␈↓ β3␈ε¬2␈↓ ¬∃␈ε¬1
␈βλ␈↓ α␈εαThe␈αfollo␈α␈wing␈αalgorithm,␈αwhich␈αis␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αsame␈αas␈αAlgorithm␈α4.3.1D
␈βλ7␈↓ ↓H␈εαfor␈αm␈α␈ultiple-precision␈αdivision␈αbut␈αwithout␈αan␈α␈y␈αconcerns␈αof␈αcarries,␈αmay␈αbe␈αused
␈βλb␈↓ ↓H␈εαto␈αdetermine␈↓ β≤␈ελq␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βK␈εα)␈αand␈↓ ∧)␈ελr␈↓ ∧8␈εα(␈↓ ∧D␈ελx␈↓ ∧W␈εα):
␈β	'␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αD.␈εα␈α(␈ε∂Division␈αof␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈α|eld␈↓ π`␈εα)␈ε∩.␈εα␈α→Giv␈α␈en␈αpolynomials
␈β	y␈↓ βf␈εm␈↓ λ!␈εn
␈β	␈␈↓ α,␈ελu␈↓ αB␈εα(␈↓ αN␈ελx␈↓ αa␈εα)␈α
=␈↓ β%␈ελu␈↓ βS␈ελx␈↓ ∧λ␈εα+␈↓ ∧4␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧f␈εα+␈↓ ¬∩␈ελu␈↓ ¬5␈ελx␈↓ ¬P␈εα+␈↓ ¬|␈ελu␈↓ ε∨␈εα,␈↓ εw␈ελv␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈ελx␈↓ π(␈εα)␈α
=␈↓ πl␈ελv␈↓ λ∞␈ελx␈↓ λ;␈εα+␈↓ λg␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	→␈εα+␈↓ 	E␈ελv␈↓ 	c␈ελx␈↓ 	}␈εα+␈↓ 
*␈ελv
␈β

␈↓ β9␈εm␈↓ ¬'␈ε¬1␈↓ ε⊂␈ε¬0␈↓ π|␈εn␈↓ 	T␈ε¬1␈↓ 
9␈ε¬0
␈β
X␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αλa␈αλ|eld␈↓ αv␈ελS␈↓ β␈εα,␈α	where␈↓ ∧β␈ελv␈↓ ∧.␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αλand␈↓ ¬8␈ελm␈↓ ¬b␈ε⊗∃␈↓ ε⊂␈ελn␈↓ ε0␈ε⊗∃␈εα␈α
0,␈αλthis␈αλalgorithm␈αλ|nds␈αλthe␈αλpolynomials
␈β
e␈↓ ∧∩␈εn
␈β*␈↓ ∧$␈εm␈↓ ∧>␈ε→␈␈↓ ∧[␈εn␈↓ λA␈εn␈↓ λS␈ε→␈␈ε¬1
␈β0␈↓ αI␈ελq␈↓ αY␈εα(␈↓ αe␈ελx␈↓ αw␈εα)␈α
=␈↓ β;␈ελq␈↓ ∧⊃␈ελx␈↓ ∧u␈εα+␈↓ ¬!␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬S␈εα+␈↓ ¬␈␈ελq␈↓ ε~␈εα,␈↓ εr␈ελr␈↓ πα␈εα(␈↓ π∞␈ελx␈↓ π ␈εα)␈α
=␈↓ πd␈ελr␈↓ λ.␈ελx␈↓ 	ε␈εα+␈↓ 	2␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	d␈εα+␈↓ 
⊂␈ελr
␈β=␈↓ βH␈εm␈↓ βb␈ε→␈␈↓ β␈␈εn␈↓ ε␈ε¬0␈↓ πq␈εn␈↓ λβ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
≥␈ε¬0
␈βλ␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈↓ α⊗␈ελS␈↓ α8␈εαthat␈αsatisfy␈α(1).
␈βA␈↓ ↓H␈ε∩D1.␈↓ α␈εα[Iterate␈α∂on␈↓ βA␈ελk␈↓ βS␈εα.]␈α≡Do␈α∂step␈α∞D2␈α∂for␈↓ ελ␈ελk␈↓ ε(␈εα=␈↓ εZ␈ελm␈↓ π∧␈ε⊗␈␈↓ π2␈ελn␈↓ πG␈εα,␈↓ πa␈ελm␈↓ λ
␈ε⊗␈␈↓ λ8␈ελn␈↓ λW␈ε⊗␈␈εα␈α
1,␈↓ 	0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	`␈εα,␈α⊂0;␈α⊂then␈α∞the
␈βl␈↓ α␈εαalgorithm␈αterminates␈αwith␈α(␈↓ ¬@␈ελr␈↓ ε
␈εα,␈↓ ε~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εJ␈εα,␈↓ εZ␈ελr␈↓ εu␈εα)␈ε⊗␈α
 ␈εα␈α
(␈↓ πE␈ελu␈↓ λ↔␈εα,␈↓ λ'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λW␈εα,␈↓ λg␈ελu␈↓ 	
␈εα).
␈βy␈↓ ¬M␈εn␈↓ ¬←␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εg␈ε¬0␈↓ πZ␈εn␈↓ πl␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ{␈ε¬0
␈β
$␈↓ ↓H␈ε∩D2.␈↓ α␈εα[Division␈α⊃loop.]␈α!Set␈↓ ∧c␈ελq␈↓ ¬⊃␈ε⊗ ␈↓ ¬G␈ελu␈↓ ε_␈εα/␈↓ ε*␈ελv␈↓ εL␈εα,␈α∩and␈α⊃then␈α⊂set␈↓ λF␈ελu␈↓ λz␈ε⊗ ␈↓ 	0␈ελu␈↓ 	]␈ε⊗␈␈↓ 
␈ελq␈↓ 
'␈ελv␈↓ ␈εαfor
␈β
2␈↓ ∧p␈εk␈↓ ¬[␈εn␈↓ ¬m␈ε¬+␈↓ ε
␈εk␈↓ ε:␈εn␈↓ λ[␈εj␈↓ 	D␈εj␈↓ 
→␈εk␈↓ 
7␈εj␈↓ 
D␈ε→␈␈↓ 
a␈εk
␈β
P␈↓ α␈ελj␈↓ α&␈εα=␈↓ αT␈ελn␈↓ αo␈εα+␈↓ β↔␈ελk␈↓ β.␈ε⊗␈␈εα␈α∧1,␈↓ β|␈ελn␈↓ ∧⊗␈εα+␈↓ ∧?␈ελk␈↓ ∧U␈ε⊗␈␈εα␈α¬2,␈↓ ¬$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬T␈εα,␈↓ ¬h␈ελk␈↓ ¬y␈εα.␈α∪(The␈α
latter␈α	operation␈α
amoun␈α␈ts␈α	to␈α	replacing
␈β
v␈↓ ∧/␈εk
␈β
{␈↓ α␈ελu␈↓ α"␈εα(␈↓ α.␈ελx␈↓ α@␈εα)␈αby␈↓ β␈ελu␈↓ β"␈εα(␈↓ β.␈ελx␈↓ βA␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧↓␈ελq␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧>␈ελv␈↓ ∧Q␈εα(␈↓ ∧]␈ελx␈↓ ∧o␈εα),␈αa␈αpolynomial␈αof␈αdegree␈α<␈↓ λ1␈ελn␈↓ λO␈εα+␈↓ λ{␈ελk␈↓ 	
␈εα.)
␈β∞␈↓ 	J␈∧∞	J≠∂
␈β∞λ␈↓ ∧∞␈εk
␈β∞@␈↓ α␈εαAn␈αexample␈α
of␈αAlgorithm␈α
D␈αappears␈α
belo␈α␈w␈αin␈α
(5).␈αThe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈αof␈α
arithmetic
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαoperations␈α∂is␈α⊂essen␈α␈tially␈α∂proportional␈α⊂to␈↓ εR␈ελn␈↓ εh␈εα(␈↓ εt␈ελm␈↓ π≡␈ε⊗␈␈↓ πM␈ελn␈↓ πm␈εα+␈α
1).␈α↔For␈α∂some␈α⊂reason␈α∂this
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εαprocedure␈αhas␈αbecome␈α
kno␈α␈wn␈αas␈α
\syn␈α␈thetic␈αdivision"␈αof␈α
polynomials.␈α
Note␈αthat
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαexplicit␈αdivision␈αof␈αcoe}cien␈α␈ts␈αis␈αdone␈αonly␈αat␈αthe␈αbeginning␈αof␈αstep␈αD2,␈αand␈αthe
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαdivisor␈α
is␈αalways␈↓ βS␈ελv␈↓ βu␈εα;␈αth␈α␈us␈αif␈↓ ∧x␈ελv␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬*␈εα)␈α
is␈αa␈α
monic␈αpolynomial␈α
(with␈↓ λ⎇␈ελv␈↓ 	)␈εα=␈α
1),␈α
there␈αis␈α
no
␈β∂z␈↓ βc␈εn␈↓ 	
␈εn
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαactual␈α
division␈αat␈α
all.␈α∂If␈α
m␈α␈ultiplication␈α
is␈α
easier␈α
to␈α
perform␈α
than␈α
division␈α
it␈αwill
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εαbe␈α
preferable␈αto␈α
compute␈α1/␈↓ ∧|␈ελv␈↓ ¬(␈εαat␈α
the␈αbeginning␈α
of␈αthe␈α
algorithm␈αand␈α
to␈α
m␈α␈ultiply
␈β⊂Q␈↓ ¬␈εn
␈β⊂n␈↓ ↓H␈εαby␈αthis␈αquan␈α␈tity␈αin␈αstep␈αD2.
␈β⊃~␈↓ α␈εαWe␈αshall␈αoccasionally␈αwrite␈↓ ¬D␈ελu␈↓ ¬Z␈εα(␈↓ ¬f␈ελx␈↓ ¬x␈εα)␈↓ ε
␈εαmod␈↓ εT␈ελv␈↓ εg␈εα(␈↓ εs␈ελx␈↓ πε␈εα)␈αfor␈αthe␈αremainder␈↓ 	>␈ελr␈↓ 	N␈εα(␈↓ 	Z␈ελx␈↓ 	m␈εα)␈αin␈α(1).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα391
␈βα(␈↓ ↓H␈ε∩Unique␈α
factorization␈α
domains.␈εα␈α≤If␈α
w␈α␈e␈α
restrict␈α∞consideration␈α
to␈α
polynomials␈α
o␈α␈v␈α␈er
␈βαS␈↓ ↓H␈εαa␈α|eld,␈α
w␈α␈e␈αare␈α
not␈αcoming␈α
to␈α
grips␈αwith␈α
man␈α␈y␈αimportan␈α␈t␈α
cases,␈αsuch␈α
as␈αpolyno-
␈βα}␈↓ ↓H␈εαmials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers␈αor␈αpolynomials␈αin␈αsev␈α␈eral␈αvariables.␈αLet␈αus␈αtherefore␈αno␈α␈w
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαconsider␈αthe␈αmore␈αgeneral␈αsituation␈αthat␈αthe␈αalgebraic␈αsystem␈↓ 	∃␈ελS␈↓ 	7␈εαof␈αcoe}cien␈α␈ts␈αis
␈ββU␈↓ ↓H␈εαa␈ε∂␈α∞unique␈α∂factorization␈α∞domain␈εα,␈α∂not␈α∂necessarily␈α∞a␈α∂|eld.␈α∀This␈α∞means␈α∂that␈↓ 
O␈ελS␈↓ 
t␈εαis␈α∞a
␈β∧␈↓ ↓H␈εαcomm␈α␈utativ␈α␈e␈αring␈αwith␈αiden␈α␈tity,␈αand␈αthat
␈β∧4␈↓ ↓j␈εαi)␈↓ α␈ελu␈↓ α"␈ελv␈↓ α>␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈αwhenev␈α␈er␈↓ ∧3␈ελu␈↓ ∧U␈εαand␈↓ ¬≠␈ελv␈↓ ¬:␈εαare␈αnonzero␈αelemen␈α␈ts␈αof␈↓ λ9␈ελS␈↓ λO␈εα;
␈β∧`␈↓ ↓`␈εαii)␈↓ α␈εαev␈α␈ery␈α⊂nonzero␈α∂elemen␈α␈t␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬(␈εαof␈↓ ¬U␈ελS␈↓ ¬{␈εαis␈α∂either␈α⊂a␈α∂\unit"␈α⊂or␈α∂has␈α⊂a␈α∂\unique"␈α∂repre-
␈β¬␈↓ α␈εαsen␈α␈tation␈αof␈αthe␈αform
␈β¬Z␈↓ ¬ ␈ελu␈↓ ¬@␈εα=␈↓ ¬n␈ελp␈↓ ε∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εD␈ελp␈↓ ε←␈εα,␈↓ π7␈ελt␈↓ πN␈ε⊗∃␈εα␈α
1,␈↓ α␈εα(2)
␈β¬g␈↓ ¬␈␈ε¬1␈↓ εU␈εt
␈βε)␈↓ α␈εαwhere␈↓ αt␈ελp␈↓ β∪␈εα,␈↓ β)␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βY␈εα,␈↓ βo␈ελp␈↓ ∧↔␈εαare␈α\primes."
␈βε7␈↓ β¬␈ε¬1␈↓ ∧␈εt
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαHere␈α∞a␈α
\unit"␈↓ β/␈ελu␈↓ βS␈εαis␈α∞an␈α∞elemen␈α␈t␈α
that␈α∞has␈α∞a␈α∞reciprocal,␈α∞i.e.,␈α∂an␈α∞elemen␈α␈t␈α∞such␈α
that
␈βπ	␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈ελv␈↓ ↓␈␈εα=␈α∞1␈α∂for␈α∞some␈↓ βi␈ελv␈↓ ∧
␈εαin␈↓ ∧7␈ελS␈↓ ∧M␈εα;␈α⊂and␈α∂a␈α∂\prime"␈↓ ε]␈ελp␈↓ ε}␈εαis␈α∂a␈α∂non␈α␈unit␈α∞elemen␈α␈t␈α∂such␈α∂that␈α∞the
␈βπ4␈↓ ↓H␈εαequation␈↓ αX␈ελp␈↓ αu␈εα=␈↓ β#␈ελq␈↓ β3␈ελr␈↓ βM␈εαcan␈αbe␈αtrue␈α
only␈αif␈αeither␈↓ ε[␈ελq␈↓ εv␈εαor␈↓ π!␈ελr␈↓ π;␈εαis␈αa␈αunit.␈αThe␈αrepresen␈α␈tation␈α
(2)
␈βπ←␈↓ ↓H␈εαis␈α
to␈α
be␈α
unique␈α∞in␈α
the␈α
sense␈α
that␈α
if␈↓ ¬{␈ελp␈↓ ε ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εP␈ελp␈↓ εx␈εα=␈↓ π(␈ελq␈↓ πI␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πy␈ελq␈↓ λ∩␈εα,␈α∞where␈α
all␈α
the␈↓ 
ε␈ελp␈↓ 
_␈εα's␈α
and␈↓ ∧␈ελq␈↓ ∀␈εα's
␈βπm␈↓ ε␈ε¬1␈↓ εa␈εt␈↓ π5␈ε¬1␈↓ λε␈εs
␈βλ␈↓ ↓H␈εαare␈αprimes,␈αthen␈↓ βT␈ελs␈↓ βn␈εα=␈↓ ∧≤␈ελt␈↓ ∧5␈εαand␈αthere␈α
is␈αa␈αperm␈α␈utation␈↓ πg␈ελ→␈↓ λ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ<␈ελ→␈↓ λd␈εαsuch␈αthat␈↓ 
¬␈ελp␈↓ 
.␈εα=␈↓ 
]␈ελa␈↓ 
|␈ελq␈↓ "␈εα,
␈βλ_␈↓ πx␈ε¬1␈↓ λM␈εt␈↓ 
⊗␈ε¬1␈↓ 
m␈ε¬1␈↓ 	␈ε→
␈βλ!␈↓ ↔␈επ1
␈βλ6␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓x␈εα,␈↓ α␈ελp␈↓ α2␈εα=␈↓ α`␈ελa␈↓ α{␈ελq␈↓ β)␈εαfor␈α
some␈α
units␈↓ ¬∂␈ελa␈↓ ¬/␈εα,␈↓ ¬C␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬s␈εα,␈↓ επ␈ελa␈↓ ε#␈εα.␈αIn␈α
other␈α
w␈α␈ords,␈α
factorization␈α
in␈α␈to␈α
primes
␈βλC␈↓ α≥␈εt␈↓ αp␈εt␈↓ βλ␈ε→␈↓ ¬ ␈ε¬1␈↓ ε_␈εt
␈βλL␈↓ β⊗␈ε
t
␈βλa␈↓ ↓H␈εαis␈αunique,␈αex␈α␈cept␈αfor␈αunit␈αm␈α␈ultiples␈αand␈αex␈α␈cept␈αfor␈αthe␈αorder␈αof␈αthe␈αfactors.
␈β	␈↓ α␈εαAn␈α␈y␈α
|eld␈αis␈α
a␈α
unique␈αfactorization␈α
domain,␈αin␈α
which␈α
each␈αnonzero␈α
elemen␈α␈t␈α
is
␈β	7␈↓ ↓H␈εαa␈α
unit␈αand␈αthere␈α
are␈αno␈αprimes.␈αThe␈αin␈α␈tegers␈αform␈α
a␈αunique␈αfactorization␈α
domain
␈β	c␈↓ ↓H␈εαin␈αwhich␈αthe␈αunits␈αare␈α+1␈αand␈ε⊗␈α␈␈εα1,␈αand␈αthe␈αprimes␈αare␈ε⊗␈αε␈εα2,␈ε⊗␈αε␈εα3,␈ε⊗␈αε␈εα5,␈ε⊗␈αε␈εα7,␈ε⊗␈αε␈εα11,
␈β
∞␈↓ ↓H␈εαetc.␈αThe␈α	case␈α
that␈↓ βg␈ελS␈↓ ∧π␈εαis␈α	the␈α
set␈α	of␈α
all␈α	in␈α␈tegers␈α
is␈α	of␈α
principal␈α	importance,␈α
because␈α	it
␈β
9␈↓ ↓H␈εαis␈αoften␈αpreferable␈αto␈αw␈α␈ork␈αwith␈αin␈α␈teger␈αcoe}cien␈α␈ts␈αinstead␈αof␈αarbitrary␈αrational
␈β
d␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts.
␈β∂␈↓ α␈εαOne␈αof␈αthe␈αk␈α␈ey␈αfacts␈αabout␈αpolynomials␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α10)␈αis␈αthat␈ε∂␈αthe␈αpolyno-
␈β;␈↓ ↓H␈ε∂mials␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α∞a␈α∂unique␈α∂factorization␈α∂domain␈α∂form␈α∂a␈α∂unique␈α∂factorization␈α∞domain.
␈βf␈↓ ↓H␈εαA␈α⊃polynomial␈α⊂that␈α⊃is␈α⊃\prime"␈α⊃in␈α⊃this␈α⊃domain␈α⊃is␈α⊃usually␈α⊃called␈α⊃an␈ε∂␈α⊂irreducible
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε∂polynomial.␈εα␈αBy␈αusing␈αthe␈α
unique␈αfactorization␈αtheorem␈α
repeatedly,␈αw␈α␈e␈αcan␈α
pro␈α␈v␈α␈e
␈β<␈↓ ↓H␈εαthat␈α
m␈α␈ultivariate␈α
polynomials␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈αin␈α␈tegers,␈α
or␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
an␈α␈y␈α|eld,␈α
in␈α
an␈α␈y␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈βg␈↓ ↓H␈εαof␈α	variables,␈αcan␈α	be␈α
uniquely␈α
factored␈α
in␈α␈to␈α
irreducible␈α	polynomials.␈αFor␈α	example,
␈β

␈↓ ¬@␈ε¬3␈↓ εI␈ε¬2␈↓ πS␈ε¬2␈↓ 	↓␈ε¬2
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαthe␈αm␈α␈ultivariate␈αpolynomial␈α90␈↓ ¬.␈ελx␈↓ ¬U␈ε⊗␈␈εα␈απ120␈↓ ε6␈ελx␈↓ εW␈ελy␈↓ εr␈εα+␈απ18␈↓ πA␈ελx␈↓ πb␈ελy␈↓ πv␈ελz␈↓ λ␈ε⊗␈␈εα␈αε24␈↓ λZ␈ελx␈↓ λm␈ελy␈↓ 	∂␈ελz␈↓ 	)␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers
␈β
>␈↓ ↓H␈εαis␈α⊂the␈α⊂product␈α⊃of␈α⊂|v␈α␈e␈α⊃irreducible␈α⊂polynomials␈α⊃2␈ε⊗␈α↓␈εα␈α
3␈ε⊗␈α↓␈↓ λ→␈ελx␈↓ λ7␈ε⊗↓␈εα␈α(3␈↓ λj␈ελx␈↓ 	λ␈ε⊗␈␈εα␈α4␈↓ 	I␈ελy␈↓ 	]␈εα)␈ε⊗␈α↓␈εα␈α(5␈↓ 
'␈ελx␈↓ 
D␈εα+␈↓ 
s␈ελy␈↓ π␈ελz␈↓ ⊗␈εα).
␈β
i␈↓ ↓H␈εαThe␈α
same␈αpolynomial,␈α
as␈αa␈α
polynomial␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈αrationals,␈αis␈α
the␈α
product␈αof␈α
three
␈β∞∀␈↓ ↓H␈εαirreducible␈αpolynomials␈α(6␈↓ ∧↑␈ελx␈↓ ∧q␈εα)␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ(3␈↓ ¬3␈ελx␈↓ ¬M␈ε⊗␈␈εα␈απ4␈↓ ε
␈ελy␈↓ ε≡␈εα)␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ(5␈↓ ε`␈ελx␈↓ εz␈εα+␈↓ π%␈ελy␈↓ π9␈ελz␈↓ πH␈εα);␈αthis␈αfactorization␈αcan␈αalso␈αbe
␈β∞<␈↓ ¬+␈ε¬1
␈β∞?␈↓ ↓H␈εαwritten␈↓ αE␈ελx␈↓ α←␈ε⊗↓␈εα␈αλ(90␈↓ β!␈ελx␈↓ β;␈ε⊗␈␈εα␈απ120␈↓ ∧≤␈ελy␈↓ ∧1␈εα)␈ε⊗␈απ↓␈εα␈απ(␈↓ ∧a␈ελx␈↓ ∧|␈εα+␈↓ ¬=␈ελy␈↓ ¬Q␈ελz␈↓ ¬`␈εα)␈αand␈αin␈αin|nitely␈αman␈α␈y␈αother␈αways,␈αalthough
␈β∞P␈↓ ¬+␈∧∞P¬+α∂
␈β∞R␈↓ ¬+␈ε¬5
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαthe␈αfactorization␈αis␈αessen␈α␈tially␈αunique.
␈β∂⊗␈↓ α␈εαAs␈α⊂usual,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂say␈α⊂that␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬5␈εα)␈α⊂is␈α⊂a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊂of␈↓ πZ␈ελv␈↓ πm␈εα(␈↓ πy␈ελx␈↓ λ␈εα),␈α⊃and␈↓ λ⎇␈ελv␈↓ 	∂␈εα(␈↓ 	≠␈ελx␈↓ 	.␈εα)␈α⊂is␈α⊂a␈α⊂divisor␈α⊂of
␈β∂A␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα),␈α∂if␈↓ αF␈ελu␈↓ α\␈εα(␈↓ αh␈ελx␈↓ α{␈εα)␈α∞=␈↓ βG␈ελv␈↓ βZ␈εα(␈↓ βf␈ελx␈↓ βy␈εα)␈↓ ∧¬␈ελq␈↓ ∧∃␈εα(␈↓ ∧!␈ελx␈↓ ∧4␈εα)␈α∞for␈α∂some␈α∂polynomial␈↓ π"␈ελq␈↓ π2␈εα(␈↓ π>␈ελx␈↓ πQ␈εα).␈α∀If␈α∂w␈α␈e␈α∞hav␈α␈e␈α∂an␈α∂algorithm␈α∞to
␈β∂l␈↓ ↓H␈εαtell␈αwhether␈αor␈α
not␈↓ β⎇␈ελu␈↓ ∧∨␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈α
of␈↓ ε→␈ελv␈↓ ε8␈εαfor␈αarbitrary␈α
elemen␈α␈ts␈↓ 	≡␈ελu␈↓ 	@␈εαand␈↓ 
ε␈ελv␈↓ 
#␈ε⊗≤␈εα␈α0␈αof␈αa
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈εαunique␈αλfactorization␈αλdomain␈↓ ¬α␈ελS␈↓ ¬→␈εα,␈α	and␈αλto␈αλdetermine␈↓ π:␈ελw␈↓ π]␈εαif␈↓ π|␈ελu␈↓ λ≠␈εα=␈↓ λI␈ελv␈↓ λ←␈ε⊗↓␈↓ λl␈ελw␈↓ 	π␈εα,␈α	then␈αλAlgorithm␈αλD
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈es␈αus␈α
a␈αmethod␈α
to␈αtell␈α
whether␈αor␈α
not␈↓ εT␈ελu␈↓ εi␈εα(␈↓ εu␈ελx␈↓ πλ␈εα)␈α
is␈αa␈α
m␈α␈ultiple␈αof␈↓ 	≤␈ελv␈↓ 	/␈εα(␈↓ 	;␈ελx␈↓ 	M␈εα)␈α
for␈αarbitrary
␈β⊂n␈↓ ↓H␈εαpolynomials␈↓ β∂␈ελu␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελx␈↓ βC␈εα)␈αand␈↓ ∧∨␈ελv␈↓ ∧2␈εα(␈↓ ∧>␈ελx␈↓ ∧Q␈εα)␈ε⊗␈α
≤␈εα␈α
0␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ ¬␈␈ελS␈↓ ε∃␈εα.␈αFor␈αif␈↓ π∂␈ελu␈↓ π%␈εα(␈↓ π1␈ελx␈↓ πC␈εα)␈αis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ 	P␈ελv␈↓ 	b␈εα(␈↓ 	n␈ελx␈↓ 
↓␈εα),␈αit␈αis␈αeasy
␈β⊃→␈↓ ↓H␈εαto␈α
see␈α∞that␈↓ β↓␈ελu␈↓ β`␈εαm␈α␈ust␈α∞be␈α∞a␈α∞m␈α␈ultiple␈α∞of␈↓ εG␈ελv␈↓ εw␈εαeach␈α
time␈α∞w␈α␈e␈α∞get␈α∞to␈α
step␈α∞D2,␈α∞hence
␈β⊃&␈↓ β∃␈εn␈↓ β'␈ε¬+␈↓ βD␈εk␈↓ εW␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα392␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ↓H␈εαthe␈αquotien␈α␈t␈↓ β⊃␈ελu␈↓ β'␈εα(␈↓ β3␈ελx␈↓ βF␈εα)/␈↓ βd␈ελv␈↓ βw␈εα(␈↓ ∧β␈ελx␈↓ ∧⊗␈εα)␈αwill␈αbe␈αfound.␈α_(Applying␈αthis␈αobservation␈αrepeatedly,␈αw␈α␈e
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαobtain␈αan␈αalgorithm␈αthat␈αdecides␈αif␈αa␈αgiv␈α␈en␈αpolynomial␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ λu␈ελS␈↓ 	␈εα,␈αin␈αan␈α␈y␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαvariables,␈α∞is␈α∞a␈α∞m␈α␈ultiple␈α
of␈α∞another␈α∞giv␈α␈en␈α∞polynomial␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈↓ λ↑␈ελS␈↓ λu␈εα,␈α∞and␈α∞the␈α
algorithm
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαwill␈α|nd␈αthe␈αquotien␈α␈t␈αwhen␈αit␈αexists.)
␈ββT␈↓ α␈εαA␈απset␈αεof␈απelemen␈α␈ts␈αεof␈απa␈απunique␈αεfactorization␈απdomain␈αεis␈απsaid␈απto␈αεbe␈ε∂␈απrelativ␈α␈ely␈αεprime
␈ββ␈␈↓ ↓H␈εαif␈α	no␈α	prime␈α	of␈α	that␈α	unique␈α
factorization␈α	domain␈α	divides␈α	all␈α	of␈α	them.␈αA␈α	polynomial
␈β∧*␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αa␈αunique␈αfactorization␈α
domain␈αis␈αcalled␈ε∂␈αprimitiv␈α␈e␈εα␈α
if␈αits␈αcoe}cien␈α␈ts␈αare␈αrela-
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈ely␈αprime.␈α⊗(This␈αconcept␈αshould␈αnot␈αbe␈αconfused␈αwith␈αthe␈αquite␈αdi{eren␈α␈t␈α
idea
␈β¬↓␈↓ ↓H␈εαof␈α\primitiv␈α␈e␈αpolynomials␈αmodulo␈↓ ¬g␈ελp␈↓ ¬y␈εα"␈α
discussed␈αin␈αSection␈α3.2.2.)␈α→The␈αfollo␈α␈wing
␈β¬,␈↓ ↓H␈εαfact␈αis␈αof␈αprime␈αimportance:
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈αλG␈εα␈α	(Gauss's␈α	Lemma)␈ε∩.␈ε∂␈α⊃The␈αλproduct␈α	of␈α	primitiv␈α␈e␈αλpolynomials␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α	a␈αλunique
␈βε≥␈↓ ↓H␈ε∂factorization␈αdomain␈αis␈αprimitiv␈α␈e.
␈βεd␈↓ ∧C␈εm␈↓ λ→␈εn
␈βεi␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α≠Let␈↓ β¬␈ελu␈↓ β~␈εα(␈↓ β&␈ελx␈↓ β9␈εα)␈α=␈↓ ∧α␈ελu␈↓ ∧0␈ελx␈↓ ∧f␈εα+␈↓ ¬∪␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬F␈εα+␈↓ ¬s␈ελu␈↓ ε#␈εαand␈↓ εj␈ελv␈↓ ε⎇␈εα(␈↓ π	␈ελx␈↓ π≤␈εα)␈α=␈↓ πd␈ελv␈↓ λε␈ελx␈↓ λ4␈εα+␈↓ λa␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	∀␈εα+␈↓ 	A␈ελv␈↓ 	l␈εαbe␈α
primitiv␈α␈e
␈βεv␈↓ ∧⊗␈εm␈↓ επ␈ε¬0␈↓ πt␈εn␈↓ 	P␈ε¬0
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εαpolynomials.␈α∃If␈↓ βK␈ελp␈↓ βl␈εαis␈α⊂an␈α␈y␈α∂prime␈α∂of␈α∂the␈α⊂domain,␈α⊂w␈α␈e␈α∂m␈α␈ust␈α∂sho␈α␈w␈α∂that␈↓ 
∧␈ελp␈↓ 
%␈εαdoes␈α∂not
␈βπ?␈↓ ↓H␈εαdivide␈α∞all␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈↓ ¬
␈ελu␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελx␈↓ ¬A␈εα)␈↓ ¬M␈ελv␈↓ ¬`␈εα(␈↓ ¬l␈ελx␈↓ ¬␈␈εα).␈α∩By␈α∞assumption,␈α∂there␈α∞is␈α∞an␈α∞index␈↓ 
H␈ελj␈↓ 
f␈εαsuch
␈βπj␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α↔␈ελu␈↓ αF␈εαis␈α
not␈α
divisible␈α∞by␈↓ ∧q␈ελp␈↓ ¬β␈εα,␈α∞and␈α
an␈α
index␈↓ εx␈ελk␈↓ π↔␈εαsuch␈α
that␈↓ λ:␈ελv␈↓ λe␈εαis␈α
not␈α∞divisible␈α
by␈↓ ⊂␈ελp␈↓ "␈εα.
␈βπx␈↓ α+␈εj␈↓ λI␈εk
␈βλ⊂␈↓ 	∃␈εj␈↓ 	"␈ε¬+␈↓ 	?␈εk
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α␈ελj␈↓ α+␈εαand␈↓ αs␈ελk␈↓ β∀␈εαbe␈α∞as␈α∞small␈α∂as␈α∞possible;␈α⊂then␈α∞the␈α∂coe}cien␈α␈t␈α∞of␈↓ 	α␈ελx␈↓ 	\␈εαin␈↓ 
λ␈ελu␈↓ 
≡␈εα(␈↓ 
*␈ελx␈↓ 
<␈εα)␈↓ 
H␈ελv␈↓ 
[␈εα(␈↓ 
g␈ελx␈↓ 
z␈εα)␈α∞is
␈βλA␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓i␈ελv␈↓ α⊂␈εα+␈↓ α;␈ελu␈↓ βλ␈ελv␈↓ βZ␈εα+␈↓ ∧ε␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧7␈εα+␈↓ ∧c␈ελu␈↓ ¬0␈ελv␈↓ ¬V␈εα+␈↓ εα␈ελu␈↓ εO␈ελv␈↓ π ␈εα+␈↓ πL␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π}␈εα+␈↓ λ*␈ελu␈↓ λM␈ελv␈↓ 	∃␈εα,␈αand␈αthis␈αis␈αnot␈αa
␈βλN␈↓ ↓\␈εj␈↓ ↓y␈εk␈↓ αP␈εj␈↓ α]␈ε¬+1␈↓ β_␈εk␈↓ β'␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ∧x␈εj␈↓ ¬¬␈ε¬+␈↓ ¬"␈εk␈↓ ¬@␈ε¬0␈↓ ε↔␈εj␈↓ ε$␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε←␈εk␈↓ εm␈ε¬+1␈↓ λ>␈ε¬0␈↓ λ]␈εk␈↓ λk␈ε¬+␈↓ 	λ␈εj
␈βλl␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiple␈αof␈↓ α␈␈ελp␈↓ β≥␈εα(since␈αits␈α|rst␈αterm␈αisn't,␈αbut␈αall␈αof␈αits␈αother␈αterms␈αare).
␈βλq␈↓ 
-␈∧λq
-≠∂
␈β	2␈↓ α␈εαIf␈α∞a␈α
nonzero␈α∞polynomial␈↓ ¬∀␈ελu␈↓ ¬*␈εα(␈↓ ¬6␈ελx␈↓ ¬I␈εα)␈α
o␈α␈v␈α␈er␈↓ ε2␈ελS␈↓ εV␈εαis␈α
not␈α∞primitiv␈α␈e,␈α∞w␈α␈e␈α
can␈α∞write␈↓ 
;␈ελu␈↓ 
Q␈εα(␈↓ 
]␈ελx␈↓ 
p␈εα)␈α=
␈β	↑␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓n␈ε⊗↓␈↓ ↓}␈ελu␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα),␈αwhere␈↓ βH␈ελp␈↓ βr␈εαis␈αa␈αprime␈αof␈↓ ¬@␈ελS␈↓ ¬a␈εαdividing␈αall␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ 	6␈ελu␈↓ 	L␈εα(␈↓ 	X␈ελx␈↓ 	j␈εα),␈αand␈α
where
␈β	k␈↓ ↓Y␈ε¬1␈↓ α∪␈ε¬1␈↓ βY␈ε¬1
␈β
	␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓k␈εα(␈↓ ↓w␈ελx␈↓ α	␈εα)␈α
is␈αanother␈αnonzero␈α
polynomial␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ εY␈ελS␈↓ εp␈εα.␈α
All␈αof␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ 
	␈ελu␈↓ 
,␈εα(␈↓ 
8␈ελx␈↓ 
K␈εα)␈αhav␈α␈e
␈β
⊗␈↓ ↓\␈ε¬1␈↓ 
≡␈ε¬1
␈β
4␈↓ ↓H␈εαone␈α∞less␈α∂prime␈α∞factor␈α∂than␈α∞the␈α∞corresponding␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈↓ 	π␈ελu␈↓ 	≥␈εα(␈↓ 	)␈ελx␈↓ 	;␈εα).␈α∀No␈α␈w␈α∞if␈↓ 
←␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β
A␈↓ 
s␈ε¬1
␈β
←␈↓ ↓H␈εαis␈α⊂not␈α⊂primitiv␈α␈e,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂can␈α⊂write␈↓ ¬=␈ελu␈↓ ¬`␈εα(␈↓ ¬l␈ελx␈↓ ¬␈␈εα)␈α⊃=␈↓ εP␈ελp␈↓ ε{␈ε⊗↓␈↓ π∂␈ελu␈↓ π2␈εα(␈↓ π>␈ελx␈↓ πQ␈εα),␈α⊃etc.,␈α⊃and␈α⊂this␈α⊂process␈α⊂m␈α␈ust
␈β
m␈↓ ¬R␈ε¬1␈↓ εa␈ε¬2␈↓ π$␈ε¬2
␈β
␈↓ ↓H␈εαultimately␈αterminate␈α
in␈α
a␈αrepresen␈α␈tation␈↓ εP␈ελu␈↓ εf␈εα(␈↓ εr␈ελx␈↓ π¬␈εα)␈α=␈↓ πK␈ελc␈↓ πa␈ε⊗↓␈↓ πt␈ελu␈↓ λ↔␈εα(␈↓ λ#␈ελx␈↓ λ6␈εα),␈α
where␈↓ 	A␈ελc␈↓ 	\␈εαis␈α
an␈αelemen␈α␈t
␈β_␈↓ λλ␈εk
␈β6␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελS␈↓ α∀␈εαand␈↓ αZ␈ελu␈↓ α⎇␈εα(␈↓ β	␈ελx␈↓ β≤␈εα)␈αis␈αprimitiv␈α␈e.␈αIn␈αfact,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αlemma:
␈βC␈↓ αn␈εk
␈β|␈↓ ↓H␈ε∩Lemma␈αH.␈ε∂␈α~An␈α␈y␈αnonzero␈αpolynomial␈↓ ε⊗␈ελu␈↓ ε+␈εα(␈↓ ε7␈ελx␈↓ εJ␈εα)␈ε∂␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αa␈αunique␈α
factorization␈αdomain␈↓ ⊗␈ελS
␈β'␈↓ ↓H␈ε∂can␈αbe␈αfactored␈αin␈αthe␈αform␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬5␈εα)␈α
=␈↓ ¬y␈ελc␈↓ ε∞␈ε⊗↓␈↓ ε∨␈ελv␈↓ ε2␈εα(␈↓ ε>␈ελx␈↓ εQ␈εα)␈ε∂,␈αwhere␈↓ πZ␈ελc␈↓ πs␈ε∂is␈αin␈↓ λ@␈ελS␈↓ λb␈ε∂and␈↓ 	'␈ελv␈↓ 	:␈εα(␈↓ 	F␈ελx␈↓ 	Y␈εα)␈ε∂␈αis␈αprimitiv␈α␈e.
␈βR␈↓ ↓H␈ε∂Furthermore,␈αthis␈αrepresen␈α␈tation␈α
is␈αunique,␈α
in␈αthe␈αsense␈α
that␈αif␈↓ 	0␈ελu␈↓ 	P␈εα=␈↓ 	␈␈ελc␈↓ 
#␈ε⊗↓␈↓ 
5␈ελv␈↓ 
S␈εα(␈↓ 
←␈ελx␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈β`␈↓ 
␈ε¬1␈↓ 
E␈ε¬1
␈β}␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓k␈ε⊗↓␈↓ ↓⎇␈ελv␈↓ α≠␈εα(␈↓ α'␈ελx␈↓ α:␈εα)␈ε∂,␈αthen␈↓ β.␈ελc␈↓ βS␈εα=␈↓ ∧↓␈ελa␈↓ ∧∪␈ελc␈↓ ∧;␈ε∂and␈↓ ¬↓␈ελv␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬>␈εα)␈α
=␈↓ εα␈ελa␈↓ ε∀␈ελv␈↓ ε2␈εα(␈↓ ε>␈ελx␈↓ εQ␈εα)␈ε∂␈αwhere␈↓ πQ␈ελa␈↓ πn␈ε∂is␈αa␈αunit␈αof␈↓ 	&␈ελS␈↓ 	=␈ε∂.
␈β
␈↓ ↓U␈ε¬2␈↓ α
␈ε¬2␈↓ β;␈ε¬1␈↓ ∧ ␈ε¬2␈↓ ¬⊂␈ε¬2␈↓ ε#␈ε¬1
␈β
I␈↓ ↓H␈ε∂Proof.␈εα␈α∀We␈α	hav␈α␈e␈α
sho␈α␈wn␈α
that␈α
such␈α	a␈α
represen␈α␈tation␈α
exists,␈α
and␈α
so␈α
only␈α
the␈α	unique-
␈β
t␈↓ ↓H␈εαness␈αneeds␈αto␈αbe␈αpro␈α␈v␈α␈ed.␈αAssume␈αthat␈↓ ε≡␈ελc␈↓ ε@␈ε⊗↓␈↓ εQ␈ελv␈↓ εo␈εα(␈↓ ε{␈ελx␈↓ π∞␈εα)␈α
=␈↓ πR␈ελc␈↓ πt␈ε⊗↓␈↓ λ¬␈ελv␈↓ λ#␈εα(␈↓ λ/␈ελx␈↓ λB␈εα),␈αwhere␈↓ 	J␈ελv␈↓ 	h␈εα(␈↓ 	t␈ελx␈↓ 
π␈εα)␈αand␈↓ 
c␈ελv␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β∞α␈↓ ε+␈ε¬1␈↓ εa␈ε¬1␈↓ π←␈ε¬2␈↓ λ∃␈ε¬2␈↓ 	Z␈ε¬1␈↓ 
s␈ε¬2
␈β∞∨␈↓ ↓H␈εαare␈αprimitiv␈α␈e␈αand␈↓ βc␈ελc␈↓ ∧
␈εαis␈αnot␈αa␈αunit␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ π␈ελc␈↓ π'␈εα.␈αBy␈αunique␈αfactorization␈αthere␈αis
␈β∞-␈↓ βp␈ε¬1␈↓ π_␈ε¬2
␈β∞E␈↓ π␈εk
␈β∞K␈↓ ↓H␈εαa␈α
prime␈↓ αI␈ελp␈↓ αf␈εαof␈↓ β∂␈ελS␈↓ β0␈εαand␈α
an␈αexponen␈α␈t␈↓ ¬>␈ελk␈↓ ¬[␈εαsuch␈αthat␈↓ εx␈ελp␈↓ π$␈εαdivides␈α
one␈αof␈ε⊗␈αf␈↓ 	_␈ελc␈↓ 	3␈εα,␈↓ 	C␈ελc␈↓ 	↑␈ε⊗g␈εα␈αbut␈αnot␈α
the
␈β∞X␈↓ 	%␈ε¬1␈↓ 	P␈ε¬2
␈β∞q␈↓ αz␈εk␈↓ ε?␈εk
␈β∞v␈↓ ↓H␈εαother,␈αλsay␈↓ αh␈ελp␈↓ β⊃␈εαdivides␈↓ ∧ε␈ελc␈↓ ∧*␈εαbut␈απnot␈↓ ¬#␈ελc␈↓ ¬?␈εα.␈α
Then␈↓ ε-␈ελp␈↓ εV␈εαdivides␈απall␈αλof␈αλthe␈αλcoe}cien␈α␈ts␈αλof␈↓ 
/␈ελc␈↓ 
M␈ε⊗↓␈↓ 
Y␈ελv␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈β∂β␈↓ ∧∪␈ε¬1␈↓ ¬0␈ε¬2␈↓ 
<␈ε¬2␈↓ 
i␈ε¬2
␈β∂!␈↓ ↓H␈εαso␈↓ ↓t␈ελp␈↓ α∪␈εαdivides␈αall␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ ¬↑␈ελv␈↓ ¬|␈εα(␈↓ ελ␈ελx␈↓ ε≠␈εα),␈αcon␈α␈tradicting␈αthe␈α
assumption␈αthat␈↓ 
c␈ελv␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β∂.␈↓ ¬m␈ε¬2␈↓ 
s␈ε¬2
␈β∂L␈↓ ↓H␈εαis␈αprimitiv␈α␈e.␈αHence␈↓ βz␈ελc␈↓ ∧ ␈εα=␈↓ ∧N␈ελa␈↓ ∧←␈ελc␈↓ ∧{␈εα,␈αwhere␈↓ ¬x␈ελa␈↓ ε⊗␈εαis␈αa␈αunit;␈αand␈α0␈α
=␈↓ λ=␈ελa␈↓ λO␈ελc␈↓ λr␈ε⊗↓␈↓ 	∧␈ελv␈↓ 	"␈εα(␈↓ 	.␈ελx␈↓ 	A␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 
↓␈ελc␈↓ 
$␈ε⊗↓␈↓ 
5␈ελv␈↓ 
T␈εα(␈↓ 
`␈ελx␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈β∂X␈↓ ↓⎇␈ε↓␈␈↓ βc␈ε↓↓
␈β∂Z␈↓ ∧π␈ε¬1␈↓ ∧l␈ε¬2␈↓ λ\␈ε¬2␈↓ 	∀␈ε¬1␈↓ 
∞␈ε¬2␈↓ 
E␈ε¬2
␈β∂w␈↓ ↓H␈ελc␈↓ ↓k␈ε⊗↓␈↓ α␈ελa␈↓ α≥␈ελv␈↓ α;␈εα(␈↓ αG␈ελx␈↓ αZ␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ β~␈ελv␈↓ β8␈εα(␈↓ βD␈ελx␈↓ βW␈εα)␈↓ β⎇␈εαimplies␈αthat␈↓ ¬E␈ελa␈↓ ¬W␈ελv␈↓ ¬u␈εα(␈↓ ε↓␈ελx␈↓ ε∀␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ εT␈ελv␈↓ εr␈εα(␈↓ ε}␈ελx␈↓ π⊃␈εα)␈α
=␈α
0.
␈β∂|␈↓ λ_␈∧∂|λ_≠∂
␈β⊂¬␈↓ ↓U␈ε¬2␈↓ α-␈ε¬1␈↓ β*␈ε¬2␈↓ ¬g␈ε¬1␈↓ εc␈ε¬2
␈β⊂>␈↓ α␈εαTherefore␈αw␈α␈e␈αmay␈αwrite␈αan␈α␈y␈αnonzero␈αpolynomial␈↓ λ⊗␈ελu␈↓ λ,␈εα(␈↓ λ8␈ελx␈↓ λJ␈εα)␈αas
␈β⊂w␈↓ π≤␈ε↓␈␈↓ πk␈ε↓↓
␈β⊃↔␈↓ ∧q␈ελu␈↓ ¬π␈εα(␈↓ ¬∪␈ελx␈↓ ¬&␈εα)␈α
=␈↓ ¬j␈εαcon␈α␈t␈↓ ε-␈εα(␈↓ ε9␈ελu␈↓ εN␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ εt␈εαpp␈↓ π*␈ελu␈↓ π@␈εα(␈↓ πL␈ελx␈↓ π←␈εα)␈↓ πy␈εα,␈↓ α␈εα(3)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα393
␈βαβ␈↓ λb␈ε↓␈␈↓ 	0␈ε↓↓
␈βα#␈↓ ↓H␈εαwhere␈αλcon␈α␈t(␈↓ α{␈ελu␈↓ β⊃␈εα),␈αλthe␈α	\con␈α␈ten␈α␈t"␈αλof␈↓ ¬0␈ελu␈↓ ¬F␈εα,␈α	is␈αλan␈αλelemen␈α␈t␈αλof␈↓ πN␈ελS␈↓ πe␈εα,␈α	and␈αλpp␈↓ λp␈ελu␈↓ 	ε␈εα(␈↓ 	∩␈ελx␈↓ 	$␈εα)␈↓ 	>␈εα,␈α	the␈αλ\primitiv␈α␈e
␈βαN␈↓ ↓H␈εαpart"␈αof␈↓ αQ␈ελu␈↓ αg␈εα(␈↓ αs␈ελx␈↓ β¬␈εα),␈αis␈αa␈αprimitiv␈α␈e␈αpolynomial␈αo␈α␈v␈α␈er␈↓ π
␈ελS␈↓ π ␈εα.␈αWhen␈↓ λ≡␈ελu␈↓ λ4␈εα(␈↓ λ@␈ελx␈↓ λR␈εα)␈α
=␈α
0,␈αit␈αis␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t
␈βαY␈↓ ∧9␈ε↓␈␈↓ ¬λ␈ε↓↓
␈βαy␈↓ ↓H␈εαto␈α∞de|ne␈↓ αa␈εαcon␈α␈t␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελu␈↓ βE␈εα)␈α∞=␈↓ ∧⊃␈εαpp␈↓ ∧G␈ελu␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ∧i␈ελx␈↓ ∧|␈εα)␈↓ ¬$␈εα=␈α∞0.␈α∪Com␈α␈bining␈α∂Lemmas␈α∞G␈α∂and␈α∞H␈α∂giv␈α␈es␈α∞us␈α∞the
␈ββ$␈↓ ↓H␈εαrelations
␈ββO␈↓ ∧Y␈εαcon␈α␈t␈↓ ¬≤␈εα(␈↓ ¬(␈ελu␈↓ ¬F␈ε⊗↓␈↓ ¬X␈ελv␈↓ ¬k␈εα)␈↓ ε↓␈εα=␈↓ ε/␈ελa␈↓ εG␈εαcon␈α␈t␈↓ π
␈εα(␈↓ π⊗␈ελu␈↓ π+␈εα)␈↓ π=␈εαcon␈α␈t␈↓ λ␈εα(␈↓ λ␈ελv␈↓ λ∨␈εα),
␈ββ[␈↓ ∧C␈ε↓␈␈↓ ¬i␈ε↓↓␈↓ εk␈ε↓␈␈↓ π:␈ε↓↓␈↓ πv␈ε↓␈␈↓ λA␈ε↓↓
␈ββf␈↓ α␈εα(4)
␈ββz␈↓ ∧≠␈εαpp␈↓ ∧Q␈ελu␈↓ ∧g␈εα(␈↓ ∧s␈ελx␈↓ ¬¬␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ¬+␈ελv␈↓ ¬>␈εα(␈↓ ¬J␈ελx␈↓ ¬]␈εα)␈↓ ε↓␈εα=␈↓ ε/␈ελb␈↓ εC␈εαpp␈↓ εy␈ελu␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈ελx␈↓ π.␈εα)␈↓ πN␈εαpp␈↓ λ∧␈ελv␈↓ λ⊗␈εα(␈↓ λ"␈ελx␈↓ λ5␈εα)␈↓ λO␈εα,
␈β∧I␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α4␈ελa␈↓ αU␈εαand␈↓ β∨␈ελb␈↓ β=␈εαare␈α⊂units,␈α⊃depending␈α⊂on␈↓ εL␈ελu␈↓ εq␈εαand␈↓ π;␈ελv␈↓ πN␈εα,␈α⊃with␈↓ λ?␈ελa␈↓ λQ␈ελb␈↓ λp␈εα=␈α⊂1.␈α_When␈α⊂w␈α␈e␈α∂are
␈β∧t␈↓ ↓H␈εαw␈α␈orking␈αwith␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers,␈αthe␈αonly␈αunits␈αare␈α+1␈αand␈ε⊗␈α␈␈εα1,␈αand
␈β¬␈↓ ¬⊂␈ε↓␈␈↓ ¬↑␈ε↓↓
␈β¬∨␈↓ ↓H␈εαit␈α	is␈α	con␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈α
to␈α	de|ne␈α
pp␈↓ ¬≡␈ελu␈↓ ¬3␈εα(␈↓ ¬?␈ελx␈↓ ¬R␈εα)␈↓ ¬v␈εαso␈α	that␈α	its␈α
leading␈α	coe}cien␈α␈t␈α
is␈α	positiv␈α␈e;␈α
then
␈β¬J␈↓ ↓H␈εα(4)␈αis␈αtrue␈αwith␈↓ β=␈ελa␈↓ βX␈εα=␈↓ ∧ε␈ελb␈↓ ∧∨␈εα=␈α
1.␈αWhen␈αw␈α␈orking␈αwith␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈α|eld␈αw␈α␈e␈αmay
␈β¬V␈↓ ¬5␈ε↓␈␈↓ εβ␈ε↓↓
␈β¬v␈↓ ↓H␈εαtak␈α␈e␈αcon␈α␈t(␈↓ αf␈ελu␈↓ α{␈εα)␈α=␈↓ β@␈ελ#␈↓ βO␈εα(␈↓ β[␈ελu␈↓ βq␈εα),␈αso␈αthat␈αpp␈↓ ¬C␈ελu␈↓ ¬Y␈εα(␈↓ ¬e␈ελx␈↓ ¬w␈εα)␈↓ ε≡␈εαis␈αmonic;␈αin␈αthis␈αcase␈αagain␈α(4)␈αholds␈αwith
␈βε!␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓d␈εα=␈↓ α∩␈ελb␈↓ α*␈εα=␈α
1,␈αfor␈αall␈↓ βj␈ελu␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧≡␈εα)␈αand␈↓ ∧|␈ελv␈↓ ¬∂␈εα(␈↓ ¬≠␈ελx␈↓ ¬.␈εα).
␈βεP␈↓ α␈εαFor␈α	example,␈α
if␈α	w␈α␈e␈α	are␈α	dealing␈α	with␈α	polynomials␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α	the␈α	in␈α␈tegers,␈α
let␈↓ 
>␈ελu␈↓ 
T␈εα(␈↓ 
`␈ελx␈↓ 
r␈εα)␈α
=
␈βεv␈↓ α"␈ε¬2
␈βε{␈↓ ↓H␈ε⊗␈␈εα26␈↓ α⊂␈ελx␈↓ α9␈εα+␈αλ39␈αand␈↓ β[␈ελv␈↓ βn␈εα(␈↓ βz␈ελx␈↓ ∧␈εα)␈α
=␈α
21␈↓ ∧t␈ελx␈↓ ¬∂␈εα+␈αλ14.␈αThen
␈βπ?␈↓ εj␈ε↓␈␈↓ π8␈ε↓↓
␈βπY␈↓ λ#␈ε¬2
␈βπ↑␈↓ α`␈εαcon␈α␈t␈↓ β#␈εα(␈↓ β/␈ελu␈↓ βD␈εα)␈↓ βZ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα13,
␈βπ←␈↓ εB␈εαpp␈↓ εx␈ελu␈↓ π
␈εα(␈↓ π→␈ελx␈↓ π,␈εα)␈↓ πP␈εα=␈α
2␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ9␈ε⊗␈␈εα␈αλ3,
␈βπu␈↓ εm␈ε↓␈␈↓ π8␈ε↓↓
␈βλ∀␈↓ αb␈εαcon␈α␈t␈↓ β%␈εα(␈↓ β1␈ελv␈↓ βD␈εα)␈↓ βZ␈εα=␈α
+7,
␈βλ∃␈↓ εE␈εαpp␈↓ ε{␈ελv␈↓ π
␈εα(␈↓ π→␈ελx␈↓ π,␈εα)␈↓ πP␈εα=␈α
3␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ+␈εα+␈αλ2,
␈βλ+␈↓ ε∩␈ε↓␈␈↓ π8␈ε↓↓
␈βλE␈↓ λ#␈ε¬3␈↓ 	
␈ε¬2
␈βλJ␈↓ α3␈εαcon␈α␈t␈↓ αv␈εα(␈↓ βα␈ελu␈↓ β∨␈ε⊗↓␈↓ β1␈ελv␈↓ βD␈εα)␈↓ βZ␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα91
␈βλK␈↓ ¬j␈εαpp␈↓ ε ␈ελu␈↓ ε6␈εα(␈↓ εB␈ελx␈↓ εU␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ε{␈ελv␈↓ π
␈εα(␈↓ π→␈ελx␈↓ π,␈εα)␈↓ πP␈εα=␈α
6␈↓ λ⊂␈ελx␈↓ λ9␈εα+␈αλ4␈↓ λw␈ελx␈↓ 	!␈ε⊗␈␈εα␈αλ9␈↓ 	←␈ελx␈↓ 	y␈ε⊗␈␈εα␈αλ6.
␈β	↑␈↓ ↓H␈ε∩Greatest␈α
common␈α
divisors.␈εα␈α≤When␈α
there␈α∞is␈α
unique␈α
factorization,␈α∞it␈α
mak␈α␈es␈α
sense
␈β
	␈↓ ↓H␈εαto␈α⊃speak␈α⊃of␈α⊃a␈α⊃\greatest␈α⊃common␈α⊃divisor"␈α⊃of␈α⊃t␈α␈w␈α␈o␈α⊃elemen␈α␈ts;␈α∪this␈α⊃is␈α⊃a␈α⊃common
␈β
4␈↓ ↓H␈εαdivisor␈α	that␈α
is␈α	divisible␈α
by␈α
as␈α	man␈α␈y␈α
primes␈α	as␈α
possible.␈α∪(Cf.␈α
Eq.␈α	4.5.2↑6.)␈α∀Since␈α	a
␈β
←␈↓ ↓H␈εαunique␈αfactorization␈αdomain␈αmay␈αhav␈α␈e␈αman␈α␈y␈αunits,␈αthere␈αis␈αa␈αcertain␈αamoun␈α␈t␈αof
␈β
␈↓ ↓H␈εαam␈α␈biguity␈αλin␈αλthis␈α	de|nition␈αλof␈αλgreatest␈αλcommon␈α	divisor;␈α	if␈↓ λF␈ελw␈↓ λj␈εαis␈αλa␈αλgreatest␈αλcommon
␈β6␈↓ ↓H␈εαdivisor␈α
of␈↓ αj␈ελu␈↓ β
␈εαand␈↓ βT␈ελv␈↓ βf␈εα,␈α∞so␈α
is␈↓ ∧P␈ελa␈↓ ∧k␈ε⊗↓␈↓ ∧⎇␈ελw␈↓ ¬_␈εα,␈α
when␈↓ ε∂␈ελa␈↓ ε-␈εαis␈α∞a␈α
unit.␈α∂Con␈α␈v␈α␈ersely,␈α
the␈α
assumption␈α
of
␈βa␈↓ ↓H␈εαunique␈α	factorization␈α
implies␈α	that␈α
if␈↓ ¬k␈ελw␈↓ ε≠␈εαand␈↓ ε←␈ελw␈↓ π∞␈εαare␈α
both␈α	greatest␈α
common␈α	advisors
␈βn␈↓ εβ␈ε¬1␈↓ εv␈ε¬2
␈β␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελu␈↓ α∀␈εαand␈↓ αZ␈ελv␈↓ αm␈εα,␈αthen␈↓ βU␈ελw␈↓ ∧ε␈εα=␈↓ ∧4␈ελa␈↓ ∧N␈ε⊗↓␈↓ ∧a␈ελw␈↓ ¬∪␈εαfor␈αsome␈αunit␈↓ εr␈ελa␈↓ π∧␈εα.␈αTherefore␈αit␈α
does␈αnot␈αmak␈α␈e␈αsense,
␈β→␈↓ βm␈ε¬1␈↓ ∧x␈ε¬2
␈β7␈↓ ↓H␈εαin␈αgeneral,␈αto␈α
speak␈αof␈α
\the"␈αgreatest␈αcommon␈α
divisor␈αof␈↓ λP␈ελu␈↓ λr␈εαand␈↓ 	8␈ελv␈↓ 	K␈εα;␈αthere␈α
is␈αa␈αset
␈βb␈↓ ↓H␈εαof␈αgreatest␈αcommon␈αdivisors,␈αeach␈αone␈αbeing␈αa␈αunit␈αm␈α␈ultiple␈αof␈αthe␈αothers.
␈β
∩␈↓ α␈εαLet␈α∂us␈α∂no␈α␈w␈α∂consider␈α∂the␈α∂problem␈α∂of␈α∂|nding␈α∂a␈α∂greatest␈α∂common␈α∞divisor␈α∂of
␈β
=␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈α∞giv␈α␈en␈α
polynomials␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈α∞an␈α∞algebraic␈α∞system␈↓ πP␈ελS␈↓ πf␈εα.␈α∩If␈↓ λ(␈ελS␈↓ λL␈εαis␈α∞a␈α∞|eld,␈α∂the␈α
problem
␈β
h␈↓ ↓H␈εαis␈αrelativ␈α␈ely␈αsimple;␈αour␈αdivision␈αalgorithm,␈αAlgorithm␈αD␈↓ λ<␈εα,␈αcan␈αbe␈αextended␈αto␈αan
␈β∞∪␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈α∞that␈α∂computes␈α∂greatest␈α∞common␈α∂divisors,␈α∂just␈α∂as␈α∂Euclid's␈α∞algorithm
␈β∞>␈↓ ↓H␈εα(Algorithm␈αλ4.5.2A)␈αλyields␈αλthe␈αλgreatest␈αλcommon␈αλdivisor␈αλof␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλgiv␈α␈en␈αλin␈α␈tegers␈αλbased
␈β∞J␈↓ λw␈ε↓␈␈↓ 
∪␈ε↓↓
␈β∞j␈↓ ↓H␈εαon␈α∞a␈α∂division␈α∂algorithm␈α∞for␈α∂in␈α␈tegers:␈α∩If␈↓ εB␈ελv␈↓ εU␈εα(␈↓ εa␈ελx␈↓ εt␈εα)␈α∞=␈α∂0,␈α∂then␈α∂gcd␈↓ 	¬␈ελu␈↓ 	≠␈εα(␈↓ 	'␈ελx␈↓ 	9␈εα),␈↓ 	U␈ελv␈↓ 	h␈εα(␈↓ 	t␈ελx␈↓ 
π␈εα)␈↓ 
/␈εα=␈↓ 
b␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα);
␈β∞u␈↓ β≡␈ε↓␈␈↓ ∧:␈ε↓↓␈↓ ¬7␈ε↓␈␈↓ εM␈ε↓↓
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εαotherwise␈↓ αh␈εαgcd␈↓ β,␈ελu␈↓ βB␈εα(␈↓ βN␈ελx␈↓ β`␈εα),␈↓ β|␈ελv␈↓ ∧∂␈εα(␈↓ ∧≠␈ελx␈↓ ∧.␈εα)␈↓ ∧S␈εα=␈↓ ¬↓␈εαgcd␈↓ ¬E␈ελv␈↓ ¬X␈εα(␈↓ ¬d␈ελx␈↓ ¬w␈εα),␈↓ ε∪␈ελr␈↓ ε#␈εα(␈↓ ε/␈ελx␈↓ εA␈εα)␈↓ ε[␈εα,␈α
where␈↓ πZ␈ελr␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελx␈↓ λ	␈εα)␈αis␈αgiv␈α␈en␈α
by␈α(1).␈α
This␈αpro-
␈β∂@␈↓ ↓H␈εαcedure␈αis␈αcalled␈αEuclid's␈αalgorithm␈αfor␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈α|eld;␈αit␈αwas␈α|rst␈αused
␈β∂k␈↓ ↓H␈εαby␈α
Simon␈α
Stevin␈αin␈α
1585␈α
[␈ε∂Les␈α≥uvres␈α
math␈↓ εc␈ε∂∞␈↓ εd␈ε∂e␈↓ εt␈ε∂matiques␈α
de␈αSimon␈α
Stevin␈εα,␈αed.␈α
by␈α
A.
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈εαGirard,␈ε∩␈α1␈εα␈α(Leyden,␈α1634),␈α56].
␈β⊂A␈↓ π⊂␈ε¬8␈↓ π[␈ε¬6␈↓ λI␈ε¬4␈↓ 	8␈ε¬3␈↓ 
∀␈ε¬2
␈β⊂F␈↓ α␈εαFor␈αλexample,␈α	let␈αλus␈αλdetermine␈αλthe␈αλgcd␈αλof␈↓ ε⎇␈ελx␈↓ π!␈εα+␈↓ πH␈ελx␈↓ πl␈εα+␈αα10␈↓ λ6␈ελx␈↓ λZ␈εα+␈αβ10␈↓ 	%␈ελx␈↓ 	I␈εα+␈αβ8␈↓ 
α␈ελx␈↓ 
&␈εα+␈αα2␈↓ 
↑␈ελx␈↓ 
t␈εα+␈αα8
␈β⊂l␈↓ α.␈ε¬6␈↓ β
␈ε¬4␈↓ βe␈ε¬2
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαand␈απ3␈↓ α≠␈ελx␈↓ α?␈εα+␈αα5␈↓ αw␈ελx␈↓ β~␈εα+␈αβ9␈↓ βS␈ελx␈↓ βv␈εα+␈αα4␈↓ ∧.␈ελx␈↓ ∧C␈εα+␈αα8,␈α	mod␈αλ13,␈αλby␈αλusing␈απEuclid's␈αλalgorithm␈αλfor␈απpolynomials
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
in␈α␈tegers␈α
modulo␈α
13.␈αFirst,␈α
writing␈α
only␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α
the␈α
steps
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα394␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα(␈↓ ↓H␈εαof␈αAlgorithm␈αD␈↓ β:␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βαz␈↓ λ"␈εα9␈α∩0␈α∩7
␈ββ¬␈↓ ¬t␈ε↓↓
␈ββ∨␈↓ ¬t␈∧β∨¬tαβ	
␈ββ'␈↓ βx␈εα3␈α∩0␈α∩5␈α∩0␈α∩9␈α∩4␈α∩8
␈ββ)␈↓ ε∀␈εα1␈α∩0␈α∩1␈α∩0␈α∩10␈α∩10␈α$8␈α∩2␈α∩8
␈ββU␈↓ ε∀␈εα1␈α∩0␈α∩6␈α∩0␈α$3␈α∩10␈α$7
␈ββk␈↓ α␈εα(5)
␈ββz␈↓ ε∀␈∧βzε∀ααi
␈β∧ε␈↓ ε8␈εα0␈α∩8␈α∩0␈α$7␈α$0␈α$1␈α∩2␈α∩8
␈β∧1␈↓ ε\␈εα8␈α∩0␈α$9␈α$0␈α∩11␈α∩2␈α∩4
␈β∧W␈↓ ε\␈∧∧Wε\αα!
␈β∧c␈↓ π␈εα0␈α∩11␈α$0␈α$3␈α∩0␈α∩4
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαand␈αhence
␈β¬x␈↓ ↓}␈ε¬8␈↓ αT␈ε¬6␈↓ βM␈ε¬4␈↓ ∧F␈ε¬3␈↓ ¬-␈ε¬2
␈β¬}␈↓ ↓l␈ελx␈↓ α∃␈εα+␈↓ αA␈ελx␈↓ αj␈εα+␈αλ10␈↓ β:␈ελx␈↓ βc␈εα+␈αλ10␈↓ ∧3␈ελx␈↓ ∧\␈εα+␈αλ8␈↓ ¬~␈ελx␈↓ ¬D␈εα+␈αλ2␈↓ εα␈ελx␈↓ ε≤␈εα+␈αλ8
␈βε*␈↓ ∧∪␈ε¬2␈↓ ¬%␈ε¬6␈↓ ε␈ε¬4␈↓ εs␈ε¬2␈↓ 	7␈ε¬4␈↓ 
≡␈ε¬2
␈βε0␈↓ β5␈εα=␈α
(9␈↓ ∧↓␈ελx␈↓ ∧*␈εα+␈αλ7)(3␈↓ ¬∩␈ελx␈↓ ¬;␈εα+␈αλ5␈↓ ¬y␈ελx␈↓ ε"␈εα+␈αλ9␈↓ ε`␈ελx␈↓ π	␈εα+␈αλ4␈↓ πG␈ελx␈↓ πb␈εα+␈αλ8)␈α∩+␈α∩(11␈↓ 	$␈ελx␈↓ 	M␈εα+␈αλ3␈↓ 
␈ελx␈↓ 
4␈εα+␈αλ4).
␈βπ↓␈↓ ↓H␈εαSimilarly,
␈βπK␈↓ α%␈ε¬6␈↓ β
␈ε¬4␈↓ βt␈ε¬2␈↓ ε
␈ε¬2␈↓ π-␈ε¬4␈↓ λ∀␈ε¬2
␈βπQ␈↓ α↓␈εα3␈↓ α∪␈ελx␈↓ α<␈εα+␈αλ5␈↓ αz␈ελx␈↓ β#␈εα+␈αλ9␈↓ βa␈ελx␈↓ ∧
␈εα+␈αλ4␈↓ ∧H␈ελx␈↓ ∧c␈εα+␈αλ8␈↓ ¬+␈εα=␈α
(5␈↓ ¬w␈ελx␈↓ ε ␈εα+␈αλ5)(11␈↓ π~␈ελx␈↓ πC␈εα+␈αλ3␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ+␈εα+␈αλ4)␈α∩+␈α∩(4␈↓ 	[␈ελx␈↓ 	u␈εα+␈αλ1);
␈βλ↓␈↓ β
␈ε¬4␈↓ βt␈ε¬2␈↓ ε
␈ε¬3␈↓ εq␈ε¬2
␈βλπ␈↓ αV␈εα11␈↓ αz␈ελx␈↓ β#␈εα+␈αλ3␈↓ βa␈ελx␈↓ ∧
␈εα+␈αλ4␈↓ ¬+␈εα=␈α
(6␈↓ ¬w␈ελx␈↓ ε ␈εα+␈αλ5␈↓ ε↑␈ελx␈↓ ππ␈εα+␈αλ6␈↓ πE␈ελx␈↓ π`␈εα+␈αλ5)(4␈↓ λH␈ελx␈↓ λc␈εα+␈αλ1)␈α∩+␈α∩12;
␈βλ=␈↓ ∧6␈εα4␈↓ ∧H␈ελx␈↓ ∧c␈εα+␈αλ1␈↓ ¬+␈εα=␈α
(9␈↓ ¬w␈ελx␈↓ ε∩␈εα+␈αλ12)␈ε⊗␈αλ↓␈εα␈αλ12␈α∩+␈α∩0.␈↓ α␈εα(6)
␈β	∞␈↓ ↓H␈εα(The␈α
equality␈αsign␈α
here␈αmeans␈α
congruence␈αmodulo␈α
13,␈αsince␈αall␈α
arithmetic␈αon␈α
the
␈β	9␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts␈α	has␈α
been␈α	done␈α
mod␈α	13.)␈α∪This␈α
computation␈α	sho␈α␈ws␈α
that␈α	12␈α	is␈α
a␈α	greatest
␈β	d␈↓ ↓H␈εαcommon␈α∞divisor␈α∞of␈α∂the␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞original␈α∞polynomials.␈α∪No␈α␈w␈α∂an␈α␈y␈α∞nonzero␈α∞elemen␈α␈t␈α∞of
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαa␈α∂|eld␈α∂is␈α∂a␈α⊂unit␈α∂of␈α∂the␈α⊂domain␈α∂of␈α∂polynomials␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α⊂that␈α∂|eld,␈α⊂so␈α∂an␈α␈y␈α∂nonzero
␈β
;␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiple␈α∞of␈α∞a␈α∂greatest␈α∞common␈α∞divisor␈α∂is␈α∞also␈α∞a␈α∞greatest␈α∂common␈α∞divisor␈α∞(o␈α␈v␈α␈er
␈β
f␈↓ ↓H␈εαa␈α|eld).␈α
It␈αis␈α
therefore␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈αin␈α
this␈αcase␈αto␈α
divide␈αthe␈αresult␈α
of␈αthe␈αalgo-
␈β⊃␈↓ ↓H␈εαrithm␈αby␈αits␈αleading␈αcoe}cien␈α␈t,␈αproducing␈αa␈ε∂␈αmonic␈εα␈αpolynomial␈αthat␈αis␈αcalled␈ε∂␈αthe
␈β<␈↓ ↓H␈εαgreatest␈α
common␈α
advisor␈α
of␈αthe␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
giv␈α␈en␈α
polynomials.␈αThe␈α
gcd␈α
computed␈α
in␈α
(6)
␈βh␈↓ ↓H␈εαis␈α	accordingly␈α	tak␈α␈en␈α
to␈α	be␈α
1,␈α
not␈α	12.␈αThe␈α
last␈α	step␈α	in␈α
(6)␈α	could␈α
hav␈α␈e␈α	been␈α	omitted,
␈βs␈↓ ∧d␈ε↓␈␈↓ ε␈ε↓↓
␈β∪␈↓ ↓H␈εαfor␈α
if␈α
deg(␈↓ α`␈ελv␈↓ αs␈εα)␈α
=␈α
0,␈αthen␈α
gcd␈↓ ∧r␈ελu␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα),␈↓ ¬C␈ελv␈↓ ¬U␈εα(␈↓ ¬a␈ελx␈↓ ¬t␈εα)␈↓ ε_␈εα=␈α
1,␈αno␈α
matter␈α
what␈αpolynomial␈α
is␈α
chosen
␈β>␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ α␈ελu␈↓ α⊗␈εα(␈↓ α"␈ελx␈↓ α4␈εα).␈α
Ex␈α␈ercise␈α
4␈αdetermines␈αthe␈α
av␈α␈erage␈αrunning␈αtime␈α
for␈αEuclid's␈αalgorithm
␈βi␈↓ ↓H␈εαon␈αrandom␈αpolynomials␈αmodulo␈↓ ¬F␈ελp␈↓ ¬X␈εα.
␈β
∀␈↓ α␈εαLet␈αus␈αno␈α␈w␈αturn␈αto␈αthe␈αmore␈αgeneral␈αsituation␈αin␈αwhich␈αour␈αpolynomials␈αare
␈β
@␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈en␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α∞a␈α∞unique␈α∞factorization␈α∞domain␈α
that␈α∞is␈α∞not␈α∞a␈α∞|eld.␈α⊃From␈α∞Eqs.␈α∞(4)␈α
w␈α␈e
␈β
k␈↓ ↓H␈εαcan␈αdeduce␈αthe␈αimportan␈α␈t␈αrelations
␈β∞~␈↓ ∧@␈ε↓␈␈↓ ¬U␈ε↓↓␈↓ ε|␈ε↓␈␈↓ λy␈ε↓↓
␈β∞:␈↓ β⎇␈εαcon␈α␈t␈↓ ∧N␈εαgcd␈↓ ¬∧␈εα(␈↓ ¬⊂␈ελu␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬6␈ελv␈↓ ¬I␈εα)␈↓ ¬m␈εα=␈↓ ε≠␈ελa␈↓ ε4␈ε⊗↓␈↓ εF␈εαgcd␈↓ π
␈εαcon␈α␈t␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελu␈↓ πo␈εα),␈↓ λ␈εαcon␈α␈t␈↓ λN␈εα(␈↓ λZ␈ελv␈↓ λm␈εα)␈↓ 	π␈εα,
␈β∞P␈↓ βj␈ε↓␈␈↓ ¬U␈ε↓↓␈↓ εy␈ε↓␈␈↓ π/␈ε↓␈␈↓ π⎇␈ε↓↓␈↓ λ@␈ε↓␈␈↓ 	␈ε↓↓␈↓ 	~␈ε↓↓
␈β∞U␈↓ α␈εα(7)
␈β∞p␈↓ βB␈εαpp␈↓ βx␈εαgcd␈↓ ∧.␈εα(␈↓ ∧:␈ελu␈↓ ∧P␈εα(␈↓ ∧\␈ελx␈↓ ∧o␈εα),␈↓ ¬␈ελv␈↓ ¬≡␈εα(␈↓ ¬*␈ελx␈↓ ¬=␈εα))␈↓ ¬m␈εα=␈↓ ε≠␈ελb␈↓ ε1␈ε⊗↓␈↓ εC␈εαgcd␈↓ ππ␈εαpp␈↓ π=␈ελu␈↓ πS␈εα(␈↓ π←␈ελx␈↓ πq␈εα)␈↓ λ␈εα,␈↓ λ≠␈ελp␈↓ λ.␈ελp␈↓ λN␈ελv␈↓ λa␈εα(␈↓ λm␈ελx␈↓ 	␈εα)␈↓ 	(␈εα,
␈β∂$␈↓ ¬Z␈ε↓␈␈↓ εv␈ε↓↓
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελa␈↓ αN␈εαand␈↓ β∀␈ελb␈↓ β/␈εαare␈αunits.␈α
Here␈↓ ¬$␈εαgcd␈↓ ¬h␈ελu␈↓ ¬}␈εα(␈↓ ε
␈ελx␈↓ ε≥␈εα),␈↓ ε9␈ελv␈↓ εL␈εα(␈↓ εX␈ελx␈↓ εj␈εα)␈↓ π⊃␈εαdenotes␈αan␈α␈y␈αparticular␈αpolynomial
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαin␈↓ ↓t␈ελx␈↓ α⊗␈εαthat␈α∞is␈α∂a␈α∂greatest␈α∞common␈α∂divisor␈α∞of␈↓ εp␈ελu␈↓ πε␈εα(␈↓ π∩␈ελx␈↓ π$␈εα)␈α∂and␈↓ λλ␈ελv␈↓ λ≠␈εα(␈↓ λ'␈ελx␈↓ λ9␈εα).␈α∀Equations␈α∂(7)␈α∞reduce
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαthe␈α
problem␈αof␈α|nding␈αgreatest␈αcommon␈α
divisors␈αof␈αarbitrary␈αpolynomials␈αto␈α
the
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαproblem␈αof␈α|nding␈αgreatest␈αcommon␈αdivisors␈αof␈ε∂␈αprimitiv␈α␈e␈εα␈αpolynomials.
␈β⊂q␈↓ α␈εαAlgorithm␈αD␈αfor␈αdivision␈αof␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈α|eld␈αcan␈αbe␈αgeneralized␈αto␈αa
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαpseudo-division␈αof␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αan␈α␈y␈αalgebraic␈αsystem␈αthat␈α
is␈αa␈αcomm␈α␈utativ␈α␈e
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα395
␈βα(␈↓ ↓H␈εαring␈α
with␈α∞iden␈α␈tity.␈α⊂We␈α
can␈α∞observ␈α␈e␈α
that␈α∞Algorithm␈α
D␈α∞requires␈α
explicit␈α
division
␈βαS␈↓ ↓H␈εαonly␈αλby␈↓ αD␈ελ#␈↓ αS␈εα(␈↓ α←␈ελv␈↓ αr␈εα),␈α	the␈α	leading␈αλcoe}cien␈α␈t␈αλof␈↓ ε∞␈ελv␈↓ ε ␈εα(␈↓ ε,␈ελx␈↓ ε?␈εα),␈α	and␈α	that␈αλstep␈αλD2␈αλis␈α	carried␈αλout␈αλexactly
␈βα}␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓o␈ε⊗␈␈↓ α≤␈ελn␈↓ α9␈εα+␈α	1␈αtimes;␈αth␈α␈us␈αif␈↓ ∧←␈ελu␈↓ ∧u␈εα(␈↓ ¬↓␈ελx␈↓ ¬∀␈εα)␈αand␈↓ ¬r␈ελv␈↓ ε¬␈εα(␈↓ ε⊃␈ελx␈↓ ε$␈εα)␈αstart␈αwith␈α
in␈α␈teger␈αcoe}cien␈α␈ts,␈αand␈αif␈αw␈α␈e
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαare␈αw␈α␈orking␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αrational␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αthen␈αthe␈αonly␈αdenominators␈αthat␈αappear
␈ββP␈↓ λβ␈εm␈↓ λ≥␈ε→␈␈↓ λ:␈εn␈↓ λL␈ε¬+1
␈ββU␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ ∧∞␈ελq␈↓ ∧≡␈εα(␈↓ ∧*␈ελx␈↓ ∧<␈εα)␈αand␈↓ ¬~␈ελr␈↓ ¬*␈εα(␈↓ ¬6␈ελx␈↓ ¬H␈εα)␈αare␈αdivisors␈αof␈↓ πI␈ελ#␈↓ πX␈εα(␈↓ πd␈ελv␈↓ πw␈εα)␈↓ λw␈εα.␈αThis␈αsuggests␈αthat
␈β∧␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αcan␈αalways␈α|nd␈αpolynomials␈↓ ¬E␈ελq␈↓ ¬U␈εα(␈↓ ¬a␈ελx␈↓ ¬t␈εα)␈αand␈↓ εR␈ελr␈↓ εa␈εα(␈↓ εm␈ελx␈↓ π␈εα)␈αsuch␈αthat
␈β∧R␈↓ βg␈εm␈↓ ∧↓␈ε→␈␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ∧/␈ε¬+1
␈β∧X␈↓ β-␈ελ#␈↓ β<␈εα(␈↓ βH␈ελv␈↓ β[␈εα)␈↓ ∧Z␈ελu␈↓ ∧p␈εα(␈↓ ∧|␈ελx␈↓ ¬∂␈εα)␈α
=␈↓ ¬S␈ελq␈↓ ¬c␈εα(␈↓ ¬o␈ελx␈↓ εα␈εα)␈↓ ε∞␈ελv␈↓ ε!␈εα(␈↓ ε-␈ελx␈↓ ε?␈εα)␈αλ+␈↓ ε␈␈ελr␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈ελx␈↓ π.␈εα),␈↓ λ∩␈εαdeg␈↓ λH␈εα(␈↓ λT␈ελr␈↓ λd␈εα)␈α
<␈↓ 	(␈ελn␈↓ 	=␈εα,␈↓ α␈εα(8)
␈β¬1␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α3␈ελm␈↓ αb␈εα=␈↓ β⊗␈εαdeg␈↓ βL␈εα(␈↓ βX␈ελu␈↓ βn␈εα)␈α∂and␈↓ ∧S␈ελn␈↓ ∧x␈εα=␈↓ ¬,␈εαdeg␈↓ ¬b␈εα(␈↓ ¬n␈ελv␈↓ ε↓␈εα),␈α⊂for␈α∂an␈α␈y␈α⊂polynomials␈↓ λv␈ελu␈↓ 	␈εα(␈↓ 	_␈ελx␈↓ 	+␈εα)␈α∂and␈↓ 
∂␈ελv␈↓ 
"␈εα(␈↓ 
.␈ελx␈↓ 
A␈εα)␈ε⊗␈α⊂≤␈εα␈α∂0,
␈β¬\␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈vided␈αthat␈↓ β+␈ελm␈↓ βT␈ε⊗∃␈↓ ∧α␈ελn␈↓ ∧_␈εα.
␈βε"␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αR␈εα␈α(␈ε∂Pseudo-division␈αof␈αpolynomials␈↓ π
␈εα)␈ε∩.␈εα␈α→Giv␈α␈en␈αpolynomials
␈βεt␈↓ βU␈εm␈↓ λ⊂␈εn
␈βεz␈↓ α≠␈ελu␈↓ α1␈εα(␈↓ α=␈ελx␈↓ αP␈εα)␈α
=␈↓ β∀␈ελu␈↓ βB␈ελx␈↓ βw␈εα+␈↓ ∧#␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧U␈εα+␈↓ ¬↓␈ελu␈↓ ¬$␈ελx␈↓ ¬?␈εα+␈↓ ¬k␈ελu␈↓ ε∞␈εα,␈↓ εf␈ελv␈↓ εx␈εα(␈↓ π∧␈ελx␈↓ π↔␈εα)␈α
=␈↓ π[␈ελv␈↓ π⎇␈ελx␈↓ λ*␈εα+␈↓ λV␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	λ␈εα+␈↓ 	4␈ελv␈↓ 	R␈εα(␈↓ 	↑␈ελx␈↓ 	q␈εα)␈αλ+␈↓ 
1␈ελv␈↓ 
O␈εα,
␈βππ␈↓ β(␈εm␈↓ ¬⊗␈ε¬1␈↓ ¬␈␈ε¬0␈↓ πk␈εn␈↓ 	C␈ε¬1␈↓ 
@␈ε¬0
␈βπR␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α6␈ελv␈↓ αm␈ε⊗≤␈εα␈α∀0␈α∪and␈↓ ∧⊗␈ελm␈↓ ∧K␈ε⊗∃␈↓ ¬∧␈ελn␈↓ ¬.␈ε⊗∃␈εα␈α∃0,␈α∀this␈α∩algorithm␈α∪|nds␈α∩polynomials␈↓ 
9␈ελq␈↓ 
I␈εα(␈↓ 
U␈ελx␈↓ 
h␈εα)␈α∀=
␈βπ`␈↓ αF␈εn
␈βπx␈↓ α0␈εm␈↓ αJ␈ε→␈␈↓ αg␈εn␈↓ εG␈εn␈↓ εY␈ε→␈␈ε¬1
␈βπ}␈↓ ↓H␈ελq␈↓ α≥␈ελx␈↓ β↓␈εα+␈↓ β-␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β←␈εα+␈↓ ∧␈ελq␈↓ ∧2␈εαand␈↓ ∧x␈ελr␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈α
=␈↓ ¬k␈ελr␈↓ ε5␈ελx␈↓ π␈εα+␈↓ π8␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πj␈εα+␈↓ λ⊗␈ελr␈↓ λ>␈εαsatisfying␈α(8).
␈βλ␈↓ ↓U␈εm␈↓ ↓o␈ε→␈␈↓ α␈εn␈↓ ∧_␈ε¬0␈↓ ¬w␈εn␈↓ ε	␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ#␈ε¬0
␈βλ6␈↓ ↓I␈ε∩R1.␈↓ α␈εα[Iterate␈α∂on␈↓ βA␈ελk␈↓ βS␈εα.]␈α≡Do␈α∂step␈α∂R2␈α∞for␈↓ επ␈ελk␈↓ ε'␈εα=␈↓ εZ␈ελm␈↓ πβ␈ε⊗␈␈↓ π1␈ελn␈↓ πG␈εα,␈↓ π`␈ελm␈↓ λ
␈ε⊗␈␈↓ λ8␈ελn␈↓ λW␈ε⊗␈␈εα␈α
1,␈↓ 	0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	`␈εα,␈α⊂0;␈α⊂then␈α∞the
␈βλa␈↓ α␈εαalgorithm␈αterminates␈αwith␈α(␈↓ ¬@␈ελr␈↓ ε
␈εα,␈↓ ε~␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εJ␈εα,␈↓ εZ␈ελr␈↓ εu␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ πE␈ελu␈↓ λ↔␈εα,␈↓ λ'␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λW␈εα,␈↓ λg␈ελu␈↓ 	
␈εα).
␈βλo␈↓ ¬M␈εn␈↓ ¬←␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εg␈ε¬0␈↓ πZ␈εn␈↓ πl␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ{␈ε¬0
␈β	∃␈↓ εZ␈εk
␈β	~␈↓ ↓I␈ε∩R2.␈↓ α␈εα[Multiplication␈α	loop.]␈α∪Set␈↓ ¬"␈ελq␈↓ ¬G␈ε⊗ ␈↓ ¬u␈ελu␈↓ εG␈ελv␈↓ εl␈εα,␈α
and␈α	then␈α
set␈↓ λH␈ελu␈↓ λt␈ε⊗ ␈↓ 	"␈ελv␈↓ 	C␈ελu␈↓ 	j␈ε⊗␈␈↓ 
∩␈ελu␈↓ 
d␈ελv
␈β	'␈↓ ¬/␈εk␈↓ ε
␈εn␈↓ ε≤␈ε¬+␈↓ ε9␈εk␈↓ λ]␈εj␈↓ 	2␈εn␈↓ 	X␈εj␈↓ 
'␈εn␈↓ 
9␈ε¬+␈↓ 
V␈εk␈↓ 
t␈εj␈↓ ↓␈ε→␈␈↓ ≡␈εk
␈β	,␈↓ εZ␈εn
␈β	E␈↓ α␈εαfor␈↓ α@␈ελj␈↓ α[␈εα=␈↓ β	␈ελn␈↓ β"␈εα+␈↓ βI␈ελk␈↓ β↑␈ε⊗␈␈εα␈αβ1,␈↓ ∧*␈ελn␈↓ ∧C␈εα+␈↓ ∧j␈ελk␈↓ ∧␈␈ε⊗␈␈εα␈αβ2,␈↓ ¬K␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬{␈εα,␈α
0.␈α⊂(When␈↓ π+␈ελj␈↓ πF␈εα<␈↓ πt␈ελk␈↓ λ∞␈εαthis␈αλmeans␈α	that␈↓ 
¬␈ελu␈↓ 
1␈ε⊗ ␈↓ 
←␈ελv␈↓ ↓␈ελu␈↓ "␈εα,
␈β	S␈↓ 
~␈εj␈↓ 
o␈εn␈↓ ∃␈εj
␈β	p␈↓ α␈εαsince␈α
w␈α␈e␈αtreat␈↓ βs␈ελv␈↓ ∧.␈εα,␈↓ ∧D␈ελv␈↓ ∧␈␈εα,␈↓ ¬⊗␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬L␈εαas␈α
zero.␈α
These␈α
m␈α␈ultiplications␈αcould␈α
hav␈α␈e␈αbeen
␈β	}␈↓ ∧α␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧T␈ε→␈␈ε¬2
␈β
↔␈↓ 	Z␈εm␈↓ 	t␈ε→␈␈↓ 
⊂␈εn␈↓ 
"␈ε→␈␈↓ 
?␈εt
␈β
≤␈↓ α␈εαav␈α␈oided␈α
if␈α∞w␈α␈e␈α
had␈α∞started␈α
the␈α∞algorithm␈α
by␈α
replacing␈↓ λe␈ελu␈↓ 	⊃␈εαby␈↓ 	G␈ελv␈↓ 
J␈ελu␈↓ 
i␈εα,␈α
for
␈β
)␈↓ λy␈εt␈↓ 
↑␈εt
␈β
.␈↓ 	Z␈εn
␈β
G␈↓ α␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ αV␈ελt␈↓ αm␈εα<␈↓ β≠␈ελm␈↓ βC␈ε⊗␈␈↓ βo␈ελn␈↓ ∧∧␈εα.)
␈β
L␈↓ ∧B␈∧
L∧B≠∂
␈β␈↓ α␈εαAn␈α	example␈α	calculation␈α
appears␈α	belo␈α␈w␈α	in␈α	(10).␈αIt␈α	is␈α
easy␈α	to␈α	pro␈α␈v␈α␈e␈α	the␈α	validity
␈β8␈↓ ↓H␈εαof␈αAlgorithm␈α
R␈α
by␈α
induction␈α
on␈↓ ¬P␈ελm␈↓ ¬x␈ε⊗␈␈↓ ε%␈ελn␈↓ ε:␈εα,␈α
since␈α
each␈α
ex␈α␈ecution␈α
of␈α
step␈α
R2␈αessen-
␈β↑␈↓ ε2␈εk
␈βc␈↓ ↓H␈εαtially␈α
replaces␈↓ β0␈ελu␈↓ βF␈εα(␈↓ βR␈ελx␈↓ βd␈εα)␈α∞by␈↓ ∧3␈ελ#␈↓ ∧B␈εα(␈↓ ∧N␈ελv␈↓ ∧a␈εα)␈↓ ∧m␈ελu␈↓ ¬α␈εα(␈↓ ¬∞␈ελx␈↓ ¬!␈εα)␈ε⊗␈α	␈␈↓ ¬c␈ελ#␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελu␈↓ ε∀␈εα)␈↓ ε ␈ελx␈↓ εA␈ελv␈↓ εT␈εα(␈↓ ε`␈ελx␈↓ εr␈εα),␈α∞where␈↓ π␈␈ελk␈↓ λ≥␈εα=␈↓ λM␈εαdeg␈↓ 	β␈εα(␈↓ 	∂␈ελu␈↓ 	%␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ 	f␈εαdeg␈↓ 
≤␈εα(␈↓ 
(␈ελv␈↓ 
;␈εα).␈α∂Note
␈β∞␈↓ ↓H␈εαthat␈α
no␈α
division␈α∞whatev␈α␈er␈α
is␈α
used␈α∞in␈α
this␈α
algorithm;␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ 
*␈ελq␈↓ 
:␈εα(␈↓ 
F␈ελx␈↓ 
Y␈εα)␈α
and
␈β9␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εα(␈↓ ↓c␈ελx␈↓ ↓v␈εα)␈α∞are␈α
themselv␈α␈es␈α∞certain␈α∞polynomial␈α
functions␈α∞of␈α∞the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈↓ 
$␈ελu␈↓ 
:␈εα(␈↓ 
F␈ελx␈↓ 
Y␈εα)␈α
and
␈βd␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα).␈α⊂If␈↓ αD␈ελv␈↓ αr␈εα=␈α1,␈α
the␈α∞algorithm␈α
is␈α
iden␈α␈tical␈α
to␈α∞Algorithm␈α
D␈↓ λ↑␈εα.␈α⊂If␈↓ 	≥␈ελu␈↓ 	2␈εα(␈↓ 	>␈ελx␈↓ 	Q␈εα)␈α
and␈↓ 
2␈ελv␈↓ 
D␈εα(␈↓ 
P␈ελx␈↓ 
c␈εα)␈α
are
␈βr␈↓ αT␈εn
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εαpolynomials␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αa␈αunique␈α
factorization␈αdomain,␈αw␈α␈e␈α
can␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αas␈α
before␈αthat␈α
the
␈β
;␈↓ ↓H␈εαpolynomials␈↓ β⊃␈ελq␈↓ β!␈εα(␈↓ β-␈ελx␈↓ β@␈εα)␈α∞and␈↓ ∧!␈ελr␈↓ ∧1␈εα(␈↓ ∧=␈ελx␈↓ ∧P␈εα)␈α
are␈α∞unique;␈α∞therefore␈α∞another␈α
way␈α∞to␈α
do␈α∞the␈α
pseudo-
␈β
a␈↓ 	s␈εm␈↓ 

␈ε→␈␈↓ 
)␈εn␈↓ 
;␈ε¬+1
␈β
f␈↓ ↓H␈εαdivision␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈αunique␈αfactorizarion␈αdomain␈αis␈αto␈αm␈α␈ultiply␈↓ λ`␈ελu␈↓ λu␈εα(␈↓ 	↓␈ελx␈↓ 	∀␈εα)␈αby␈↓ 	`␈ελv␈↓ 
r␈εαand
␈β
x␈↓ 	s␈εn
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈εαapply␈αAlgorithm␈αD␈↓ βt␈εα,␈αkno␈α␈wing␈αthat␈αall␈αthe␈αquotien␈α␈ts␈αin␈αstep␈αD2␈αwill␈αexist.
␈β∞=␈↓ α␈εαAlgorithm␈α⊂R␈α∂can␈α⊂be␈α∂extended␈α⊂to␈α∂a␈α⊂\generalized␈α∂Euclidean␈α⊂algorithm"␈α∂for
␈β∞h␈↓ ↓H␈εαprimitiv␈α␈e␈αpolynomials␈αo␈α␈v␈α␈er␈αa␈αunique␈αfactorization␈αdomain,␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αway:
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ αλ␈ελu␈↓ α≥␈εα(␈↓ α)␈ελx␈↓ α<␈εα)␈α
and␈↓ β⊗␈ελv␈↓ β)␈εα(␈↓ β5␈ελx␈↓ βH␈εα)␈α
be␈α
primitiv␈α␈e␈α
polynomials␈α
with␈↓ π;␈εαdeg␈↓ πq␈εα(␈↓ π⎇␈ελu␈↓ λ∪␈εα)␈ε⊗␈α
∃␈↓ λW␈εαdeg␈↓ 	
␈εα(␈↓ 	→␈ελv␈↓ 	,␈εα),␈α
and␈α
determine
␈β∂∨␈↓ πf␈ε↓␈␈↓ 	α␈ε↓↓␈↓ 	}␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β∂?␈↓ ↓H␈ελr␈↓ ↓W␈εα(␈↓ ↓c␈ελx␈↓ ↓v␈εα)␈απsatisfying␈αε(8)␈απby␈αεmeans␈αεof␈απAlgorithm␈αεR.␈απNo␈α␈w␈↓ π0␈εαgcd␈↓ πt␈ελu␈↓ λ
␈εα(␈↓ λ⊗␈ελx␈↓ λ)␈εα),␈↓ λE␈ελv␈↓ λX␈εα(␈↓ λd␈ελx␈↓ λv␈εα)␈↓ 	~␈εα=␈↓ 	H␈εαgcd␈↓ 
␈ελv␈↓ 
∨␈εα(␈↓ 
+␈ελx␈↓ 
>␈εα),␈↓ 
Z␈ελr␈↓ 
j␈εα(␈↓ 
v␈ελx␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα:
␈β∂j␈↓ ↓H␈εαFor␈αan␈α␈y␈αcommon␈α
divisor␈αof␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬_␈εα(␈↓ ¬$␈ελx␈↓ ¬7␈εα)␈αand␈↓ ε∃␈ελv␈↓ ε(␈εα(␈↓ ε4␈ελx␈↓ εG␈εα)␈αdivides␈↓ πZ␈ελv␈↓ πl␈εα(␈↓ πx␈ελx␈↓ λ␈εα)␈α
and␈↓ λj␈ελr␈↓ λz␈εα(␈↓ 	ε␈ελx␈↓ 	→␈εα);␈αcon␈α␈v␈α␈ersely,␈αan␈α␈y
␈β⊂⊂␈↓ π	␈εm␈↓ π#␈ε→␈␈↓ π@␈εn␈↓ πR␈ε¬+1
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εαcommon␈α
divisor␈α
of␈↓ β{␈ελv␈↓ ∧∞␈εα(␈↓ ∧~␈ελx␈↓ ∧-␈εα)␈α
and␈↓ ¬
␈ελr␈↓ ¬≤␈εα(␈↓ ¬(␈ελx␈↓ ¬;␈εα)␈α
divides␈↓ εO␈ελ#␈↓ ε←␈εα(␈↓ εk␈ελv␈↓ ε⎇␈εα)␈↓ π⎇␈ελu␈↓ λ∪␈εα(␈↓ λ∨␈ελx␈↓ λ2␈εα),␈α
and␈α
it␈α
m␈α␈ust␈α
be␈α
primi-
␈β⊂!␈↓ α⊃␈ε↓␈␈↓ ∧{␈ε↓↓
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈e␈↓ α∨␈εαsince␈↓ αy␈ελv␈↓ β␈εα(␈↓ β_␈ελx␈↓ β+␈εα)␈α∞is␈α∂primitiv␈α␈e␈↓ ¬↔␈εαso␈α∞it␈α∂divides␈↓ εh␈ελu␈↓ ε}␈εα(␈↓ π
␈ελx␈↓ π≥␈εα).␈α∪If␈↓ πl␈ελr␈↓ π|␈εα(␈↓ λλ␈ελx␈↓ λ≠␈εα)␈α∞=␈α∞0,␈α∂w␈α␈e␈α∞therefore␈α∞hav␈α␈e
␈β⊂L␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ β~␈ε↓↓␈↓ 	Z␈ε↓␈␈↓ 
p␈ε↓↓
␈β⊂k␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελu␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα),␈↓ α\␈ελv␈↓ αo␈εα(␈↓ α{␈ελx␈↓ β∞␈εα)␈↓ β2␈εα=␈↓ β`␈ελv␈↓ βs␈εα(␈↓ β␈␈ελx␈↓ ∧∩␈εα);␈αon␈αthe␈αother␈αhand␈αif␈↓ ε␈␈ελr␈↓ π∞␈εα(␈↓ π~␈ελx␈↓ π-␈εα)␈ε⊗␈α
≤␈εα␈α0,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ 	$␈εαgcd␈↓ 	h␈ελv␈↓ 	{␈εα(␈↓ 
π␈ελx␈↓ 
~␈εα),␈↓ 
6␈ελr␈↓ 
E␈εα(␈↓ 
Q␈ελx␈↓ 
d␈εα)␈↓ λ␈εα=
␈β⊂w␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ β↓␈ε↓␈␈↓ βV␈ε↓↓␈↓ βd␈ε↓↓
␈β⊃↔␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελv␈↓ α≡␈εα(␈↓ α*␈ελx␈↓ α=␈εα),␈↓ αY␈εαpp␈↓ β∂␈εα(␈↓ β≠␈ελr␈↓ β+␈εα(␈↓ β7␈ελx␈↓ βJ␈εα)␈↓ β}␈εαsince␈↓ ∧V␈ελv␈↓ ∧i␈εα(␈↓ ∧u␈ελx␈↓ ¬π␈εα)␈αis␈αprimitiv␈α␈e,␈αso␈αthe␈αprocess␈αcan␈αbe␈αiterated.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα396␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αλE␈εα␈α	(␈ε∂Generalized␈αλEuclidean␈α	algorithm␈εα)␈ε∩.␈εα␈α⊃Giv␈α␈en␈α	nonzero␈αλpolynomials␈↓ 
l␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α	␈ελv␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελx␈↓ α;␈εα)␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλa␈αλunique␈απfactorization␈αλdomain␈↓ εl␈ελS␈↓ πα␈εα,␈α	this␈αλalgorithm␈αλcalculates␈αλa␈απgreatest
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαcommon␈αdivisor␈αof␈↓ βy␈ελu␈↓ ∧∞␈εα(␈↓ ∧~␈ελx␈↓ ∧-␈εα)␈αand␈↓ ¬␈ελv␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬=␈εα).␈α
We␈α
assume␈αthat␈αauxiliary␈α
algorithms␈αexist␈αto
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαcalculate␈α
greatest␈α
common␈α∞divisors␈α
of␈α∞elemen␈α␈ts␈α
of␈↓ πj␈ελS␈↓ λ↓␈εα,␈α
and␈α∞to␈α
divide␈↓ 	z␈ελa␈↓ 
~␈εαby␈↓ 
O␈ελb␈↓ 
k␈εαin␈↓ ⊗␈ελS
␈ββS␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α&␈ελb␈↓ α>␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αand␈↓ βP␈ελa␈↓ βn␈εαis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ ¬g␈ελb␈↓ ¬u␈εα.
␈ββc␈↓ ε←␈ε↓␈␈↓ λ[␈ε↓↓
␈β∧β␈↓ ↓L␈ε∩E1.␈↓ α␈εα[Reduce␈α⊂to␈α⊂primitiv␈α␈e.]␈α!Set␈↓ ¬O␈ελd␈↓ ¬t␈ε⊗ ␈↓ ε)␈εαgcd␈↓ εm␈εαcon␈α␈t␈↓ π0␈εα(␈↓ π<␈ελu␈↓ πQ␈εα),␈↓ πm␈εαcon␈α␈t␈↓ λ0␈εα(␈↓ λ<␈ελv␈↓ λO␈εα)␈↓ λi␈εα,␈α⊃using␈α⊂the␈α⊂assumed
␈β∧∞␈↓ 	␈ε↓␈
␈β∧.␈↓ α␈εαalgorithm␈α
for␈α
calculating␈α
greatest␈α
common␈αdivisors␈α
in␈↓ λW␈ελS␈↓ λm␈εα.␈↓ 	~␈εαNote␈α
that␈α
con␈α␈t(␈↓ ␈ελu␈↓  ␈εα)
␈β∧9␈↓ 	↓␈ε↓↓
␈β∧Y␈↓ α␈εαis␈α∞a␈α∞greatest␈α∂common␈α∞divisor␈α∞of␈α∞the␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈↓ λ7␈ελu␈↓ λM␈εα(␈↓ λY␈ελx␈↓ λk␈εα).␈↓ 	-␈εαReplace␈↓ 
6␈ελu␈↓ 
K␈εα(␈↓ 
W␈ελx␈↓ 
j␈εα)␈α∞by
␈β∧e␈↓ ε'␈ε↓␈␈↓ εu␈ε↓↓␈↓ 
I␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β¬∧␈↓ α␈εαthe␈α	polynomial␈↓ β}␈ελu␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧2␈εα)/␈↓ ∧V␈εαcon␈α␈t␈↓ ¬→␈εα(␈↓ ¬%␈ελu␈↓ ¬;␈εα)␈α
=␈↓ ¬␈␈εαpp␈↓ ε5␈ελu␈↓ εK␈εα(␈↓ εW␈ελx␈↓ εi␈εα)␈↓ πβ␈εα;␈α
similarly,␈α
replace␈↓ 	*␈ελv␈↓ 	<␈εα(␈↓ 	H␈ελx␈↓ 	[␈εα)␈α	by␈↓ 
!␈εαpp␈↓ 
W␈ελv␈↓ 
j␈εα(␈↓ 
v␈ελx␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα.
␈β¬∀␈↓ λk␈ε↓␈
␈β¬4␈↓ ↓L␈ε∩E2.␈↓ α␈εα[Pseudo-division.]␈α~Calculate␈↓ ¬Z␈ελr␈↓ ¬j␈εα(␈↓ ¬v␈ελx␈↓ ε	␈εα)␈αusing␈α
Algorithm␈αR.␈↓ λy␈εαIt␈α
is␈αunnecessary␈αto
␈β¬?␈↓ εd␈ε↓↓
␈β¬←␈↓ α␈εαcalculate␈α
the␈α
quotien␈α␈t␈α
polynomial␈↓ ε∨␈ελq␈↓ ε/␈εα(␈↓ ε;␈ελx␈↓ εN␈εα).␈↓ πε␈εαIf␈↓ π(␈ελr␈↓ π8␈εα(␈↓ πD␈ελx␈↓ πW␈εα)␈α
=␈α
0,␈α
go␈α
to␈α
E4.␈αIf␈α
deg(␈↓ 
=␈ελr␈↓ 
L␈εα)␈α
=␈α
0,
␈βε
␈↓ α␈εαreplace␈↓ βε␈ελv␈↓ β→␈εα(␈↓ β%␈ελx␈↓ β8␈εα)␈αby␈αthe␈αconstan␈α␈t␈αpolynomial␈α\1"␈αand␈αgo␈αto␈αE4.
␈βε~␈↓ 
L␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈βε9␈↓ ↓L␈ε∩E3.␈↓ α␈εα[Mak␈α␈e␈αεremainder␈αεprimitiv␈α␈e.]␈αReplace␈↓ εE␈ελu␈↓ ε[␈εα(␈↓ εg␈ελx␈↓ εy␈εα)␈απby␈↓ π:␈ελv␈↓ πM␈εα(␈↓ πY␈ελx␈↓ πk␈εα)␈απand␈αεreplace␈↓ 	2␈ελv␈↓ 	E␈εα(␈↓ 	Q␈ελx␈↓ 	c␈εα)␈απby␈↓ 
$␈εαpp␈↓ 
Z␈ελr␈↓ 
j␈εα(␈↓ 
v␈ελx␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα.
␈βεe␈↓ α␈εαGo␈α
back␈αto␈α
step␈α
E2.␈α~(This␈α
is␈αthe␈α
\Euclidean␈α
step,"␈αanalogous␈α
to␈α
the␈αother
␈βπ⊂␈↓ α␈εαinstances␈αof␈αEuclid's␈αalgorithm␈αthat␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αseen.)
␈βπ?␈↓ ↓L␈ε∩E4.␈↓ α␈εα[Attach␈αεthe␈απcon␈α␈ten␈α␈t.]␈αThe␈αεalgorithm␈απterminates,␈απwith␈↓ λ<␈ελd␈↓ λP␈ε⊗↓␈↓ λ[␈ελv␈↓ λn␈εα(␈↓ λz␈ελx␈↓ 	
␈εα)␈αεas␈αεthe␈απansw␈α␈er.
␈βπD␈↓ ~␈∧πD~≠∂
␈βπs␈↓ α␈εαAs␈αλan␈απexample␈αλof␈απAlgorithm␈αλE␈↓ ¬X␈εα,␈αλlet␈απus␈αλcalculate␈απthe␈αλgreatest␈απcommon␈αλdivisor␈απof
␈βλ%␈↓ ∧←␈ε¬8␈↓ ¬4␈ε¬6␈↓ ε≠␈ε¬4␈↓ πα␈ε¬3␈↓ πi␈ε¬2
␈βλ+␈↓ βS␈ελu␈↓ βi␈εα(␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧λ␈εα)␈↓ ∧≡␈εα=␈↓ ∧L␈ελx␈↓ ∧u␈εα+␈↓ ¬!␈ελx␈↓ ¬J␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ ελ␈ελx␈↓ ε1␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ εo␈ελx␈↓ π→␈εα+␈αλ8␈↓ πW␈ελx␈↓ λ␈εα+␈αλ2␈↓ λ>␈ελx␈↓ λY␈ε⊗␈␈εα␈αλ5,
␈βλD␈↓ α␈εα(9)
␈βλ[␈↓ ∧q␈ε¬6␈↓ ¬X␈ε¬4␈↓ ε?␈ε¬2
␈βλa␈↓ βV␈ελv␈↓ βi␈εα(␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧λ␈εα)␈↓ ∧≡␈εα=␈α
3␈↓ ∧↑␈ελx␈↓ ¬π␈εα+␈αλ5␈↓ ¬E␈ελx␈↓ ¬n␈ε⊗␈␈εα␈αλ4␈↓ ε,␈ελx␈↓ εU␈ε⊗␈␈εα␈αλ9␈↓ π∪␈ελx␈↓ π.␈εα+␈αλ21,
␈β	∃␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈α∞the␈α∂in␈α␈tegers.␈α∪These␈α∂polynomials␈α∞are␈α∂primitiv␈α␈e,␈α∂so␈α∞step␈α∂E1␈α∞sets␈↓ 
	␈ελd␈↓ 
+␈ε⊗ ␈εα␈α∞1.␈α∪In
␈β	@␈↓ ↓H␈εαstep␈αE2␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αthe␈αpseudo-division
␈β	z␈↓ λj␈εα1␈α$0␈↓ 	V␈ε⊗␈␈εα6
␈β
¬␈↓ ¬>␈ε↓↓
␈β
∨␈↓ ¬>␈∧
∨¬>α∧O
␈β
'␈↓ αh␈εα3␈α∩0␈α∩5␈α∩0␈↓ βx␈ε⊗␈␈εα4␈↓ ∧@␈ε⊗␈␈εα9␈↓ ¬λ␈εα21
␈β
)␈↓ ¬↑␈εα1␈α∩0␈↓ ε\1␈α∩0␈↓ π6␈ε⊗␈␈εα3␈↓ π}␈ε⊗␈␈εα3␈↓ λX␈εα8␈α$2␈↓ 	V␈ε⊗␈␈εα5
␈β
U␈↓ ¬↑␈εα3␈α∩0␈↓ ε\3␈α∩0␈↓ π6␈ε⊗␈␈εα9␈↓ π}␈ε⊗␈␈εα9␈↓ λF␈εα24␈α$6␈↓ 	D␈ε⊗␈␈εα15
␈β␈↓ ¬↑␈εα3␈α∩0␈↓ ε\5␈α∩0␈↓ π6␈ε⊗␈␈εα4␈↓ π}␈ε⊗␈␈εα9␈↓ λF␈εα21
␈β&␈↓ ¬↑␈∧&¬↑α∧/
␈β1␈↓ εα␈εα0␈↓ ε8␈ε⊗␈␈εα2␈↓ π␈εα0␈↓ π6␈ε⊗␈␈εα5␈↓ λ"␈εα0␈α$3␈α$6␈↓ 	D␈ε⊗␈␈εα15
␈βY␈↓ 
p␈εα(10)
␈β]␈↓ εα␈εα0␈↓ ε8␈ε⊗␈␈εα6␈↓ π␈εα0␈↓ π$␈ε⊗␈␈εα15␈↓ λ"␈εα0␈α$9␈α∩18␈↓ 	D␈ε⊗␈␈εα45
␈βλ␈↓ εα␈εα0␈↓ ε\0␈α∩0␈↓ πZ0␈α60␈α$0␈α$0␈↓ 	z0
␈β-␈↓ εα␈∧-εαα∧
␈β9␈↓ ε8␈ε⊗␈␈εα6␈↓ π␈εα0␈↓ π$␈ε⊗␈␈εα15␈↓ λ"␈εα0␈α$9␈α∩18␈↓ 	D␈ε⊗␈␈εα45
␈βd␈↓ ε&␈ε⊗␈␈εα18␈↓ π␈εα0␈↓ π$␈ε⊗␈␈εα45␈↓ λ"␈εα0␈α∩27␈α∩54␈↓ 	2␈ε⊗␈␈εα135
␈β
∂␈↓ ε&␈ε⊗␈␈εα18␈↓ π␈εα0␈↓ π$␈ε⊗␈␈εα30␈↓ λ"␈εα0␈α∩24␈α∩54␈↓ 	2␈ε⊗␈␈εα126
␈β
5␈↓ ε&␈∧
5ε&αβg
␈β
@␈↓ π$␈ε⊗␈␈εα15␈↓ λ"␈εα0␈α$3␈α$0␈↓ 	V␈ε⊗␈␈εα9
␈β
t␈↓ ¬⊂␈ε¬2␈↓ ¬1␈ε¬2␈↓ ε1␈ε¬1␈↓ πh␈ε¬0
␈β
y␈↓ ↓H␈εαHere␈αthe␈αquotien␈α␈t␈↓ βg␈ελq␈↓ βw␈εα(␈↓ ∧β␈ελx␈↓ ∧⊗␈εα)␈αis␈α1␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ∧}␈εα3␈↓ ¬≡␈ελx␈↓ ¬G␈εα+␈αλ0␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ε∨␈εα3␈↓ ε@␈ελx␈↓ εZ␈εα+␈↓ πε␈ε⊗␈␈εα6␈↓ πD␈ε⊗↓␈↓ πV␈εα3␈↓ πw␈εα;␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β∞,␈↓ ¬Y␈ε¬2␈↓ πh␈ε¬4␈↓ λO␈ε¬2
␈β∞2␈↓ β:␈εα27␈↓ β↑␈ελu␈↓ βt␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈α∀=␈↓ ∧k␈ελv␈↓ ∧⎇␈εα(␈↓ ¬	␈ελx␈↓ ¬≤␈εα)(9␈↓ ¬F␈ελx␈↓ ¬o␈ε⊗␈␈εα␈αλ6)␈α∩+␈α∩(␈ε⊗␈␈εα15␈↓ πU␈ελx␈↓ π␈␈εα+␈αλ3␈↓ λ=␈ελx␈↓ λf␈ε⊗␈␈εα␈αλ9).␈↓ 
p␈εα(11)
␈β∞K␈↓ π?␈ε↓␈␈↓ λλ␈ε↓↓
␈β∞f␈↓ λs␈ε¬4␈↓ 	A␈ε¬2
␈β∞k␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈α	step␈α	E3␈α
replaces␈↓ ∧~␈ελu␈↓ ∧0␈εα(␈↓ ∧<␈ελx␈↓ ∧N␈εα)␈α
by␈↓ ¬∃␈ελv␈↓ ¬(␈εα(␈↓ ¬4␈ελx␈↓ ¬G␈εα)␈α	and␈↓ ε∨␈ελv␈↓ ε2␈εα(␈↓ ε>␈ελx␈↓ εQ␈εα)␈α	by␈↓ π↔␈εαpp␈↓ πM␈ελr␈↓ π]␈εα(␈↓ πi␈ελx␈↓ π|␈εα)␈↓ λ ␈εα=␈α
5␈↓ λ`␈ελx␈↓ 	ε␈ε⊗␈␈↓ 	.␈ελx␈↓ 	T␈εα+␈α∧3.␈αThe␈α	sub-
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εαsequen␈α␈t␈αcalculation␈αmay␈αbe␈αsummarized␈αas␈αfollo␈α␈ws,␈αwriting␈αonly␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts:
␈β∂I␈↓ αn␈ελu␈↓ β∧␈εα(␈↓ β⊂␈ελx␈↓ β#␈εα)␈↓ ε	␈ελv␈↓ ε≤␈εα(␈↓ ε(␈ελx␈↓ ε:␈εα)␈↓ λs␈ελr␈↓ 	β␈εα(␈↓ 	∂␈ελx␈↓ 	"␈εα)
␈β⊂β␈↓ ↓H␈εα1,␈αε0,␈αε1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈αε8,␈αε2,␈ε⊗␈αε␈␈εα5␈↓ ¬␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21␈↓ λ4␈ε⊗␈␈εα15,␈αε0,␈αε3,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα9
␈β⊂5␈↓ α≡␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21␈↓ εε␈εα5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα1,␈αε0,␈αε3␈↓ πz␈ε⊗␈␈εα585,␈ε⊗␈αε␈␈εα1125,␈αε2205
␈β⊂h␈↓ β_␈εα5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα1,␈αε0,␈αε3␈↓ ε∀␈εα13,␈αε25,␈ε⊗␈αε␈␈εα49␈↓ λ≤␈ε⊗␈␈εα233150,␈αε307500
␈β⊃~␈↓ β&␈εα13,␈αε25,␈ε⊗␈αε␈␈εα49␈↓ ε␈εα4663,␈ε⊗␈αε␈␈εα6150␈↓ 	ε␈εα143193869␈↓ 
p␈εα(12)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα397
␈βα(␈↓ α␈εαIt␈αλis␈α	instructiv␈α␈e␈αλto␈αλcompare␈αλthis␈α	calculation␈αλwith␈αλthe␈α	computation␈αλof␈αλthe␈αλsame
␈βαS␈↓ ↓H␈εαgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈ε∂␈αrational␈↓ εb␈εαn␈α␈um␈α␈bers,␈αinstead␈αof␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers,
␈βα}␈↓ ↓H␈εαby␈α∞using␈α
Euclid's␈α∞algorithm␈α∞for␈α∞polynomials␈α∞o␈α␈v␈α␈er␈α∞a␈α∞|eld␈α∞as␈α∞described␈α∞earlier␈α
in
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαthis␈αsection.␈αThe␈αfollo␈α␈wing␈αsurprisingly␈αcomplicated␈αsequence␈αof␈αresults␈αoccurs:
␈ββ↑␈↓ ∧Z␈ελu␈↓ ∧o␈εα(␈↓ ∧{␈ελx␈↓ ¬∞␈εα)␈↓ πt␈ελv␈↓ λπ␈εα(␈↓ λ∪␈ελx␈↓ λ&␈εα)
␈β∧≠␈↓ βE␈εα1,␈αε0,␈αε1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈αε8,␈αε2,␈αε5␈↓ εw␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21
␈β∧N␈↓ πh␈ε¬5␈↓ λ0␈ε¬1␈↓ 	≥␈ε¬1
␈β∧Q␈↓ βw␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21␈↓ π@␈ε⊗␈␈↓ πz␈εα,␈αε0,␈↓ λC␈εα,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈
␈β∧a␈↓ πh␈∧∧aπhα∂␈↓ λ0␈∧∧aλ0α∂␈↓ 	≥␈∧∧a	≥α∂
␈β∧d␈↓ πh␈ε¬9␈↓ λ0␈ε¬9␈↓ 	≥␈ε¬3
␈β¬∧␈↓ ∧h␈ε¬5␈↓ ¬0␈ε¬1␈↓ ε≥␈ε¬1␈↓ πw␈ε¬117␈↓ 	␈ε¬44␈α↓1
␈β¬π␈↓ ∧@␈ε⊗␈␈↓ ∧z␈εα,␈αε0,␈↓ ¬C␈εα,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈↓ πO␈ε⊗␈␈↓ λ&␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,
␈β¬↔␈↓ ∧h␈∧¬↔∧hα∂␈↓ ¬0␈∧¬↔¬0α∂␈↓ ε≥␈∧¬↔ε≥α∂␈↓ πw␈∧¬↔πwα,␈↓ 	␈∧¬↔	α,
␈β¬~␈↓ ∧h␈ε¬9␈↓ ¬0␈ε¬9␈↓ ε≥␈ε¬3␈↓ π}␈ε¬25␈↓ 	π␈ε¬25
␈β¬:␈↓ ∧w␈ε¬117␈↓ ε␈ε¬44␈α↓1␈↓ πB␈ε¬2␈α↓331␈α↓50␈↓ λU␈ε¬102␈α↓50␈α↓0
␈β¬=␈↓ ∧O␈ε⊗␈␈↓ ¬&␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈↓ λ≥␈εα,␈ε⊗␈αε␈
␈β¬M␈↓ ∧w␈∧¬M∧wα,␈↓ ε␈∧¬Mεα,␈↓ πB␈∧¬MπBαW␈↓ λU␈∧¬MλUαW
␈β¬P␈↓ ∧}␈ε¬25␈↓ επ␈ε¬25␈↓ πI␈ε¬1␈α↓97␈α↓73␈↓ λc␈ε¬65␈α↓91
␈β¬p␈↓ ∧B␈ε¬2␈α↓331␈α↓50␈↓ ¬U␈ε¬102␈α↓50␈α↓0␈↓ λ≠␈ε¬12␈α↓88␈α↓744␈α↓82␈α↓1
␈β¬s␈↓ ¬≥␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈↓ πs␈ε⊗␈␈↓ 
p␈εα(13)
␈βεβ␈↓ ∧B␈∧εβ∧BαW␈↓ ¬U␈∧εβ¬UαW␈↓ λ≠␈∧εβλ≠α↓⊂
␈βεε␈↓ ∧I␈ε¬1␈α↓97␈α↓73␈↓ ¬c␈ε¬65␈α↓91␈↓ λ"␈ε¬5␈α↓435␈α↓89␈α↓225
␈βε-␈↓ α␈εαTo␈αλimpro␈α␈v␈α␈e␈απthat␈αλalgorithm,␈αλw␈α␈e␈αλcan␈απreduce␈↓ π∃␈ελu␈↓ π*␈εα(␈↓ π6␈ελx␈↓ πI␈εα)␈αλand␈↓ λ≡␈ελv␈↓ λ1␈εα(␈↓ λ=␈ελx␈↓ λP␈εα)␈απto␈αλmonic␈απpolynomials
␈βεX␈↓ ↓H␈εαat␈α
each␈α∞step,␈α∞since␈α∞this␈α∞remo␈α␈v␈α␈es␈α
\unit"␈α∞factors␈α∞that␈α
mak␈α␈e␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α
more
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαcomplicated␈αthan␈αnecessary;␈αthis␈αis␈αactually␈αAlgorithm␈αE␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αrationals:
␈βπ7␈↓ ∧Z␈ελu␈↓ ∧o␈εα(␈↓ ∧{␈ελx␈↓ ¬∞␈εα)␈↓ πt␈ελv␈↓ λπ␈εα(␈↓ λ∪␈ελx␈↓ λ&␈εα)
␈βπt␈↓ βE␈εα1,␈αε0,␈αε1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈αε8,␈αε2,␈αε5␈↓ εw␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21
␈βλ'␈↓ ∧H␈ε¬5␈↓ ¬5␈ε¬4␈↓ λT␈ε¬1␈↓ 	≥␈ε¬3
␈βλ*␈↓ ∧␈εα1,␈αε0,␈↓ ∧[␈εα,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈↓ ¬G␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈αε7␈↓ πh␈εα1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈↓ λg␈εα,␈αε0,
␈βλ;␈↓ ∧H␈∧λ;∧Hα∂␈↓ ¬5␈∧λ;¬5α∂␈↓ λT␈∧λ;λTα∂␈↓ 	≥␈∧λ;	≥α∂
␈βλ=␈↓ ∧H␈ε¬3␈↓ ¬5␈ε¬3␈↓ λT␈ε¬5␈↓ 	≥␈ε¬5
␈βλ]␈↓ ¬T␈ε¬1␈↓ ε≥␈ε¬3␈↓ λ5␈ε¬2␈α↓5␈↓ 	∞␈ε¬4␈α↓9
␈βλ`␈↓ ∧h␈εα1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈↓ ¬g␈εα,␈αε0,␈↓ λ∂␈εα1,␈↓ λV␈εα,␈ε⊗␈αε␈
␈βλq␈↓ ¬T␈∧λq¬Tα∂␈↓ ε≥␈∧λqε≥α∂␈↓ λ5␈∧λqλ5α≥␈↓ 	∞␈∧λq	∞α≥
␈βλs␈↓ ¬T␈ε¬5␈↓ ε≥␈ε¬5␈↓ λ5␈ε¬1␈α↓3␈↓ 	∞␈ε¬1␈α↓3
␈β	∪␈↓ ¬5␈ε¬2␈α↓5␈↓ ε∞␈ε¬4␈α↓9␈↓ λq␈ε¬6␈α↓15␈α↓0
␈β	⊗␈↓ ¬∂␈εα1,␈↓ ¬V␈εα,␈ε⊗␈αε␈␈↓ λ'␈εα1,␈ε⊗␈αε␈
␈β	'␈↓ ¬5␈∧	'¬5α≥␈↓ ε∞␈∧	'ε∞α≥␈↓ λq␈∧	'λqα:
␈β	)␈↓ ¬5␈ε¬1␈α↓3␈↓ ε∞␈ε¬1␈α↓3␈↓ λq␈ε¬4␈α↓66␈α↓3
␈β	I␈↓ ¬q␈ε¬6␈α↓15␈α↓0
␈β	L␈↓ ¬'␈εα1,␈ε⊗␈αε␈␈↓ 	≥␈εα1␈↓ 
p␈εα(14)
␈β	]␈↓ ¬q␈∧	]¬qα:
␈β	←␈↓ ¬q␈ε¬4␈α↓66␈α↓3
␈β
ε␈↓ α␈εαIn␈αboth␈α(13)␈αand␈α(14)␈αthe␈αsequence␈αof␈αpolynomials␈αis␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αsame␈αas
␈β
1␈↓ ↓H␈εα(12),␈α
which␈α
was␈αobtained␈α
by␈α
Algorithm␈α
E␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
in␈α␈tegers;␈αthe␈α
only␈α
di{erence␈α
is
␈β
]␈↓ ↓H␈εαthat␈α	the␈α
polynomials␈α	hav␈α␈e␈α
been␈α	m␈α␈ultiplied␈α
by␈α	certain␈α
rational␈α	n␈α␈um␈α␈bers.␈αWhether
␈ββ␈↓ αx␈ε¬4␈↓ βN␈ε¬2␈↓ ¬*␈ε¬4␈↓ ε↔␈ε¬2␈↓ π=␈ε¬4␈↓ λ)␈ε¬2
␈β∧␈↓ ¬¬␈ε¬5␈↓ ¬q␈ε¬1␈↓ ε↑␈ε¬1␈↓ λ∧␈ε¬1␈↓ λp␈ε¬3
␈βλ␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
5␈↓ αe␈ελx␈↓ β∂␈ε⊗␈␈↓ β;␈ελx␈↓ βe␈εα+␈αλ3␈α
or␈ε⊗␈α
␈␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬A␈εα+␈↓ ε∧␈ελx␈↓ ε-␈ε⊗␈␈↓ ε⎇␈εαor␈↓ π*␈ελx␈↓ πS␈ε⊗␈␈↓ λ⊗␈ελx␈↓ λ@␈εα+␈↓ 	β␈εα,␈α
the␈αcomputations
␈β_␈↓ ¬¬␈∧_¬¬α∂␈↓ ¬q␈∧_¬qα∂␈↓ ε↑␈∧_ε↑α∂␈↓ λ∧␈∧_λ∧α∂␈↓ λp␈∧_λpα∂
␈β≠␈↓ ¬¬␈ε¬9␈↓ ¬q␈ε¬9␈↓ ε↑␈ε¬3␈↓ λ∧␈ε¬5␈↓ λp␈ε¬5
␈β3␈↓ ↓H␈εαare␈αessen␈α␈tially␈αthe␈αsame.␈αBut␈αeither␈αalgorithm␈αusing␈αrational␈αarithmetic␈αwill␈αrun
␈β↑␈↓ ↓H␈εαnoticeably␈αslo␈α␈w␈α␈er␈αthan␈αthe␈αall-in␈α␈teger␈αAlgorithm␈αE␈↓ πa␈εα,␈αsince␈αrational␈αarithmetic␈αre-
␈β	␈↓ ↓H␈εαquires␈αλman␈α␈y␈α	more␈α	evaluations␈αλof␈α	gcd's␈α	of␈αλin␈α␈tegers␈α	within␈α	each␈αλstep.␈αTherefore␈α	it␈αλis
␈β5␈↓ ↓H␈εαde|nitely␈απpreferable␈απto␈αλuse␈απthe␈αλall-in␈α␈teger␈απalgorithm␈απinstead␈αλof␈απrational␈απarithmetic,
␈β`␈↓ ↓H␈εαwhen␈αthe␈αgcd␈αof␈αpolynomials␈αwith␈αin␈α␈teger␈αor␈αrational␈αcoe}cien␈α␈ts␈αis␈αdesired.
␈β
␈↓ α␈εαIt␈α
is␈α	also␈α
instructiv␈α␈e␈α	to␈α
compare␈α	the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
calculations␈α	with␈α
(6)␈α	abo␈α␈v␈α␈e,␈α
where
␈β
6␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
determined␈α∞the␈α∞gcd␈α∞of␈α∞the␈α∞same␈α
polynomials␈↓ πQ␈ελu␈↓ πg␈εα(␈↓ πs␈ελx␈↓ λε␈εα)␈α∞and␈↓ λg␈ελv␈↓ λz␈εα(␈↓ 	ε␈ελx␈↓ 	→␈εα)␈α∞modulo␈α∞13␈α
with
␈β
a␈↓ ↓H␈εαconsiderably␈α⊂less␈α⊃labor.␈α→Since␈↓ ¬9␈ελ#␈↓ ¬H␈εα(␈↓ ¬T␈ελu␈↓ ¬j␈εα)␈α⊂and␈↓ εQ␈ελ#␈↓ ε`␈εα(␈↓ εl␈ελv␈↓ ε␈␈εα)␈α⊂are␈α⊃not␈α⊂m␈α␈ultiples␈α⊃of␈α⊂13,␈α∩the␈α⊂fact
␈β
m␈↓ αM␈ε↓␈␈↓ βi␈ε↓↓
␈β∞
␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α↔␈εαgcd␈↓ α[␈ελu␈↓ αp␈εα(␈↓ α|␈ελx␈↓ β∂␈εα),␈↓ β+␈ελv␈↓ β>␈εα(␈↓ βJ␈ελx␈↓ β]␈εα)␈↓ ∧α␈εα=␈α1␈αmodulo␈α
13␈α
is␈α
su}cien␈α␈t␈α
to␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈↓ 	≡␈ελu␈↓ 	3␈εα(␈↓ 	?␈ελx␈↓ 	R␈εα)␈α
and␈↓ 
2␈ελv␈↓ 
E␈εα(␈↓ 
Q␈ελx␈↓ 
d␈εα)␈αare
␈β∞8␈↓ ↓H␈εαrelativ␈α␈ely␈αprime␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈αin␈α␈tegers␈α(and␈α
therefore␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈α
rational␈αn␈α␈um␈α␈bers);␈αw␈α␈e
␈β∞c␈↓ ↓H␈εαwill␈αreturn␈αto␈αthis␈αtime-saving␈αobservation␈αat␈αthe␈αclose␈αof␈αSection␈α4.6.2.
␈β∂↔␈↓ ↓H␈ε∩The␈α	subresultan␈α␈t␈α	algorithm.␈εα␈α∪An␈α	ingenious␈α	algorithm␈α	that␈α
is␈α	generally␈α	superior␈α	to
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈απE␈↓ βπ␈εα,␈α	and␈αλthat␈απgiv␈α␈es␈αλus␈αλfurther␈αλinformation␈απabout␈αλAlgorithm␈αλE's␈απbehavior,
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαwas␈αλdisco␈α␈v␈α␈ered␈αλby␈αλGeorge␈αλE.␈αλCollins␈αλ[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈αλ14␈εα␈αλ(1967),␈αλ128↑142]␈αλand␈αλsubsequen␈α␈tly
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαimpro␈α␈v␈α␈ed␈αby␈α
W.␈αS.␈αBro␈α␈wn␈α
and␈αJ.␈α
F.␈αTraub␈α
[␈ε∂JA␈α␈CM␈ε∩␈α18␈εα␈α
(1971),␈α505↑514;␈α
see␈αalso
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαW.␈αS.␈αBro␈α␈wn,␈ε∂␈αA␈α␈CM␈αTrans.␈αMath.␈αSoft␈α␈ware␈ε∩␈α4␈εα␈α(1978),␈αto␈αappear].␈αThis␈αalgorithm
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαav␈α␈oids␈αλthe␈αλcalculation␈α	of␈αλprimitiv␈α␈e␈α	part␈αλin␈αλstep␈α	E3,␈α	dividing␈αλinstead␈α	by␈αλan␈αλelemen␈α␈t
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελS␈↓ α∀␈εαthat␈αis␈αkno␈α␈wn␈αto␈αbe␈αa␈αfactor␈αof␈↓ ε¬␈ελr␈↓ ε∃␈εα(␈↓ ε!␈ελx␈↓ ε3␈εα):
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα398␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈αλC␈εα␈αλ(␈ε∂Greatest␈απcommon␈αλdivisor␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλa␈αλunique␈αλfactorization␈αλdomain␈εα)␈ε∩.␈εα␈α∂This
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈αhas␈αthe␈αsame␈αinput␈αand␈αoutput␈αassumptions␈αas␈αAlgorithm␈αE␈↓ 
≤␈εα,␈αand␈αhas
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαthe␈α
advan␈α␈tage␈α
that␈αfew␈α␈er␈α
calculations␈αof␈α
greatest␈α
common␈αdivisors␈α
of␈α
coe}cien␈α␈ts
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαare␈αneeded.
␈ββ=␈↓ 
$␈ε↓␈
␈ββ\␈↓ ↓H␈ε∩C1.␈↓ α␈εα[Reduce␈α
to␈αprimitiv␈α␈e.]␈α~As␈α
in␈αstep␈α
E1␈α
of␈αAlgorithm␈α
E␈↓ λQ␈εα,␈αset␈↓ 	 ␈ελd␈↓ 	?␈ε⊗ ␈↓ 	n␈εαgcd␈↓ 
2␈εαcon␈α␈t␈↓ 
u␈εα(␈↓ ↓␈ελu␈↓ ⊗␈εα),
␈ββh␈↓ αz␈ε↓↓␈↓ ∧S␈ε↓␈␈↓ ¬o␈ε↓↓␈↓ ε6␈ε↓␈␈↓ εl␈ε↓␈␈↓ π;␈ε↓↓␈↓ λ↓␈ε↓␈␈↓ λL␈ε↓↓␈↓ λZ␈ε↓↓
␈β∧π␈↓ α␈εαcon␈α␈t␈↓ αO␈εα(␈↓ α[␈ελv␈↓ αn␈εα)␈↓ βλ␈εα,␈α	and␈αλreplace␈↓ ∧a␈ελu␈↓ ∧w␈εα(␈↓ ¬β␈ελx␈↓ ¬⊗␈εα),␈↓ ¬2␈ελv␈↓ ¬E␈εα(␈↓ ¬Q␈ελx␈↓ ¬c␈εα)␈↓ εε␈εαby␈↓ εD␈εαpp␈↓ εz␈ελu␈↓ π⊂␈εα(␈↓ π≤␈ελx␈↓ π/␈εα)␈↓ πI␈εα,␈↓ πY␈εαpp␈↓ λ∂␈ελv␈↓ λ!␈εα(␈↓ λ-␈ελx␈↓ λ@␈εα)␈↓ λh␈εα.␈αAlso␈αλset␈↓ 	⎇␈ελg␈↓ 
→␈ε⊗ ␈↓ 
G␈ελh␈↓ 
b␈ε⊗ ␈εα␈α
1.
␈β∧<␈↓ ↓H␈ε∩C2.␈↓ α␈εα[Pseudo-division.]␈αSet␈↓ ∧c␈ελ∞␈↓ ∧}␈ε⊗ ␈↓ ¬,␈εαdeg␈↓ ¬b␈εα(␈↓ ¬n␈ελu␈↓ ε∧␈εα)␈ε⊗␈α↓␈␈↓ ε5␈εαdeg␈↓ εk␈εα(␈↓ εw␈ελv␈↓ π
␈εα).␈α
Calculate␈↓ λG␈ελr␈↓ λW␈εα(␈↓ λc␈ελx␈↓ λv␈εα)␈αεusing␈απAlgorithm␈αεR␈↓ "␈εα.
␈β∧g␈↓ α␈εαIf␈↓ α.␈ελr␈↓ α>␈εα(␈↓ αJ␈ελx␈↓ α]␈εα)␈α
=␈α
0,␈α
go␈α
to␈α
C4.␈αIf␈α
deg(␈↓ ¬G␈ελr␈↓ ¬W␈εα)␈α
=␈α
0,␈α
replace␈↓ π9␈ελv␈↓ πL␈εα(␈↓ πX␈ελx␈↓ πk␈εα)␈α
by␈α
the␈α
constan␈α␈t␈α
polynomial
␈β¬∩␈↓ α␈εα\1"␈αand␈αgo␈αto␈αC4.
␈β¬F␈↓ ↓H␈ε∩C3.␈↓ α␈εα[Adjust␈αremainder.]␈α~Replace␈α
the␈αpolynomial␈↓ πY␈ελu␈↓ πn␈εα(␈↓ πz␈ελx␈↓ λ
␈εα)␈α
by␈↓ λZ␈ελv␈↓ λm␈εα(␈↓ λy␈ελx␈↓ 	␈εα),␈αand␈αreplace␈↓ 
o␈ελv␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β¬R␈↓ βY␈ε↓␈␈↓ 
9␈ε↓↓
␈β¬l␈↓ β-␈ε∞␈↓ 
!␈ε∞
␈β¬q␈↓ α␈εαby␈↓ α>␈ελr␈↓ αM␈εα(␈↓ αY␈ελx␈↓ αl␈εα)/␈↓ β
␈ελg␈↓ β≠␈ελh␈↓ β;␈εα.␈↓ βg␈εαAt␈α	this␈α
poin␈α␈t␈α	all␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ π@␈ελr␈↓ πP␈εα(␈↓ π\␈ελx␈↓ πo␈εα)␈α	are␈α
m␈α␈ultiples␈α	of␈↓ 	}␈ελg␈↓ 
∂␈ελh␈↓ 
/␈εα.␈↓ 
Z␈εαThen
␈β¬⎇␈↓ πQ␈ε↓␈
␈βε_␈↓ ∧<␈ε¬1␈ε→␈␈↓ ∧g␈ε∞␈↓ ¬ε␈ε∞
␈βε≥␈↓ α␈εαset␈↓ αD␈ελg␈↓ α←␈ε⊗ ␈↓ β
␈ελ#␈↓ β≤␈εα(␈↓ β(␈ελu␈↓ β>␈εα),␈↓ β`␈ελh␈↓ β|␈ε⊗ ␈↓ ∧*␈ελh␈↓ ∧u␈ελg␈↓ ¬ ␈εαand␈αreturn␈αto␈αC2.␈↓ π←␈εαThe␈αnew␈αvalue␈αof␈↓ 	⎇␈ελh␈↓ 
≠␈εαwill␈αbe␈αin
␈βε(␈↓ ¬Q␈ε↓↓
␈βεH␈↓ α␈εαthe␈αdomain␈↓ βJ␈ελS␈↓ β`␈εα,␈αev␈α␈en␈αif␈↓ ∧k␈ελ∞␈↓ ¬π␈εα>␈α
1.
␈βε]␈↓ 	b␈ε↓␈␈↓ 
-␈ε↓↓
␈βε|␈↓ ↓H␈ε∩C4.␈↓ α␈εα[Attach␈α⊂the␈α∂con␈α␈ten␈α␈t.]␈α The␈α⊂algorithm␈α∂terminates,␈α⊃with␈↓ 	π␈ελd␈↓ 	%␈ε⊗↓␈↓ 	:␈εαpp␈↓ 	p␈ελv␈↓ 
α␈εα(␈↓ 
∞␈ελx␈↓ 
!␈εα)␈↓ 
K␈εαas␈α∂the
␈βπ'␈↓ α␈εαansw␈α␈er.
␈βπ,␈↓ β)␈∧π,β)≠∂
␈βπe␈↓ α␈εαIf␈α⊃w␈α␈e␈α⊃apply␈α⊃this␈α⊃algorithm␈α⊃to␈α⊃the␈α⊃polynomials␈α⊂(9)␈α⊃considered␈α⊃earlier,␈α∩the
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈εαfollo␈α␈wing␈αsequence␈αof␈αresults␈αis␈αobtained␈αat␈αthe␈αbeginning␈αof␈αstep␈αC2:
␈βλY␈↓ α\␈ελu␈↓ αr␈εα(␈↓ α}␈ελx␈↓ β⊃␈εα)␈↓ ¬w␈ελv␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε⊗␈ελx␈↓ ε(␈εα)␈↓ λ1␈ελg␈↓ 	.␈ελh
␈β	⊗␈↓ ↓H␈εα1,␈αε0,␈αε1,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈ε⊗␈αε␈␈εα3,␈αε8,␈αε2,␈αε5␈↓ ∧z␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21␈↓ λ0␈εα1␈↓ 	.␈εα1
␈β	L␈↓ ↓z␈εα3,␈αε0,␈αε5,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα4,␈ε⊗␈αε␈␈εα9,␈αε21␈↓ ¬>␈ε⊗␈␈εα15,␈αε0,␈αε3,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα9␈↓ λ0␈εα3␈↓ 	.␈εα9
␈β
α␈↓ α>␈ε⊗␈␈εα15,␈αε0,␈αε3,␈αε0,␈ε⊗␈αε␈␈εα9␈↓ ¬↑␈εα65,␈αε125,␈ε⊗␈αε␈␈εα245␈↓ πz␈ε⊗␈␈εα15␈↓ 	≤␈εα25
␈β
8␈↓ α↑␈εα65,␈αε125,␈ε⊗␈αε␈␈εα245␈↓ ¬\␈ε⊗␈␈εα9826,␈αε12300␈↓ λ≡␈εα65␈↓ 	
␈εα169␈↓ 
p␈εα(15)
␈βα␈↓ εm␈ε∞
␈βπ␈↓ ↓H␈εαAt␈αthe␈αconclusion␈αof␈αthe␈αalgorithm,␈↓ ¬}␈ελr␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε→␈ελx␈↓ ε,␈εα)/␈↓ εJ␈ελg␈↓ ε[␈ελh␈↓ π¬␈εα=␈α
260708.
␈β2␈↓ α␈εαThe␈α	sequence␈α	of␈α	polynomials␈αλconsists␈α	of␈α	in␈α␈tegral␈α	m␈α␈ultiples␈α	of␈α	the␈αλpolynomials
␈β]␈↓ ↓H␈εαin␈απthe␈αλsequence␈απproduced␈αλby␈απAlgorithm␈αλE␈↓ ε=␈εα.␈αIn␈απspite␈αλof␈απthe␈αλfact␈απthat␈αλthe␈απpolynomials
␈βλ␈↓ ↓H␈εαare␈αnot␈α
reduced␈α
to␈α
primitiv␈α␈e␈αform,␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
are␈αk␈α␈ept␈α
to␈α
a␈α
reasonable␈αsize
␈β4␈↓ ↓H␈εαbecause␈αof␈αthe␈αreduction␈αfactor␈αin␈αstep␈αC3.
␈β←␈↓ α␈εαIn␈αorder␈αto␈αanalyze␈αAlgorithm␈αC␈αand␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthat␈αit␈αis␈αvalid,␈αlet␈αus␈αcall␈αthe
␈β
␈↓ ↓H␈εαsequence␈αof␈αpolynomials␈α
it␈αproduces␈↓ ε
␈ελu␈↓ ε,␈εα(␈↓ ε8␈ελx␈↓ εK␈εα),␈↓ εn␈ελu␈↓ π⊃␈εα(␈↓ π≥␈ελx␈↓ π/␈εα),␈↓ πR␈ελu␈↓ πu␈εα(␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ∀␈εα),␈↓ λ6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λf␈εα,␈α
where␈↓ 	e␈ελu␈↓ 
λ␈εα(␈↓ 
∀␈ελx␈↓ 
'␈εα)␈α
=␈↓ 
l␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β
↔␈↓ ε≡␈ε¬1␈↓ πα␈ε¬2␈↓ πg␈ε¬3␈↓ 	z␈ε¬1
␈β
5␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∂␈ελu␈↓ α2␈εα(␈↓ α>␈ελx␈↓ αQ␈εα)␈α=␈↓ β→␈ελv␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βK␈εα).␈α⊂Let␈↓ ∧4␈ελ∞␈↓ ∧[␈εα=␈↓ ¬␈ελn␈↓ ¬6␈ε⊗␈␈↓ ¬c␈ελn␈↓ ε=␈εαfor␈↓ εw␈ελj␈↓ π∪␈ε⊗∃␈εα␈α
1,␈α
where␈↓ λW␈ελn␈↓ 	¬␈εα=␈↓ 	5␈εαdeg␈↓ 	k␈εα(␈↓ 	w␈ελu␈↓ 
→␈εα);␈α∞and␈α
let
␈β
C␈↓ α$␈ε¬2␈↓ ∧A␈εj␈↓ ¬ ␈εj␈↓ ¬x␈εj␈↓ ε¬␈ε¬+1␈↓ λk␈εj␈↓ 
␈εj
␈β
Z␈↓ ¬5␈ε¬1␈ε→␈α↓␈␈↓ ¬`␈ε∞␈↓ ε*␈ε∞
␈β
`␈↓ ↓H␈ελg␈↓ ↓n␈εα=␈↓ α≤␈ελh␈↓ αE␈εα=␈α
1,␈↓ β≠␈ελg␈↓ β@␈εα=␈↓ βn␈ελ#␈↓ β}␈εα(␈↓ ∧
␈ελu␈↓ ∧+␈εα),␈↓ ∧M␈ελh␈↓ ∧u␈εα=␈↓ ¬#␈ελh␈↓ ε→␈ελg␈↓ εn␈εαfor␈↓ π&␈ελj␈↓ πA␈ε⊗∃␈εα␈α
2.␈αThen␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β
b␈↓ ¬l␈ε
j␈↓ ¬w␈ε≠␈␈επ1␈↓ ε5␈ε
j␈↓ εA␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β
n␈↓ ↓V␈ε¬1␈↓ α-␈ε¬1␈↓ β)␈εj␈↓ ∧≡␈εj␈↓ ∧↑␈εj
␈β
t␈↓ ¬5␈εj␈↓ ¬B␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε%␈εj
␈β∞1␈↓ βB␈ε∞␈↓ βX␈ε¬+1␈↓ ε␈␈ε∞
␈β∞7␈↓ β1␈ελg␈↓ ∧β␈ελu␈↓ ∧&␈εα(␈↓ ∧2␈ελx␈↓ ∧E␈εα)␈↓ ∧[␈εα=␈↓ ¬	␈ελu␈↓ ¬,␈εα(␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬K␈εα)␈↓ ¬W␈ελq␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελx␈↓ ε⊃␈εα)␈αλ+␈↓ εQ␈ελg␈↓ εm␈ελh␈↓ π⊗␈ελu␈↓ π9␈εα(␈↓ πE␈ελx␈↓ πX␈εα),␈↓ λ<␈ελn␈↓ λh␈εα<␈↓ 	⊗␈ελn␈↓ 	9␈εα;
␈β∞:␈↓ βM␈επ1␈↓ π␈επ1
␈β∞E␈↓ ∧_␈ε¬1␈↓ ¬≡␈ε¬2␈↓ ¬d␈ε¬1␈↓ ε←␈ε¬1␈↓ π*␈ε¬3␈↓ λP␈ε¬3␈↓ 	+␈ε¬2
␈β∞I␈↓ βB␈ε¬2␈↓ ε␈␈ε¬1
␈β∞g␈↓ βB␈ε∞␈↓ βX␈ε¬+1␈↓ ε␈␈ε∞
␈β∞k␈↓ 
p␈εα(16)
␈β∞m␈↓ β1␈ελg␈↓ ∧β␈ελu␈↓ ∧&␈εα(␈↓ ∧2␈ελx␈↓ ∧E␈εα)␈↓ ∧[␈εα=␈↓ ¬	␈ελu␈↓ ¬,␈εα(␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬K␈εα)␈↓ ¬W␈ελq␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελx␈↓ ε⊃␈εα)␈αλ+␈↓ εQ␈ελg␈↓ εm␈ελh␈↓ π⊗␈ελu␈↓ π9␈εα(␈↓ πE␈ελx␈↓ πX␈εα),␈↓ λ<␈ελn␈↓ λh␈εα<␈↓ 	⊗␈ελn␈↓ 	9␈εα;
␈β∞p␈↓ βM␈επ2␈↓ π␈επ2
␈β∞{␈↓ ∧_␈ε¬2␈↓ ¬≡␈ε¬3␈↓ ¬d␈ε¬2␈↓ ε←␈ε¬2␈↓ π*␈ε¬4␈↓ λP␈ε¬4␈↓ 	+␈ε¬3
␈β∞␈␈↓ βB␈ε¬3␈↓ ε␈␈ε¬2
␈β∂≥␈↓ βB␈ε∞␈↓ βX␈ε¬+1␈↓ ε␈␈ε∞
␈β∂#␈↓ β1␈ελg␈↓ ∧β␈ελu␈↓ ∧&␈εα(␈↓ ∧2␈ελx␈↓ ∧E␈εα)␈↓ ∧[␈εα=␈↓ ¬	␈ελu␈↓ ¬,␈εα(␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬K␈εα)␈↓ ¬W␈ελq␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελx␈↓ ε⊃␈εα)␈αλ+␈↓ εQ␈ελg␈↓ εm␈ελh␈↓ π⊗␈ελu␈↓ π9␈εα(␈↓ πE␈ελx␈↓ πX␈εα),␈↓ λ<␈ελn␈↓ λh␈εα<␈↓ 	⊗␈ελn␈↓ 	9␈εα;
␈β∂&␈↓ βM␈επ3␈↓ π␈επ3
␈β∂1␈↓ ∧_␈ε¬3␈↓ ¬≡␈ε¬4␈↓ ¬d␈ε¬3␈↓ ε←␈ε¬3␈↓ π*␈ε¬5␈↓ λP␈ε¬5␈↓ 	+␈ε¬4
␈β∂5␈↓ βB␈ε¬4␈↓ ε␈␈ε¬3
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαand␈αso␈αon.␈αThe␈αprocess␈αterminates␈αwhen␈↓ εF␈ελn␈↓ π≡␈εα=␈↓ πL␈εαdeg␈↓ λα␈εα(␈↓ λ∞␈ελu␈↓ λ]␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
0.␈αWe␈αm␈α␈ust␈αsho␈α␈w
␈β∂⎇␈↓ ε[␈εk␈↓ εi␈ε¬+1␈↓ λ#␈εk␈↓ λ1␈ε¬+1
␈β⊂∀␈↓ 
!␈ε∞
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α→␈ελu␈↓ α<␈εα(␈↓ αH␈ελx␈↓ α[␈εα),␈↓ β↓␈ελu␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελx␈↓ βB␈εα),␈↓ βh␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧_␈εα,␈α⊃hav␈α␈e␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∂in␈↓ εp␈ελS␈↓ ππ␈εα,␈α⊂i.e.,␈α⊂that␈α∂the␈α∂factors␈↓ 	t␈ελg␈↓ 
⊂␈ελh␈↓ 
G␈εαev␈α␈enly
␈β⊂≤␈↓ 
-␈ε
j
␈β⊂(␈↓ α-␈ε¬3␈↓ β∃␈ε¬4␈↓ 
α␈εj
␈β⊂.␈↓ 
!␈εj
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαdivide␈αthe␈α
remainders,␈αand␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αalso␈αsho␈α␈w␈αthat␈αthe␈↓ λ*␈ελh␈↓ λS␈εαvalues␈αall␈α
belong␈αto␈↓ ␈ελS␈↓ "␈εα.
␈β⊂S␈↓ λ;␈εj
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαThe␈α	proof␈α	is␈α
rather␈α	in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed,␈α
and␈α	it␈α	can␈α
be␈α	most␈α	easily␈α
understood␈α	by␈α	considering
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαan␈αexample.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα399
␈βα≥␈↓ ¬{␈ε≥Ta␈α␈b␈α↓le␈α
1
␈βαR␈↓ ∧ ␈εβCOEFFICIE␈α↓N␈α␈T␈α↓S␈α
IN␈αALGO␈α␈RIT␈α↓HM␈α
C
␈ββ⊂␈↓ ∧D␈εβ(th␈α␈i␈α↓s␈αta␈α␈ble␈αis␈αbein␈α␈g␈αset␈αsep␈α␈arat␈α␈el␈α↓y␈α␈)
␈β
λ␈↓ α␈εαSuppose,␈α
as␈αλin␈α	(15),␈α
that␈↓ ¬
␈ελn␈↓ ¬7␈εα=␈α
8,␈↓ ε
␈ελn␈↓ ε7␈εα=␈α
6,␈↓ π␈ελn␈↓ π8␈εα=␈α
4,␈↓ λ␈ελn␈↓ λ8␈εα=␈α
2,␈↓ 	␈ελn␈↓ 	8␈εα=␈α
1,␈↓ 
␈ελn␈↓ 
9␈εα=␈α
0,␈α	so
␈β
⊗␈↓ ¬≡␈ε¬1␈↓ ε∨␈ε¬2␈↓ π∨␈ε¬3␈↓ λ ␈ε¬4␈↓ 	 ␈ε¬5␈↓ 
!␈ε¬6
␈β
.␈↓ λ␈␈ε¬8␈↓ 	n␈ε¬7
␈β
4␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∀␈ελ∞␈↓ α9␈εα=␈↓ αg␈ελ∞␈↓ β␈εα=␈↓ β:␈ελ∞␈↓ β`␈εα=␈α
2,␈↓ ∧4␈ελ∞␈↓ ∧Y␈εα=␈↓ ¬π␈ελ∞␈↓ ¬-␈εα=␈α
1.␈αLet␈α
us␈α
write␈↓ πH␈ελu␈↓ πk␈εα(␈↓ πw␈ελx␈↓ λ	␈εα)␈α
=␈↓ λM␈ελa␈↓ λm␈ελx␈↓ 	∪␈εα+␈↓ 	<␈ελa␈↓ 	[␈ελx␈↓ 
α␈εα+␈↓ 
+␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
Z␈εα+␈↓ β␈ελa␈↓ "␈εα,
␈β
A␈↓ α!␈ε¬1␈↓ αt␈ε¬2␈↓ βG␈ε¬3␈↓ ∧A␈ε¬4␈↓ ¬∀␈ε¬5␈↓ π\␈ε¬1␈↓ λ↑␈ε¬8␈↓ 	M␈ε¬7␈↓ ∀␈ε¬0
␈β
Z␈↓ ββ␈ε¬6␈↓ βw␈ε¬5
␈β
←␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓k␈εα(␈↓ ↓w␈ελx␈↓ α	␈εα)␈α∞=␈↓ αU␈ελb␈↓ αq␈ελx␈↓ β≠␈εα+␈↓ βI␈ελb␈↓ βd␈ελx␈↓ ∧∂␈εα+␈↓ ∧=␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧p␈εα+␈↓ ¬≡␈ελb␈↓ ¬9␈εα,␈↓ ¬a␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε⊃␈εα,␈↓ ε8␈ελu␈↓ ε[␈εα(␈↓ εg␈ελx␈↓ εz␈εα)␈α∞=␈↓ πF␈ελe␈↓ πa␈ελx␈↓ π⎇␈εα+␈↓ λ+␈ελe␈↓ λF␈εα,␈↓ λn␈ελu␈↓ 	⊃␈εα(␈↓ 	≥␈ελx␈↓ 	/␈εα)␈α∞=␈↓ 	{␈ελf␈↓ 
∃␈εα,␈α≥so␈α∞that
␈β
l␈↓ ↓\␈ε¬2␈↓ αb␈ε¬6␈↓ βV␈ε¬5␈↓ ¬+␈ε¬0␈↓ εM␈ε¬5␈↓ πS␈ε¬1␈↓ λ8␈ε¬0␈↓ 	α␈ε¬6␈↓ 
ε␈ε¬0
␈β∞¬␈↓ β+␈ε¬2␈↓ ∧3␈ε¬2␈↓ ∧b␈ε¬2␈↓ ¬q␈ε¬2␈↓ ε
␈ε¬2␈↓ ε<␈ε¬2
␈β∞
␈↓ ↓H␈ελh␈↓ ↓q␈εα=␈α
1,␈↓ αF␈ελh␈↓ αo␈εα=␈↓ β≥␈ελb␈↓ β9␈εα,␈↓ βN␈ελh␈↓ βw␈εα=␈↓ ∧%␈ελc␈↓ ∧B␈εα/␈↓ ∧T␈ελb␈↓ ∧q␈εα,␈↓ ¬¬␈ελh␈↓ ¬/␈εα=␈↓ ¬]␈ελd␈↓ ¬␈␈ελb␈↓ ε≤␈εα/␈↓ ε.␈ελc␈↓ εJ␈εα.␈αIn␈α
these␈αterms␈α
it␈α
is␈αhelpful␈α
to␈α
consider
␈β∞↔␈↓ ↓X␈ε¬1␈↓ αV␈ε¬2␈↓ β←␈ε¬3␈↓ ¬⊗␈ε¬4
␈β∞≤␈↓ β+␈ε¬6␈↓ ∧3␈ε¬4␈↓ ∧b␈ε¬6␈↓ ¬q␈ε¬2␈↓ ε
␈ε¬6␈↓ ε<␈ε¬4
␈β∞5␈↓ ↓H␈εαthe␈αarray␈α
sho␈α␈wn␈αin␈αTable␈α1.␈αFor␈αconcreteness,␈αlet␈αus␈αassume␈αthat␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts
␈β∞[␈↓ εn␈ε¬3
␈β∞`␈↓ ↓H␈εαof␈α
the␈αpolynomials␈α
are␈α
in␈α␈tegers.␈α∂We␈α
hav␈α␈e␈↓ ε`␈ελb␈↓ ε⎇␈ελu␈↓ π ␈εα(␈↓ π,␈ελx␈↓ π>␈εα)␈α=␈↓ λ¬␈ελu␈↓ λ(␈εα(␈↓ λ4␈ελx␈↓ λG␈εα)␈↓ λS␈ελq␈↓ λo␈εα(␈↓ λ{␈ελx␈↓ 	
␈εα)␈α	+␈↓ 	O␈ελu␈↓ 	q␈εα(␈↓ 	⎇␈ελx␈↓ 
⊂␈εα);␈α∞so␈α
if␈αw␈α␈e
␈β∞n␈↓ π⊃␈ε¬1␈↓ λ~␈ε¬2␈↓ λ`␈ε¬1␈↓ 	c␈ε¬3
␈β∞r␈↓ εn␈ε¬6
␈β∂ε␈↓ ∧∂␈ε¬3
␈β∂␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiply␈αro␈α␈w␈↓ β≤␈ελA␈↓ βM␈εαby␈↓ ∧␈ελb␈↓ ∧(␈εαand␈αsubtract␈αappropriate␈αm␈α␈ultiples␈αof␈αro␈α␈ws␈↓ 	R␈ελB␈↓ 	u␈εα,␈↓ 
␈ελB␈↓ 
.␈εα,␈αand␈↓ 	␈ελB
␈β∂↔␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ εV␈ε↓↓
␈β∂→␈↓ β3␈ε¬5␈↓ 	g␈ε¬7␈↓ 
 ␈ε¬6␈↓ ≡␈ε¬5
␈β∂≥␈↓ ∧∂␈ε¬6
␈β∂7␈↓ ↓V␈εαcorresponding␈α∞to␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∂of␈↓ ε⊂␈ελq␈↓ ε+␈εα(␈↓ ε7␈ελx␈↓ εJ␈εα)␈↓ εr␈εαw␈α␈e␈α∂will␈α∞get␈α∞ro␈α␈w␈↓ λu␈ελC␈↓ 	≤␈εα.␈α∩Similarly,␈α∂if␈α∞w␈α␈e
␈β∂D␈↓ ε≥␈ε¬1␈↓ 	
␈ε¬5
␈β∂]␈↓ ∧∂␈ε¬3
␈β∂b␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiply␈αro␈α␈w␈↓ β≥␈ελA␈↓ βN␈εαby␈↓ ∧↓␈ελb␈↓ ∧)␈εαand␈αsubtract␈αm␈α␈ultiples␈αof␈αro␈α␈ws␈↓ λ∪␈ελB␈↓ λ6␈εα,␈↓ λL␈ελB␈↓ λo␈εα,␈αand␈↓ 	J␈ελB␈↓ 	n␈εα,␈αw␈α␈e␈αget␈αro␈α␈w
␈β∂o␈↓ β4␈ε¬4␈↓ λ(␈ε¬6␈↓ λa␈ε¬5␈↓ 	←␈ε¬4
␈β∂t␈↓ ∧∂␈ε¬6
␈β⊂λ␈↓ ¬-␈ε¬3␈↓ λ∃␈ε¬5
␈β⊂
␈↓ ↓H␈ελC␈↓ ↓n␈εα.␈αIn␈αa␈αsimilar␈αway,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ ¬∨␈ελc␈↓ ¬;␈ελu␈↓ ¬↑␈εα(␈↓ ¬j␈ελx␈↓ ¬⎇␈εα)␈α
=␈↓ εA␈ελu␈↓ εd␈εα(␈↓ εp␈ελx␈↓ πβ␈εα)␈↓ π∂␈ελq␈↓ π*␈εα(␈↓ π6␈ελx␈↓ πI␈εα)␈απ+␈↓ λπ␈ελb␈↓ λ$␈ελu␈↓ λG␈εα(␈↓ λS␈ελx␈↓ λe␈εα);␈αso␈αw␈α␈e␈αcan␈αm␈α␈ultiply
␈β⊂≠␈↓ ↓`␈ε¬4␈↓ ¬P␈ε¬2␈↓ εV␈ε¬3␈↓ π≤␈ε¬2␈↓ λ8␈ε¬4
␈β⊂∨␈↓ ¬-␈ε¬4␈↓ λ∃␈ε¬6
␈β⊂3␈↓ β␈ε¬3
␈β⊂8␈↓ ↓H␈εαro␈α␈w␈↓ α
␈ελB␈↓ α>␈εαby␈↓ αr␈ελc␈↓ β∂␈εα,␈α
subtract␈αin␈α␈teger␈α
m␈α␈ultiples␈α
of␈α
ro␈α␈ws␈↓ πF␈ελC␈↓ πm␈εα,␈↓ λ∧␈ελC␈↓ λ*␈εα,␈α
and␈↓ 	λ␈ελC␈↓ 	.␈εα,␈α
then␈α
divide␈αby
␈β⊂F␈↓ α"␈ε¬3␈↓ π↑␈ε¬5␈↓ λ≤␈ε¬4␈↓ 	 ␈ε¬3
␈β⊂J␈↓ β␈ε¬4
␈β⊂↑␈↓ ↓V␈ε¬5
␈β⊂d␈↓ ↓H␈ελb␈↓ ↓p␈εαto␈αobtain␈αro␈α␈w␈↓ βQ␈ελD␈↓ βy␈εα.
␈β⊂q␈↓ βj␈ε¬3
␈β⊂u␈↓ ↓V␈ε¬6
␈β⊃~␈↓ α␈εαIn␈α	order␈αλto␈α	pro␈α␈v␈α␈e␈αλthat␈↓ ∧a␈ελu␈↓ ¬∧␈εα(␈↓ ¬⊂␈ελx␈↓ ¬#␈εα)␈αλhas␈α	in␈α␈teger␈α	coe}cien␈α␈ts,␈α	let␈α	us␈αλconsider␈α	the␈αλmatrix
␈β⊃(␈↓ ∧v␈ε¬4
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα400␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βαβ␈↓ ∧π␈ε↓0␈↓ λ6␈ε↓1
␈βα#␈↓ β>␈ελA␈↓ ∧%␈ελa␈↓ ∧W␈ελa␈↓ ¬λ␈ελa␈↓ ¬9␈ελa␈↓ ¬j␈ελa␈↓ ε≠␈ελa␈↓ εM␈ελa␈↓ ε}␈ελa␈↓ π/␈ελa␈↓ πg␈εα0␈↓ λ_␈εα0
␈βα1␈↓ βU␈ε¬2␈↓ ∧6␈ε¬8␈↓ ∧g␈ε¬7␈↓ ¬→␈ε¬6␈↓ ¬J␈ε¬5␈↓ ¬{␈ε¬4␈↓ ε,␈ε¬3␈↓ ε]␈ε¬2␈↓ π∞␈ε¬1␈↓ π@␈ε¬0
␈βαD␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈βαO␈↓ β>␈ελA␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧W␈ελa␈↓ ¬λ␈ελa␈↓ ¬9␈ελa␈↓ ¬j␈ελa␈↓ ε≠␈ελa␈↓ εM␈ελa␈↓ ε}␈ελa␈↓ π/␈ελa␈↓ π`␈ελa␈↓ λ_␈εα0
␈βαY␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈βα\␈↓ βU␈ε¬1␈↓ ∧g␈ε¬8␈↓ ¬→␈ε¬7␈↓ ¬J␈ε¬6␈↓ ¬{␈ε¬5␈↓ ε,␈ε¬4␈↓ ε]␈ε¬3␈↓ π∞␈ε¬2␈↓ π@␈ε¬1␈↓ πq␈ε¬0
␈βαo␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈βαz␈↓ β>␈ελA␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧]␈εα0␈↓ ¬λ␈ελa␈↓ ¬9␈ελa␈↓ ¬j␈ελa␈↓ ε≠␈ελa␈↓ εM␈ελa␈↓ ε}␈ελa␈↓ π/␈ελa␈↓ π`␈ελa␈↓ λ⊃␈ελa
␈ββ¬␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββπ␈↓ βU␈ε¬0␈↓ ¬→␈ε¬8␈↓ ¬J␈ε¬7␈↓ ¬{␈ε¬6␈↓ ε,␈ε¬5␈↓ ε]␈ε¬4␈↓ π∞␈ε¬3␈↓ π@␈ε¬2␈↓ πq␈ε¬1␈↓ λ"␈ε¬0
␈ββ~␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββ%␈↓ β?␈ελB␈↓ ∧'␈ελb␈↓ ∧X␈ελb␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬;␈ελb␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ε≥␈ελb␈↓ εN␈ελb␈↓ π∧␈εα0␈↓ π5␈εα0␈↓ πg␈εα0␈↓ λ_␈εα0
␈ββ0␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββ2␈↓ βT␈ε¬4␈↓ ∧4␈ε¬6␈↓ ∧e␈ε¬5␈↓ ¬↔␈ε¬4␈↓ ¬H␈ε¬3␈↓ ¬y␈ε¬2␈↓ ε*␈ε¬1␈↓ ε[␈ε¬0
␈ββ:␈↓ λX␈εα=␈↓ 	ε␈ελM␈↓ 	,␈εα.␈↓ 
p␈εα(17)
␈ββE␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββP␈↓ β?␈ελB␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧X␈ελb␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬;␈ελb␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ε≥␈ελb␈↓ εN␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π5␈εα0␈↓ πg␈εα0␈↓ λ_␈εα0
␈ββ[␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββ↑␈↓ βT␈ε¬3␈↓ ∧e␈ε¬6␈↓ ¬↔␈ε¬5␈↓ ¬H␈ε¬4␈↓ ¬y␈ε¬3␈↓ ε*␈ε¬2␈↓ ε[␈ε¬1␈↓ π
␈ε¬0
␈ββq␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈ββ{␈↓ β?␈ελB␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧]␈εα0␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬;␈ελb␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ε≥␈ελb␈↓ εN␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π1␈ελb␈↓ πg␈εα0␈↓ λ_␈εα0
␈β∧ε␈↓ ∧π␈ε↓B␈↓ λ6␈ε↓C
␈β∧	␈↓ βT␈ε¬2␈↓ ¬↔␈ε¬6␈↓ ¬H␈ε¬5␈↓ ¬y␈ε¬4␈↓ ε*␈ε¬3␈↓ ε[␈ε¬2␈↓ π
␈ε¬1␈↓ π>␈ε¬0
␈β∧≤␈↓ ∧π␈ε↓@␈↓ λ6␈ε↓A
␈β∧'␈↓ β?␈ελB␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧]␈εα0␈↓ ¬∞␈εα0␈↓ ¬;␈ελb␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ε≥␈ελb␈↓ εN␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π1␈ελb␈↓ πb␈ελb␈↓ λ_␈εα0
␈β∧4␈↓ βT␈ε¬1␈↓ ¬H␈ε¬6␈↓ ¬y␈ε¬5␈↓ ε*␈ε¬4␈↓ ε[␈ε¬3␈↓ π
␈ε¬2␈↓ π>␈ε¬1␈↓ πo␈ε¬0
␈β∧R␈↓ β?␈ελB␈↓ ∧,␈εα0␈↓ ∧]␈εα0␈↓ ¬∞␈εα0␈↓ ¬@␈εα0␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ε≥␈ελb␈↓ εN␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π1␈ελb␈↓ πb␈ελb␈↓ λ∪␈ελb
␈β∧←␈↓ βT␈ε¬0␈↓ ¬y␈ε¬6␈↓ ε*␈ε¬5␈↓ ε[␈ε¬4␈↓ π
␈ε¬3␈↓ π>␈ε¬2␈↓ πo␈ε¬1␈↓ λ ␈ε¬0
␈β¬∀␈↓ ↓H␈εαThe␈αindicated␈αro␈α␈w␈αoperations␈αand␈αa␈αperm␈α␈utation␈αof␈αro␈α␈ws␈αwill␈αtransform␈↓ 
9␈ελM␈↓ 
j␈εαin␈α␈to
␈β¬7␈↓ ∧∀␈ε↓0␈↓ λ%␈ε↓1
␈β¬X␈↓ βK␈ελB␈↓ ∧2␈ελb␈↓ ∧←␈ελb␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬:␈ελb␈↓ ¬h␈ελb␈↓ ε∃␈ελb␈↓ εB␈ελb␈↓ εt␈εα0␈↓ π$␈εα0␈↓ πU␈εα0␈↓ λε␈εα0
␈β¬e␈↓ β`␈ε¬4␈↓ ∧?␈ε¬6␈↓ ∧l␈ε¬5␈↓ ¬~␈ε¬4␈↓ ¬G␈ε¬3␈↓ ¬u␈ε¬2␈↓ ε"␈ε¬1␈↓ εO␈ε¬0
␈β¬x␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βεβ␈↓ βK␈ελB␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧←␈ελb␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬:␈ελb␈↓ ¬h␈ελb␈↓ ε∃␈ελb␈↓ εB␈ελb␈↓ εp␈ελb␈↓ π$␈εα0␈↓ πU␈εα0␈↓ λε␈εα0
␈βε∞␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βε⊂␈↓ β`␈ε¬3␈↓ ∧l␈ε¬6␈↓ ¬~␈ε¬5␈↓ ¬G␈ε¬4␈↓ ¬u␈ε¬3␈↓ ε"␈ε¬2␈↓ εO␈ε¬1␈↓ ε⎇␈ε¬0
␈βε#␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βε.␈↓ βK␈ελB␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬
␈ελb␈↓ ¬:␈ελb␈↓ ¬h␈ελb␈↓ ε∃␈ελb␈↓ εB␈ελb␈↓ εp␈ελb␈↓ π∨␈ελb␈↓ πU␈εα0␈↓ λε␈εα0
␈βε9␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βε<␈↓ β`␈ε¬2␈↓ ¬~␈ε¬6␈↓ ¬G␈ε¬5␈↓ ¬u␈ε¬4␈↓ ε"␈ε¬3␈↓ εO␈ε¬2␈↓ ε⎇␈ε¬1␈↓ π,␈ε¬0
␈βεO␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βεY␈↓ βK␈ελB␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬⊃␈εα0␈↓ ¬:␈ελb␈↓ ¬h␈ελb␈↓ ε∃␈ελb␈↓ εB␈ελb␈↓ εp␈ελb␈↓ π∨␈ελb␈↓ πP␈ελb␈↓ λε␈εα0
␈βεd␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βεg␈↓ β`␈ε¬1␈↓ ¬G␈ε¬6␈↓ ¬u␈ε¬5␈↓ ε"␈ε¬4␈↓ εO␈ε¬3␈↓ ε⎇␈ε¬2␈↓ π,␈ε¬1␈↓ π]␈ε¬0
␈βεh␈↓ 	~␈ε→0
␈βεn␈↓ λG␈εα=␈↓ λu␈ελM␈↓ 	"␈εα.␈↓ 
p␈εα(18)
␈βεz␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βπ¬␈↓ βK␈ελB␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬⊃␈εα0␈↓ ¬?␈εα0␈↓ ¬h␈ελc␈↓ ε∃␈ελc␈↓ εB␈ελc␈↓ εp␈ελc␈↓ π∨␈ελc␈↓ πU␈εα0␈↓ λε␈εα0
␈βπ∂␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βπ∩␈↓ β`␈ε¬0␈↓ ¬u␈ε¬4␈↓ ε"␈ε¬3␈↓ εO␈ε¬2␈↓ ε⎇␈ε¬1␈↓ π,␈ε¬0
␈βπ%␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βπ0␈↓ βI␈ελC␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬⊃␈εα0␈↓ ¬?␈εα0␈↓ ¬l␈εα0␈↓ ε∃␈ελc␈↓ εB␈ελc␈↓ εp␈ελc␈↓ π∨␈ελc␈↓ πP␈ελc␈↓ λε␈εα0
␈βπ;␈↓ ∧∀␈ε↓B␈↓ λ%␈ε↓C
␈βπ=␈↓ βa␈ε¬2␈↓ ε"␈ε¬4␈↓ εO␈ε¬3␈↓ ε⎇␈ε¬2␈↓ π,␈ε¬1␈↓ π]␈ε¬0
␈βπP␈↓ ∧∀␈ε↓@␈↓ λ%␈ε↓A
␈βπ[␈↓ βI␈ελC␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬⊃␈εα0␈↓ ¬?␈εα0␈↓ ¬l␈εα0␈↓ ε~␈εα0␈↓ εB␈ελc␈↓ εp␈ελc␈↓ π∨␈ελc␈↓ πP␈ελc␈↓ λ↓␈ελc
␈βπh␈↓ βa␈ε¬1␈↓ εO␈ε¬4␈↓ ε⎇␈ε¬3␈↓ π,␈ε¬2␈↓ π]␈ε¬1␈↓ λ∞␈ε¬0
␈βλε␈↓ βI␈ελD␈↓ ∧7␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬⊃␈εα0␈↓ ¬?␈εα0␈↓ ¬l␈εα0␈↓ ε~␈εα0␈↓ εG␈εα0␈↓ εt␈εα0␈↓ π≥␈ελd␈↓ πN␈ελd␈↓ λ␈ελd
␈βλ∀␈↓ βb␈ε¬0␈↓ π.␈ε¬2␈↓ π←␈ε¬1␈↓ λ⊂␈ε¬0
␈βλE␈↓ ∧)␈ε→0
␈βλJ␈↓ ↓H␈εαBecause␈αof␈αthe␈αway␈↓ ∧∧␈ελM␈↓ ∧<␈εαhas␈αbeen␈αderiv␈α␈ed␈αfrom␈↓ π%␈ελM␈↓ πK␈εα,␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈β		␈↓ ∧≠␈ε¬3␈↓ ∧R␈ε¬3␈↓ ¬	␈ε¬3␈↓ ¬K␈ε¬3␈↓ ¬z␈ε¬5␈↓ λT␈ε→0
␈β	∂␈↓ ∧
␈ελb␈↓ ∧2␈ε⊗↓␈↓ ∧D␈ελb␈↓ ∧h␈ε⊗↓␈↓ ∧z␈ελb␈↓ ¬∨␈ε⊗↓␈εα␈αλ(␈↓ ¬=␈ελc␈↓ ¬Z␈εα/␈↓ ¬l␈ελb␈↓ ελ␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ε.␈εαdet␈↓ εf␈ελM␈↓ π≡␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ πv␈εαdet␈↓ λ.␈ελM␈↓ λ]␈εα,␈↓ 
p␈εα(19)
␈β	≥␈↓ π¬␈ε¬0
␈β	!␈↓ ∧≠␈ε¬6␈↓ ∧R␈ε¬6␈↓ ¬	␈ε¬6␈↓ ¬K␈ε¬4␈↓ ¬z␈ε¬6␈↓ λO␈ε¬0
␈β	O␈↓ β≥␈ε→0
␈β	T␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓n␈ελM␈↓ α-␈εαand␈↓ αw␈ελM␈↓ β7␈εαrepresen␈α␈t␈α⊃an␈α␈y␈α⊃square␈α⊃matrices␈α⊂obtained␈α⊃by␈α⊃selecting␈α⊃eigh␈α␈t␈α⊂cor-
␈β	b␈↓ α
␈ε¬0
␈β	f␈↓ β_␈ε¬0
␈β	{␈↓ ε∧␈ε→0
␈β
␈↓ ↓H␈εαresponding␈α
columns␈α
from␈↓ ∧d␈ελM␈↓ ¬↔␈εαand␈↓ ¬↑␈ελM␈↓ ε␈εα.␈α⊂For␈α∞example,␈α
let␈α∞us␈α
select␈α∞the␈α
|rst␈α
sev␈α␈en
␈β
+␈↓ ↓H␈εαcolumns␈αand␈αthe␈αcolumn␈αcon␈α␈taining␈↓ ε¬␈ελd␈↓ ε$␈εα;␈αthen
␈β
8␈↓ ε∃␈ε¬1
␈β
N␈↓ ¬∀␈ε↓0␈↓ λ/␈ε↓1
␈β
o␈↓ ¬2␈ελa␈↓ ¬c␈ελa␈↓ ε∀␈ελa␈↓ εE␈ελa␈↓ εw␈ελa␈↓ π(␈ελa␈↓ πY␈ελa␈↓ λ⊃␈εα0
␈β
|␈↓ ¬C␈ε¬8␈↓ ¬t␈ε¬7␈↓ ε%␈ε¬6␈↓ εV␈ε¬5␈↓ ππ␈ε¬4␈↓ π9␈ε¬3␈↓ πj␈ε¬2
␈β∂␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈β~␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬c␈ελa␈↓ ε∀␈ελa␈↓ εE␈ελa␈↓ εw␈ελa␈↓ π(␈ελa␈↓ πY␈ελa␈↓ λ
␈ελa
␈β%␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈β'␈↓ ¬t␈ε¬8␈↓ ε%␈ε¬7␈↓ εV␈ε¬6␈↓ ππ␈ε¬5␈↓ π9␈ε¬4␈↓ πj␈ε¬3␈↓ λ≠␈ε¬0
␈β:␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈βE␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬j␈εα0␈↓ ε∀␈ελa␈↓ εE␈ελa␈↓ εw␈ελa␈↓ π(␈ελa␈↓ πY␈ελa␈↓ λ
␈ελa
␈βP␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈βR␈↓ ε%␈ε¬8␈↓ εV␈ε¬7␈↓ ππ␈ε¬6␈↓ π9␈ε¬5␈↓ πj␈ε¬4␈↓ λ≠␈ε¬1
␈βe␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈βp␈↓ ¬4␈ελb␈↓ ¬e␈ελb␈↓ ε⊗␈ελb␈↓ εG␈ελb␈↓ εx␈ελb␈↓ π*␈ελb␈↓ π[␈ελb␈↓ λ⊃␈εα0
␈β{␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈β}␈↓ ¬A␈ε¬6␈↓ ¬r␈ε¬5␈↓ ε#␈ε¬4␈↓ εT␈ε¬3␈↓ π¬␈ε¬2␈↓ π7␈ε¬1␈↓ πh␈ε¬0
␈β␈␈↓ αI␈ε¬3␈↓ α␈␈ε¬3␈↓ β6␈ε¬3␈↓ βy␈ε¬3␈↓ ∧'␈ε¬5␈↓ 	2␈ε¬4␈↓ 	h␈ε¬3
␈β¬␈↓ α:␈ελb␈↓ α←␈ε⊗↓␈↓ αq␈ελb␈↓ β⊗␈ε⊗↓␈↓ β(␈ελb␈↓ βM␈ε⊗↓␈εα␈αλ(␈↓ βk␈ελc␈↓ ∧π␈εα/␈↓ ∧→␈ελb␈↓ ∧6␈εα)␈ε⊗␈αλ↓␈↓ ∧\␈εαdet␈↓ λQ␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ 	#␈ελb␈↓ 	H␈ε⊗↓␈↓ 	Z␈ελc␈↓ 	␈␈ε⊗↓␈↓ 
⊃␈ελd␈↓ 
0␈εα.
␈β⊃␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈β∩␈↓ 
!␈ε¬1
␈β↔␈↓ αI␈ε¬6␈↓ α␈␈ε¬6␈↓ β6␈ε¬6␈↓ βy␈ε¬4␈↓ ∧'␈ε¬6␈↓ 	2␈ε¬6␈↓ 	h␈ε¬4
␈β≠␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬e␈ελb␈↓ ε⊗␈ελb␈↓ εG␈ελb␈↓ εx␈ελb␈↓ π*␈ελb␈↓ π[␈ελb␈↓ λ⊃␈εα0
␈β&␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈β)␈↓ ¬r␈ε¬6␈↓ ε#␈ε¬5␈↓ εT␈ε¬4␈↓ π¬␈ε¬3␈↓ π7␈ε¬2␈↓ πh␈ε¬1
␈β<␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈βG␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬j␈εα0␈↓ ε⊗␈ελb␈↓ εG␈ελb␈↓ εx␈ελb␈↓ π*␈ελb␈↓ π[␈ελb␈↓ λ⊃␈εα0
␈βQ␈↓ ¬∀␈ε↓B␈↓ λ/␈ε↓C
␈βT␈↓ ε#␈ε¬6␈↓ εT␈ε¬5␈↓ π¬␈ε¬4␈↓ π7␈ε¬3␈↓ πh␈ε¬2
␈βg␈↓ ¬∀␈ε↓@␈↓ λ/␈ε↓A
␈βr␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬j␈εα0␈↓ ε≠␈εα0␈↓ εG␈ελb␈↓ εx␈ελb␈↓ π*␈ελb␈↓ π[␈ελb␈↓ λ␈ελb
␈β␈␈↓ εT␈ε¬6␈↓ π¬␈ε¬5␈↓ π7␈ε¬4␈↓ πh␈ε¬3␈↓ λ→␈ε¬0
␈β
≥␈↓ ¬8␈εα0␈↓ ¬j␈εα0␈↓ ε≠␈εα0␈↓ εL␈εα0␈↓ εx␈ελb␈↓ π*␈ελb␈↓ π[␈ελb␈↓ λ␈ελb
␈β
*␈↓ π¬␈ε¬6␈↓ π7␈ε¬5␈↓ πh␈ε¬4␈↓ λ→␈ε¬1
␈β
a␈↓ ↓H␈εαSince␈↓ α$␈ελb␈↓ α?␈ελc␈↓ αe␈ε⊗≤␈εα␈α
0,␈α
this␈αpro␈α␈v␈α␈es␈α
that␈↓ ¬8␈ελd␈↓ ¬b␈εαis␈α
an␈αin␈α␈teger.␈αSimilarly,␈↓ λX␈ελd␈↓ 	↓␈εαand␈↓ 	F␈ελd␈↓ 	o␈εαare␈α
in␈α␈tegers.
␈β
o␈↓ α1␈ε¬6␈↓ αL␈ε¬4␈↓ ¬I␈ε¬1␈↓ λi␈ε¬2␈↓ 	V␈ε¬0
␈β∞␈↓ α␈εαIn␈α⊂general,␈α⊃w␈α␈e␈α∂can␈α⊂sho␈α␈w␈α⊂that␈↓ ¬t␈ελu␈↓ εA␈εα(␈↓ εM␈ελx␈↓ ε`␈εα)␈α∂has␈α⊂in␈α␈teger␈α⊂coe}cien␈α␈ts␈α⊂in␈α⊂a␈α∂similar
␈β∞~␈↓ ελ␈εj␈↓ ε⊗␈ε¬+␈α␈1
␈β∞8␈↓ ↓H␈εαmanner.␈αIf␈α
w␈α␈e␈α	start␈α
with␈α
the␈α
matrix␈↓ ¬{␈ελM␈↓ ε*␈εαconsisting␈α
of␈α	ro␈α␈ws␈↓ λF␈ελA␈↓ 	>␈εαthrough␈↓ 
C␈ελA␈↓ 
r␈εαand
␈β∞E␈↓ λ]␈εn␈↓ λz␈ε→␈␈↓ 	↔␈εn␈↓ 
Z␈ε¬0
␈β∞N␈↓ λo␈επ2␈↓ 	(␈ε
j
␈β∞c␈↓ ↓H␈ελB␈↓ α<␈εαthrough␈↓ βA␈ελB␈↓ βe␈εα,␈α	and␈α
if␈α	w␈α␈e␈α	perform␈α	the␈α	ro␈α␈w␈α	operations␈α	indicated␈α	in␈α
Table␈α	1,␈α	w␈α␈e
␈β∞p␈↓ ↓]␈εn␈↓ ↓y␈ε→␈␈↓ α⊗␈εn␈↓ βV␈ε¬0
␈β∞y␈↓ ↓n␈επ1␈↓ α(␈ε
j
␈β∂	␈↓ ∧!␈ε→0
␈β∂∞␈↓ ↓H␈εαwill␈απobtain␈απa␈απmatrix␈↓ β|␈ελM␈↓ ∧/␈εαconsisting␈απin␈απsome␈απorder␈απof␈απro␈α␈ws␈↓ λ⊗␈ελB␈↓ 		␈εαthrough␈↓ 
␈ελB␈↓ "␈εα,
␈β∂≠␈↓ λ+␈εn␈↓ λH␈ε→␈␈↓ λe␈εn␈↓ 
!␈εn␈↓ 
=␈ε→␈␈↓ 
Z␈εn␈↓ 
w␈ε¬+1
␈β∂$␈↓ λ=␈επ1␈↓ λv␈ε
j␈↓ 
2␈επ3␈↓ 
l␈ε
j
␈β∂9␈↓ ↓H␈ελC␈↓ α>␈εαthrough␈↓ βB␈ελC␈↓ ∧\␈εα,␈↓ ∧v␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬?␈ελP␈↓ εU␈εαthrough␈↓ πY␈ελP␈↓ π|␈εα,␈↓ λ⊗␈ελQ␈↓ 	.␈εαthrough␈↓ 
2␈ελQ␈↓ 
Y␈εα,␈α∂and
␈β∂E␈↓ αi␈ε↓␈␈↓ λ≡␈ε↓↓
␈β∂G␈↓ ↓`␈εn␈↓ ↓|␈ε→␈␈↓ α→␈εn␈↓ βZ␈εn␈↓ βw␈ε→␈␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧1␈ε¬+␈α␈1␈↓ ¬T␈εn␈↓ ε∪␈ε→␈␈↓ ε0␈εn␈↓ πn␈ε¬1␈↓ λ.␈εn␈↓ λm␈ε→␈␈↓ 		␈εn␈↓ 
J␈ε¬0
␈β∂O␈↓ ↓q␈επ2␈↓ α+␈ε
j␈↓ βl␈επ4␈↓ ∧%␈ε
j␈↓ ¬f␈ε
j␈↓ ¬q␈ε≠␈␈επ2␈↓ εA␈ε
j␈↓ λ?␈ε
j␈↓ λK␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ 	≠␈ε
j
␈β∂d␈↓ ↓H␈εα|nally␈↓ α6␈ελR␈↓ αw␈εαa␈αro␈α␈w␈αcon␈α␈taining␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ π&␈ελu␈↓ πs␈εα(␈↓ π␈␈ελx␈↓ λ∩␈εα)␈↓ λ,␈εα.␈αExtracting␈αappropriate
␈β∂r␈↓ αO␈ε¬0␈↓ π;␈εj␈↓ πH␈ε¬+1
␈β⊂⊂␈↓ ↓H␈εαcolumns␈αsho␈α␈ws␈αthat
␈β⊂M␈↓ π≠␈ε∞␈↓ πT␈ε¬+␈α␈1␈↓ λi␈ε∞
␈β⊂N␈↓ ↓e␈ε∞␈↓ ↓{␈ε¬+1␈↓ αg␈ε∞␈↓ β	␈εn␈↓ β&␈ε→␈␈↓ βC␈εn␈↓ β`␈ε¬+␈α␈1␈↓ ∧(␈ε∞␈↓ ∧>␈ε¬+1␈↓ ¬*␈ε∞␈↓ ¬L␈εn␈↓ ¬i␈ε→␈␈↓ εε␈εn␈↓ ε#␈ε¬+1␈↓ 	-␈εn␈↓ 	J␈ε→␈␈↓ 	g␈εn␈↓ 
∧␈ε¬+1
␈β⊂U␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελg␈↓ α&␈εα/␈↓ α8␈ελg␈↓ αU␈ελh␈↓ α⎇␈εα)␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧↔␈ελg␈↓ ∧j␈εα/␈↓ ∧|␈ελg␈↓ ¬_␈ελh␈↓ ¬@␈εα)␈↓ εN␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε}␈εα(␈↓ π
␈ελg␈↓ π␈␈εα/␈↓ λ⊃␈ελg␈↓ λW␈ελh␈↓ 	!␈εα)␈↓ 
5␈εαdet␈↓ 
m␈ελM
␈β⊂V␈↓ π&␈ε
j␈↓ π2␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ λt␈ε
j␈↓ 	␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β⊂W␈↓ ↓p␈επ1␈↓ αr␈επ1␈↓ β≠␈επ2␈↓ βT␈ε
j␈↓ ∧3␈επ2␈↓ ¬5␈επ2␈↓ ¬↑␈επ3␈↓ ε↔␈ε
j␈↓ 	?␈ε
j␈↓ 	y␈ε
j
␈β⊂b␈↓ αF␈ε¬1␈↓ ¬
␈ε¬2␈↓ λ∨␈εj␈↓ λ,␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ␈ε¬0
␈β⊂f␈↓ ↓e␈ε¬2␈↓ αg␈ε¬1␈↓ ∧(␈ε¬3␈↓ ¬*␈ε¬2
␈β⊂g␈↓ π⊗␈εj␈↓ λd␈εj␈↓ λq␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊃␈↓ πx␈εn␈↓ λ7␈ε→␈␈↓ λS␈εn␈↓ 	↓␈εn␈↓ 	@␈ε→␈␈↓ 	]␈εn␈↓ 	z␈ε¬+1
␈β⊃
␈↓ ¬y␈εn␈↓ ε⊗␈ε→␈␈↓ ε3␈εn␈↓ εa␈εn␈↓ ε⎇␈ε→␈␈↓ π~␈εn
␈β⊃∪␈↓ ¬⊗␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ ¬h␈ελg␈↓ εO␈ελg␈↓ π7␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πg␈ελg␈↓ λp␈ελg␈↓ 
%␈ελr␈↓ 
<␈εα,␈α*(19)
␈β⊃∃␈↓ λ	␈ε
j␈↓ λ∃␈ε≠␈␈επ␈α␈2␈↓ λe␈ε
j␈↓ 	∪␈ε
j␈↓ 	≡␈ε≠␈␈επ1␈↓ 	n␈ε
j
␈β⊃⊗␈↓ ε␈επ1␈↓ εD␈επ3␈↓ εr␈επ2␈↓ π,␈επ4
␈β⊃!␈↓ 
2␈εt
␈β⊃%␈↓ ¬y␈ε¬2␈↓ εa␈ε¬3
␈β⊃&␈↓ πs␈εj␈↓ λ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ⎇␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα401
␈βα%␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α1␈ελr␈↓ αV␈εαis␈α∞a␈α
giv␈α␈en␈α∞coe}cien␈α␈t␈α∞of␈↓ ¬P␈ελu␈↓ ε≥␈εα(␈↓ ε)␈ελx␈↓ ε<␈εα)␈α∞and␈↓ π≥␈ελM␈↓ πX␈εαis␈α∞a␈α
submatrix␈α∞of␈↓ 	w␈ελM␈↓ 
≤␈εα.␈α⊃The␈↓ β␈ελh␈↓ ∀␈εα's
␈βα2␈↓ α>␈εt␈↓ ¬e␈εj␈↓ ¬r␈ε¬+1␈↓ π<␈ε¬0
␈βαP␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αbeen␈αchosen␈αv␈α␈ery␈αclev␈α␈erly␈αso␈αthat␈αthis␈αequation␈αsimpli|es␈αto
␈ββ∨␈↓ ¬K␈εαdet␈↓ εβ␈ελM␈↓ ε:␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ π∩␈ελr␈↓ 
p␈εα(20)
␈ββ,␈↓ ε"␈ε¬0␈↓ π∨␈εt
␈ββn␈↓ ↓H␈εα(see␈αex␈α␈ercise␈α
24).␈α∞Therefore␈ε∂␈αev␈α␈ery␈α
coe}cien␈α␈t␈αof␈↓ π4␈ελu␈↓ λ↓␈εα(␈↓ λ
␈ελx␈↓ λ ␈εα)␈ε∂␈αcan␈α
be␈αexpressed␈α
as␈αthe
␈ββ{␈↓ πH␈εj␈↓ πV␈ε¬+␈α␈1
␈β∧→␈↓ ↓H␈ε∂determinan␈α␈t␈α∂of␈α∂an␈εα␈α∂(␈↓ ∧∧␈ελn␈↓ ∧0␈εα+␈↓ ∧↑␈ελn␈↓ ¬␈ε⊗␈␈εα␈α
2␈↓ ¬K␈ελn␈↓ ¬w␈εα+␈α
2)␈ε⊗␈α
α␈εα␈α
(␈↓ ππ␈ελn␈↓ π4␈εα+␈↓ πb␈ελn␈↓ λ∂␈ε⊗␈␈εα␈α
2␈↓ λO␈ελn␈↓ λ{␈εα+␈α
2)␈ε∂␈α∞matrix␈α∂whose
␈β∧&␈↓ ∧_␈ε¬1␈↓ ∧s␈ε¬2␈↓ ¬`␈εj␈↓ π≤␈ε¬1␈↓ πv␈ε¬2␈↓ λc␈εj
␈β∧D␈↓ ↓H␈ε∂elemen␈α␈ts␈αare␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ ∧v␈ελu␈↓ ¬␈εα(␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬*␈εα)␈ε∂␈αand␈↓ ελ␈ελv␈↓ ε≠␈εα(␈↓ ε'␈ελx␈↓ ε:␈εα)␈ε∂.
␈β∧o␈↓ α␈εαIt␈αλremains␈αλto␈αλbe␈αλsho␈α␈wn␈αλthat␈απthe␈αλclev␈α␈erly-chosen␈↓ πe␈ελh␈↓ πw␈εα's␈αλalso␈αλare␈αλin␈α␈tegers.␈αA␈απsimilar
␈β¬~␈↓ ↓H␈εαtechnique␈αapplies:␈αLet's␈αlook,␈αfor␈αexample,␈αat␈αthe␈αmatrix
␈β¬H␈↓ ∧ ␈ε↓0␈↓ λ≡␈ε↓1
␈β¬h␈↓ βW␈ελA␈↓ ∧>␈ελa␈↓ ∧o␈ελa␈↓ ¬ ␈ελa␈↓ ¬R␈ελa␈↓ εβ␈ελa␈↓ ε4␈ελa␈↓ εe␈ελa␈↓ π⊗␈ελa␈↓ πG␈ελa␈↓ π␈␈εα0
␈β¬u␈↓ βn␈ε¬1␈↓ ∧O␈ε¬8␈↓ ¬␈ε¬7␈↓ ¬1␈ε¬6␈↓ ¬b␈ε¬5␈↓ ε∀␈ε¬4␈↓ εE␈ε¬3␈↓ εv␈ε¬2␈↓ π'␈ε¬1␈↓ πX␈ε¬0
␈βελ␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βε∪␈↓ βW␈ελA␈↓ ∧E␈εα0␈↓ ∧o␈ελa␈↓ ¬ ␈ελa␈↓ ¬R␈ελa␈↓ εβ␈ελa␈↓ ε4␈ελa␈↓ εe␈ελa␈↓ π⊗␈ελa␈↓ πG␈ελa␈↓ πy␈ελa
␈βε≡␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βε!␈↓ βn␈ε¬0␈↓ ¬␈ε¬8␈↓ ¬1␈ε¬7␈↓ ¬b␈ε¬6␈↓ ε∀␈ε¬5␈↓ εE␈ε¬4␈↓ εv␈ε¬3␈↓ π'␈ε¬2␈↓ πX␈ε¬1␈↓ λ	␈ε¬0
␈βε4␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βε>␈↓ βX␈ελB␈↓ ∧@␈ελb␈↓ ∧q␈ελb␈↓ ¬"␈ελb␈↓ ¬S␈ελb␈↓ ε¬␈ελb␈↓ ε6␈ελb␈↓ εg␈ελb␈↓ π≥␈εα0␈↓ πN␈εα0␈↓ π␈␈εα0
␈βεI␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βεL␈↓ βm␈ε¬3␈↓ ∧M␈ε¬6␈↓ ∧}␈ε¬5␈↓ ¬/␈ε¬4␈↓ ¬`␈ε¬3␈↓ ε∩␈ε¬2␈↓ εC␈ε¬1␈↓ εt␈ε¬0
␈βεS␈↓ λ@␈εα=␈↓ λn␈ελM␈↓ 	∪␈εα.␈↓ 
p␈εα(21)
␈βε←␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βεj␈↓ βX␈ελB␈↓ ∧E␈εα0␈↓ ∧q␈ελb␈↓ ¬"␈ελb␈↓ ¬S␈ελb␈↓ ε¬␈ελb␈↓ ε6␈ελb␈↓ εg␈ελb␈↓ π_␈ελb␈↓ πN␈εα0␈↓ π␈␈εα0
␈βεt␈↓ ∧ ␈ε↓B␈↓ λ≡␈ε↓C
␈βεw␈↓ βm␈ε¬2␈↓ ∧}␈ε¬6␈↓ ¬/␈ε¬5␈↓ ¬`␈ε¬4␈↓ ε∩␈ε¬3␈↓ εC␈ε¬2␈↓ εt␈ε¬1␈↓ π%␈ε¬0
␈βπ
␈↓ ∧ ␈ε↓@␈↓ λ≡␈ε↓A
␈βπ∃␈↓ βX␈ελB␈↓ ∧E␈εα0␈↓ ∧v␈εα0␈↓ ¬"␈ελb␈↓ ¬S␈ελb␈↓ ε¬␈ελb␈↓ ε6␈ελb␈↓ εg␈ελb␈↓ π_␈ελb␈↓ πI␈ελb␈↓ π␈␈εα0
␈βπ"␈↓ βm␈ε¬1␈↓ ¬/␈ε¬6␈↓ ¬`␈ε¬5␈↓ ε∩␈ε¬4␈↓ εC␈ε¬3␈↓ εt␈ε¬2␈↓ π%␈ε¬1␈↓ πV␈ε¬0
␈βπ@␈↓ βX␈ελB␈↓ ∧E␈εα0␈↓ ∧v␈εα0␈↓ ¬'␈εα0␈↓ ¬S␈ελb␈↓ ε¬␈ελb␈↓ ε6␈ελb␈↓ εg␈ελb␈↓ π_␈ελb␈↓ πI␈ελb␈↓ π{␈ελb
␈βπM␈↓ βm␈ε¬0␈↓ ¬`␈ε¬6␈↓ ε∩␈ε¬5␈↓ εC␈ε¬4␈↓ εt␈ε¬3␈↓ π%␈ε¬2␈↓ πV␈ε¬1␈↓ λλ␈ε¬0
␈βλ␈↓ ↓H␈εαRo␈α␈w␈αoperations␈αas␈αspeci|ed␈αin␈αTable␈α1,␈αand␈αperm␈α␈utation␈αof␈αro␈α␈ws,␈αleads␈αto
␈βλ9␈↓ ∧0␈ε↓0␈↓ λλ␈ε↓1
␈βλZ␈↓ βg␈ελB␈↓ ∧N␈ελb␈↓ ∧{␈ελb␈↓ ¬)␈ελb␈↓ ¬V␈ελb␈↓ εβ␈ελb␈↓ ε1␈ελb␈↓ ε↑␈ελb␈↓ π⊂␈εα0␈↓ π>␈εα0␈↓ πk␈εα0
␈βλg␈↓ β|␈ε¬3␈↓ ∧[␈ε¬6␈↓ ¬λ␈ε¬5␈↓ ¬6␈ε¬4␈↓ ¬c␈ε¬3␈↓ ε⊂␈ε¬2␈↓ ε>␈ε¬1␈↓ εk␈ε¬0
␈βλz␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	¬␈↓ βg␈ελB␈↓ ∧S␈εα0␈↓ ∧{␈ελb␈↓ ¬)␈ελb␈↓ ¬V␈ελb␈↓ εβ␈ελb␈↓ ε1␈ελb␈↓ ε↑␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π>␈εα0␈↓ πk␈εα0
␈β	⊂␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	∩␈↓ β|␈ε¬2␈↓ ¬λ␈ε¬6␈↓ ¬6␈ε¬5␈↓ ¬c␈ε¬4␈↓ ε⊂␈ε¬3␈↓ ε>␈ε¬2␈↓ εk␈ε¬1␈↓ π→␈ε¬0
␈β	%␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	0␈↓ βg␈ελB␈↓ ∧S␈εα0␈↓ ¬␈εα0␈↓ ¬)␈ελb␈↓ ¬V␈ελb␈↓ εβ␈ελb␈↓ ε1␈ελb␈↓ ε↑␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π9␈ελb␈↓ πk␈εα0
␈β	;␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	=␈↓ β|␈ε¬1␈↓ ¬6␈ε¬6␈↓ ¬c␈ε¬5␈↓ ε⊂␈ε¬4␈↓ ε>␈ε¬3␈↓ εk␈ε¬2␈↓ π→␈ε¬1␈↓ πF␈ε¬0
␈β	?␈↓ λ⎇␈ε→0
␈β	E␈↓ λ*␈εα=␈↓ λX␈ελM␈↓ 	¬␈εα;␈↓ 
p␈εα(22)
␈β	P␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	[␈↓ βg␈ελB␈↓ ∧S␈εα0␈↓ ¬␈εα0␈↓ ¬-␈εα0␈↓ ¬V␈ελb␈↓ εβ␈ελb␈↓ ε1␈ελb␈↓ ε↑␈ελb␈↓ π␈ελb␈↓ π9␈ελb␈↓ πf␈ελb
␈β	f␈↓ ∧0␈ε↓B␈↓ λλ␈ε↓C
␈β	i␈↓ β|␈ε¬0␈↓ ¬c␈ε¬6␈↓ ε⊂␈ε¬5␈↓ ε>␈ε¬4␈↓ εk␈ε¬3␈↓ π→␈ε¬2␈↓ πF␈ε¬1␈↓ πs␈ε¬0
␈β	|␈↓ ∧0␈ε↓@␈↓ λλ␈ε↓A
␈β
ε␈↓ βe␈ελC␈↓ ∧S␈εα0␈↓ ¬␈εα0␈↓ ¬-␈εα0␈↓ ¬[␈εα0␈↓ εβ␈ελc␈↓ ε1␈ελc␈↓ ε↑␈ελc␈↓ π␈ελc␈↓ π9␈ελc␈↓ πk␈εα0
␈β
∀␈↓ β⎇␈ε¬1␈↓ ε⊂␈ε¬4␈↓ ε>␈ε¬3␈↓ εk␈ε¬2␈↓ π→␈ε¬1␈↓ πF␈ε¬0
␈β
2␈↓ βe␈ελC␈↓ ∧S␈εα0␈↓ ¬␈εα0␈↓ ¬-␈εα0␈↓ ¬[␈εα0␈↓ ελ␈εα0␈↓ ε1␈ελc␈↓ ε↑␈ελc␈↓ π␈ελc␈↓ π9␈ελc␈↓ πf␈ελc
␈β
?␈↓ β⎇␈ε¬0␈↓ ε>␈ε¬4␈↓ εk␈ε¬3␈↓ π→␈ε¬2␈↓ πF␈ε¬1␈↓ πs␈ε¬0
␈β
z␈↓ πE␈ε→0
␈β␈↓ ↓H␈εαhence␈αif␈α
w␈α␈e␈α
consider␈α
an␈α␈y␈α
submatrices␈↓ ε≡␈ελM␈↓ εY␈εαand␈↓ π∨␈ελM␈↓ π[␈εαobtained␈α
by␈α
selecting␈α
six␈αcor-
␈β
␈↓ ε=␈ε¬0
␈β⊃␈↓ π@␈ε¬0
␈β&␈↓ ¬Q␈ε→0
␈β+␈↓ ↓H␈εαresponding␈αcolumns␈αof␈↓ ∧4␈ελM␈↓ ∧e␈εαand␈↓ ¬+␈ελM␈↓ ¬d␈εαw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βs␈↓ ∧Z␈ε¬3␈↓ ¬⊃␈ε¬3␈↓ ¬G␈ε¬3␈↓ λ∃␈ε→0
␈βz␈↓ ∧L␈ελb␈↓ ∧p␈ε⊗↓␈↓ ¬α␈ελb␈↓ ¬'␈ε⊗↓␈↓ ¬9␈ελb␈↓ ¬↑␈ε⊗↓␈↓ ¬p␈εαdet␈↓ ε(␈ελM␈↓ ε←␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ π7␈εαdet␈↓ πo␈ελM␈↓ λ≡␈εα.
␈βπ␈↓ εG␈ε¬0
␈β␈↓ ∧Z␈ε¬6␈↓ ¬⊃␈ε¬6␈↓ ¬G␈ε¬6␈↓ λ⊂␈ε¬0
␈βH␈↓ ↓H␈εαWhen␈↓ α3␈ελM␈↓ αq␈εαis␈α∂chosen␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂the␈α∂|rst␈α⊂six␈α⊂columns␈α∂of␈↓ π|␈ελM␈↓ λ"␈εα,␈α⊃w␈α␈e␈α∂|nd␈α⊂that␈↓ 
∪␈εαdet␈↓ 
K␈ελM␈↓ λ␈εα=
␈βV␈↓ αR␈ε¬0␈↓ 
j␈ε¬0
␈βn␈↓ ↓z␈ε¬2␈↓ α)␈ε¬2
␈βs␈↓ ↓H␈ε⊗ε␈↓ ↓l␈ελc␈↓ αλ␈εα/␈↓ α~␈ελb␈↓ αA␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ β∪␈ελh␈↓ β2␈εα,␈αso␈↓ βt␈ελh␈↓ ∧∨␈εαis␈αan␈αin␈α␈teger.
␈β
↓␈↓ β$␈ε¬3␈↓ ∧¬␈ε¬3
␈β
¬␈↓ ↓z␈ε¬4␈↓ α)␈ε¬6
␈β
∨␈↓ α␈εαIn␈αgeneral,␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat␈↓ ¬∞␈ελh␈↓ ¬7␈εαis␈αan␈αin␈α␈teger␈αfor␈↓ π:␈ελj␈↓ πT␈ε⊗∃␈εα␈α
3,␈αw␈α␈e␈αstart␈αwith␈αthe␈αmatrix
␈β
,␈↓ ¬∨␈εj
␈β
J␈↓ ↓H␈ελM␈↓ ↓z␈εαconsisting␈α
of␈α
ro␈α␈ws␈↓ ∧ ␈ελA␈↓ ¬F␈εαthrough␈↓ εO␈ελA␈↓ πα␈εαand␈↓ πI␈ελB␈↓ λl␈εαthrough␈↓ 	u␈ελB␈↓ 
→␈εα;␈α
then␈α
w␈α␈e
␈β
W␈↓ ∧7␈εn␈↓ ∧T␈ε→␈␈↓ ∧q␈εn␈↓ ¬∞␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εf␈ε¬0␈↓ π↑␈εn␈↓ πz␈ε→␈␈↓ λ↔␈εn␈↓ λ4␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 

␈ε¬0
␈β
`␈↓ ∧I␈επ2␈↓ ¬α␈ε
j␈↓ πo␈επ1␈↓ λ)␈ε
j
␈β
p␈↓ 	N␈ε→0
␈β
u␈↓ ↓H␈εαperform␈α∂appropriate␈α∂ro␈α␈w␈α⊂operations␈α∂un␈α␈til␈α⊂obtaining␈α∂a␈α∂matrix␈↓ 	)␈ελM␈↓ 	e␈εαconsisting␈α∂of
␈β∞ ␈↓ ↓H␈εαro␈α␈ws␈↓ α≤␈ελB␈↓ β@␈εαthrough␈↓ ∧I␈ελB␈↓ ¬5␈εα,␈↓ ¬Z␈ελC␈↓ π↓␈εαthrough␈↓ λ
␈ελC␈↓ λy␈εα,␈↓ 	≡␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	N␈εα,␈↓ 	t␈ελP
␈β∞.␈↓ α1␈εn␈↓ αN␈ε→␈␈↓ αj␈εn␈↓ βπ␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧↑␈εn␈↓ ∧{␈ε→␈␈↓ ¬_␈εn␈↓ ¬r␈εn␈↓ ε∂␈ε¬+␈↓ ε,␈εn␈↓ εI␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ λ"␈εn␈↓ λ?␈ε→␈␈↓ λ\␈εn␈↓ 
	␈εn␈↓ 
G␈ε→␈␈↓ 
d␈εn␈↓ ↓␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞6␈↓ αB␈επ1␈↓ α|␈ε
j␈↓ ∧p␈επ3␈↓ ¬)␈ε
j␈↓ ε∧␈επ2␈↓ ε=␈ε
j␈↓ λ4␈επ4␈↓ λm␈ε
j␈↓ 
~␈ε
j␈↓ 
&␈ε≠␈␈επ␈α␈2␈↓ 
v␈ε
j
␈β∞K␈↓ ↓H␈εαthrough␈↓ αS␈ελP␈↓ αw␈εα,␈↓ β ␈ελQ␈↓ ∧k␈εαthrough␈↓ ¬w␈ελQ␈↓ ε≥␈εα.␈α↔Letting␈↓ πB␈ελM␈↓ π␈␈εαbe␈α∂the␈α⊂|rst␈↓ 	A␈ελn␈↓ 	o␈εα+␈↓ 
≥␈ελn␈↓ 
J␈ε⊗␈␈εα␈α2␈↓ ␈ελn
␈β∞Y␈↓ αh␈ε¬0␈↓ β8␈εn␈↓ βw␈ε→␈␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧1␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ε∂␈ε¬0␈↓ πa␈ε¬0␈↓ 	V␈ε¬1␈↓ 
2␈ε¬2␈↓ ∨␈εj
␈β∞a␈↓ βJ␈ε
j␈↓ βU␈ε≠␈␈επ1␈↓ ∧%␈ε
j
␈β∞w␈↓ ↓H␈εαcolumns␈αof␈↓ α}␈ελM␈↓ β#␈εα,␈αw␈α␈e␈αobtain
␈β∂>␈↓ εi␈ε∞␈↓ π!␈ε¬+1␈↓ λ7␈ε∞
␈β∂?␈↓ α	␈ε∞␈↓ α∨␈ε¬+1␈↓ β␈ε∞␈↓ β-␈εn␈↓ βJ␈ε→␈␈↓ βg␈εn␈↓ ∧!␈ε∞␈↓ ∧7␈ε¬+1␈↓ ¬#␈ε∞␈↓ ¬E␈εn␈↓ ¬b␈ε→␈␈↓ ¬␈␈εn␈↓ λ{␈εn␈↓ 	_␈ε→␈␈↓ 	5␈εn
␈β∂E␈↓ ↓l␈εα(␈↓ ↓x␈ελg␈↓ αJ␈εα/␈↓ α\␈ελg␈↓ αy␈ελh␈↓ β!␈εα)␈↓ ∧∧␈εα(␈↓ ∧⊂␈ελg␈↓ ∧b␈εα/␈↓ ∧t␈ελg␈↓ ¬⊃␈ελh␈↓ ¬9␈εα)␈↓ ε≤␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εL␈εα(␈↓ εX␈ελg␈↓ πL␈εα/␈↓ π↑␈ελg␈↓ λ%␈ελh␈↓ λo␈εα)␈↓ 	X␈εαdet␈↓ 
⊂␈ελM
␈β∂G␈↓ εt␈ε
j␈↓ ε␈␈ε≠␈␈επ1␈↓ λB␈ε
j␈↓ λM␈ε≠␈␈επ1
␈β∂H␈↓ α∀␈επ1␈↓ β⊗␈επ1␈↓ β?␈επ2␈↓ βx␈ε
j␈↓ ∧,␈επ2␈↓ ¬.␈επ2␈↓ ¬W␈επ3␈↓ ε⊂␈ε
j␈↓ 	
␈ε
j␈↓ 	F␈ε
j
␈β∂S␈↓ αj␈ε¬1␈↓ ¬α␈ε¬2␈↓ πl␈εj␈↓ πz␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ 
/␈ε¬0
␈β∂W␈↓ α	␈ε¬2␈↓ β␈ε¬1␈↓ ∧!␈ε¬3␈↓ ¬#␈ε¬2
␈β∂X␈↓ εi␈εj␈↓ λ2␈εj␈↓ λ?␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂t␈↓ λ:␈εn␈↓ λy␈ε→␈␈↓ 	⊗␈εn␈↓ 	D␈εn␈↓ 
β␈ε→␈␈↓ 
∨␈εn
␈β∂u␈↓ ε<␈εn␈↓ εX␈ε→␈␈↓ εu␈εn␈↓ π#␈εn␈↓ π@␈ε→␈␈↓ π]␈εn
␈β∂{␈↓ ¬Y␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ ε+␈ελg␈↓ π∩␈ελg␈↓ πy␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ)␈ελg␈↓ 	3␈ελg␈↓ 
<␈εα,␈α*(23)
␈β∂⎇␈↓ λL␈ε
j␈↓ λW␈ε≠␈␈επ2␈↓ 	'␈ε
j␈↓ 	U␈ε
j␈↓ 	a␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ 
1␈ε
j
␈β∂}␈↓ εM␈επ1␈↓ ππ␈επ3␈↓ π5␈επ2␈↓ πn␈επ4
␈β⊂
␈↓ ε<␈ε¬2␈↓ π#␈ε¬3
␈β⊂∞␈↓ λ6␈εj␈↓ λC␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	?␈εj
␈β⊂J␈↓ ↓H␈εαan␈αequation␈αthat␈αneatly␈αsimpli|es␈αto
␈β⊃→␈↓ ¬E␈εαdet␈↓ ¬⎇␈ελM␈↓ ε5␈εα=␈ε⊗␈α
ε␈↓ ππ␈ελh␈↓ π%␈εα.␈↓ 
p␈εα(24)
␈β⊃&␈↓ ε≤␈ε¬0␈↓ π_␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα402␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ↓H␈εα(This␈α
proof,␈αalthough␈α
stated␈αfor␈αthe␈α
domain␈αof␈α
in␈α␈tegers,␈αobviously␈α
applies␈αto␈α
an␈α␈y
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαunique␈αfactorization␈αdomain.)
␈βα␈␈↓ α␈εαIn␈α∂the␈α⊂process␈α∂of␈α∂v␈α␈erifying␈α⊂Algorithm␈α∂C␈↓ π∂␈εα,␈α⊂w␈α␈e␈α∂hav␈α␈e␈α⊂also␈α∂learned␈α∂that␈α∂ev␈α␈ery
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαelemen␈α␈t␈αλof␈↓ αo␈ελS␈↓ β
␈εαdealt␈α	with␈αλby␈αλthe␈αλalgorithm␈αλcan␈α	be␈αλexpressed␈αλas␈αλa␈αλdeterminan␈α␈t␈αλwhose
␈ββV␈↓ ↓H␈εαen␈α␈tries␈α
are␈α
the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
of␈α
the␈α
primitiv␈α␈e␈α
parts␈α
of␈α
the␈αoriginal␈α
polynomials.␈α∂A
␈β∧↓␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ell-kno␈α␈wn␈αtheorem␈αof␈αHadamard␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α15)␈αstates␈αthat
␈β∧[␈↓ ε∧␈ε↓Y␈↓ πλ␈ε↓X␈↓ λ≤␈ε¬1/␈α↓2
␈β∧d␈↓ εX␈ε↓∩␈↓ λε␈ε↓∪
␈β∧x␈↓ πm␈ε¬2
␈β∧}␈↓ ∧#␈ε⊗j␈↓ ∧3␈εαdet␈↓ ∧e␈εα(␈↓ ∧q␈ελa␈↓ ¬≠␈εα)␈ε⊗j␈α
∀␈↓ π[␈ελa␈↓ λG␈εα;␈↓ 
p␈εα(25)
␈β¬␈↓ ¬α␈εi␈↓ ¬
␈εj
␈β¬⊂␈↓ πm␈εi␈↓ πy␈εj
␈β¬/␈↓ ¬i␈ε¬1␈ε→∀␈↓ ε∀␈εi␈↓ ε∨␈ε→∀␈↓ ε<␈εn␈↓ εn␈ε¬1␈ε→∀␈↓ π→␈εj␈↓ π&␈ε→∀␈↓ πC␈εn
␈βε⊃␈↓ ↓H␈εαtherefore␈αan␈αupper␈αbound␈αfor␈αthe␈αmaxim␈α␈um␈αcoe}cien␈α␈t␈αappearing␈αin␈αthe␈αpolyno-
␈βε<␈↓ ↓H␈εαmials␈αcomputed␈αby␈αAlgorithm␈αC␈αis
␈βπ∀␈↓ ∧v␈εm␈↓ ¬⊂␈ε¬+␈↓ ¬-␈εn␈↓ ε<␈εn␈↓ εN␈ε¬/␈α↓2␈↓ π←␈εm␈↓ πy␈ε¬/2
␈βπ~␈↓ ∧U␈ελN␈↓ ¬?␈εα(␈↓ ¬K␈ελm␈↓ ¬r␈εα+␈αλ1␈↓ ε0␈εα)␈↓ εk␈εα(␈↓ εw␈ελn␈↓ π∃␈εα+␈αλ1␈↓ πS␈εα)␈↓ λ⊗␈εα,␈↓ 
p␈εα(26)
␈βπx␈↓ ↓H␈εαif␈α
all␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
of␈α
the␈αgiv␈α␈en␈α
polynomials␈↓ εS␈ελu␈↓ εi␈εα(␈↓ εu␈ελx␈↓ πλ␈εα)␈α
and␈↓ πb␈ελv␈↓ πu␈εα(␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ∀␈εα)␈α
are␈α
bounded␈α
by␈↓ 
&␈ελN␈↓ 
R␈εαin␈α
ab-
␈βλ#␈↓ ↓H␈εαsolute␈α	value.␈αThis␈α
same␈α	upper␈α
bound␈α	applies␈α
to␈α	the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α	of␈α
all␈α	polynomials
␈βλN␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈αand␈↓ αZ␈ελv␈↓ αm␈εα(␈↓ αy␈ελx␈↓ β␈εα)␈αcomputed␈αduring␈αthe␈α
ex␈α␈ecution␈αof␈αAlgorithm␈αE␈↓ 	
␈εα,␈αsince␈αthe␈αpolyno-
␈βλy␈↓ ↓H␈εαmials␈α
obtained␈α
in␈α
Algorithm␈α
E␈α
are␈α
always␈α
divisors␈αof␈α
the␈α
polynomials␈α
obtained
␈β	%␈↓ ↓H␈εαin␈αAlgorithm␈αC.
␈β	R␈↓ α␈εαThis␈α∞upper␈α∂bound␈α∞on␈α∞the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∂is␈α∞extremely␈α∞gratifying,␈α∂because␈α∞it␈α∞is
␈β	}␈↓ ↓H␈εαm␈α␈uch␈α
better␈αthan␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ould␈αordinarily␈αhav␈α␈e␈α
a␈αrigh␈α␈t␈αto␈αexpect.␈αFor␈α
example,␈αsup-
␈β
)␈↓ ↓H␈εαpose␈αλw␈α␈e␈α	w␈α␈ould␈α	perform␈α	Algorithm␈αλE␈α	or␈α	Algorithm␈α	C␈α	with␈ε∂␈αλno␈εα␈α	correction␈α	in␈α	step␈αλE3
␈β
T␈↓ ↓H␈εαor␈α	C3,␈α	just␈α
replacing␈↓ ∧∂␈ελv␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ∧-␈ελx␈↓ ∧@␈εα)␈α	by␈↓ ¬ε␈ελr␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬5␈εα).␈αThis␈α	is␈α	the␈α	simplest␈α	gcd␈α	algorithm,␈α
and␈α	it␈α	is␈α	the
␈β
␈␈↓ ↓H␈εαone␈αthat␈αtraditionally␈αappears␈αin␈αtextbooks␈αon␈αalgebra␈α(for␈αtheoretical␈αpurposes,
␈β*␈↓ ↓H␈εαnot␈αλin␈α␈tended␈αλfor␈α	practical␈αλcalculations).␈α⊃If␈αλw␈α␈e␈α	suppose␈αλthat␈↓ λV␈ελ∞␈↓ λ{␈εα=␈↓ 	)␈ελ∞␈↓ 	N␈εα=␈↓ 	|␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
0␈εα=␈α
1,␈α	w␈α␈e
␈β8␈↓ λc␈ε¬1␈↓ 	6␈ε¬2
␈βP␈↓ πi␈ε¬3
␈βV␈↓ ↓H␈εα|nd␈α
that␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ ∧r␈ελu␈↓ ¬∃␈εα(␈↓ ¬!␈ελx␈↓ ¬4␈εα)␈αare␈α
bounded␈α
by␈↓ πH␈ελN␈↓ πx␈εα,␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ 
$␈ελu␈↓ 
G␈εα(␈↓ 
S␈ελx␈↓ 
f␈εα)␈α
are
␈βc␈↓ ¬π␈ε¬3␈↓ 
9␈ε¬4
␈β|␈↓ β/␈ε¬7␈↓ ε
␈ε¬7
␈β↓␈↓ ↓H␈εαbounded␈αby␈↓ β
␈ελN␈↓ β=␈εα,␈αthose␈αof␈↓ ∧[␈ελu␈↓ ∧}␈εα(␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬≥␈εα)␈αby␈↓ ¬h␈ελN␈↓ ε→␈εα,␈↓ ε.␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε↑␈εα;␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ 	⊃␈ελu␈↓ 	4␈εα(␈↓ 	@␈ελx␈↓ 	S␈εα)␈αare␈αbounded
␈β∞␈↓ ∧p␈ε¬5␈↓ 	%␈εk
␈β'␈↓ α≡␈εa
␈β,␈↓ ↓H␈εαby␈↓ ↓⎇␈ελN␈↓ α9␈εα,␈α
where␈↓ β9␈ελa␈↓ βd␈εα=␈α2␈↓ ∧&␈ελa␈↓ ∧y␈εα+␈↓ ¬&␈ελa␈↓ ¬p␈εα.␈α∂Th␈α␈us␈α
the␈α
upper␈α
bound,␈α
in␈α
place␈α
of␈α
(25)␈α
for
␈β/␈↓ α,␈ε
k
␈β9␈↓ βJ␈εk␈↓ ∧7␈εk␈↓ ∧E␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬6␈εk␈↓ ¬E␈ε→␈␈ε¬2
␈βW␈↓ ↓H␈ελm␈↓ ↓q␈εα=␈↓ α∨␈ελn␈↓ α=␈εα+␈αλ1,␈αw␈α␈ould␈αbe␈αappro␈α␈ximately
␈β
,␈↓ ε{␈ε
n
␈β
/␈↓ ε↓␈ε¬0␈α↓.5(2.4␈α↓14␈↓ εq␈ε¬)
␈β
5␈↓ ¬`␈ελN␈↓ π
␈εα,␈↓ 
p␈εα(26)
␈β∞∪␈↓ ↓H␈εαand␈α
experimen␈α␈ts␈αsho␈α␈w␈α
that␈αthe␈α
simple␈αalgorithm␈α
does␈αin␈α
fact␈α
hav␈α␈e␈αthis␈α
behavior;
␈β∞>␈↓ ↓H␈εαthe␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊃of␈α⊃digits␈α⊃in␈α⊃the␈α⊃coe}cien␈α␈ts␈α⊃gro␈α␈ws␈α⊂exponen␈α␈tially␈α⊃at␈α⊃each␈α⊃step!␈α~In
␈β∞i␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α
E,␈α
by␈α∞con␈α␈trast,␈α
the␈α∞gro␈α␈wth␈α
in␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
digits␈α
is␈α∞only␈α
sligh␈α␈tly␈α
more
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εαthan␈αlinear␈αat␈αmost.
␈β∂B␈↓ α␈εαAnother␈αλbyproduct␈α	of␈αλour␈α	proof␈αλof␈α	Algorithm␈αλC␈α	is␈αλthe␈α	fact␈αλthat␈α	the␈αλdegrees␈αλof
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαthe␈αλpolynomials␈α	will␈αλalmost␈αλalways␈α	decrease␈αλby␈α	1␈αλat␈α	each␈αλstep,␈α	so␈α	that␈αλthe␈αλn␈α␈um␈α␈ber
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαof␈α
iterations␈α∞of␈α∞step␈α∞C2␈α∞(or␈α
E2)␈α∞will␈α∞usually␈α∞be␈α∞deg(␈↓ λ␈ελv␈↓ λ∩␈εα)␈α∞if␈α∞the␈α∞giv␈α␈en␈α
polynomials
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαare␈α
\random."␈αIn␈αorder␈αto␈αsee␈α
wh␈α␈y␈αthis␈αhappens,␈αnote␈αfor␈αexample␈αthat␈αw␈α␈e␈α
could
␈β⊂j␈↓ πJ␈ε→0
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈αchosen␈α
the␈α|rst␈α
eigh␈α␈t␈α
columns␈αof␈↓ ε,␈ελM␈↓ ε↑␈εαand␈↓ π$␈ελM␈↓ π↑␈εαin␈α(16)␈α
and␈α
(17),␈αand␈α
then␈αw␈α␈e
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ould␈α
hav␈α␈e␈αfound␈αthat␈↓ ∧5␈ελu␈↓ ∧X␈εα(␈↓ ∧d␈ελx␈↓ ∧v␈εα)␈αhas␈αdegree␈α
less␈αthan␈α3␈αif␈α
and␈αonly␈αif␈↓ 	@␈ελd␈↓ 	i␈εα=␈α
0,␈αthat␈α
is,
␈β⊃(␈↓ ∧I␈ε¬4␈↓ 	P␈ε¬3
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα403
␈βα(␈↓ ↓H␈εαif␈αand␈αonly␈αif
␈βα2␈↓ ∧R␈ε↓0␈↓ πn␈ε↓1
␈βαC␈↓ ∧p␈ελa␈↓ ¬!␈ελa␈↓ ¬S␈ελa␈↓ ε∧␈ελa␈↓ ε5␈ελa␈↓ εf␈ελa␈↓ π↔␈ελa␈↓ πI␈ελa
␈βαP␈↓ ¬↓␈ε¬8␈↓ ¬2␈ε¬7␈↓ ¬c␈ε¬6␈↓ ε∃␈ε¬5␈↓ εF␈ε¬4␈↓ εw␈ε¬3␈↓ π(␈ε¬2␈↓ πY␈ε¬1
␈βαn␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬!␈ελa␈↓ ¬S␈ελa␈↓ ε∧␈ελa␈↓ ε5␈ελa␈↓ εf␈ελa␈↓ π↔␈ελa␈↓ πI␈ελa
␈βαr␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈βα{␈↓ ¬2␈ε¬8␈↓ ¬c␈ε¬7␈↓ ε∃␈ε¬6␈↓ εF␈ε¬5␈↓ εw␈ε¬4␈↓ π(␈ε¬3␈↓ πY␈ε¬2
␈ββλ␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈ββ→␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬(␈εα0␈↓ ¬S␈ελa␈↓ ε∧␈ελa␈↓ ε5␈ελa␈↓ εf␈ελa␈↓ π↔␈ελa␈↓ πI␈ελa
␈ββ≡␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈ββ'␈↓ ¬c␈ε¬8␈↓ ε∃␈ε¬7␈↓ εF␈ε¬6␈↓ εw␈ε¬5␈↓ π(␈ε¬4␈↓ πY␈ε¬3
␈ββ3␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈ββD␈↓ ∧r␈ελb␈↓ ¬#␈ελb␈↓ ¬U␈ελb␈↓ εε␈ελb␈↓ ε7␈ελb␈↓ εh␈ελb␈↓ π→␈ελb␈↓ πO␈εα0
␈ββI␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈ββR␈↓ ∧␈␈ε¬6␈↓ ¬0␈ε¬5␈↓ ¬b␈ε¬4␈↓ ε∪␈ε¬3␈↓ εD␈ε¬2␈↓ εu␈ε¬1␈↓ π&␈ε¬0
␈ββ↑␈↓ ∧~␈εαdet␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C␈↓ λ⊂␈εα=␈α
0.
␈ββp␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬#␈ελb␈↓ ¬U␈ελb␈↓ εε␈ελb␈↓ ε7␈ελb␈↓ εh␈ελb␈↓ π→␈ελb␈↓ πJ␈ελb
␈ββt␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈ββ⎇␈↓ ¬0␈ε¬6␈↓ ¬b␈ε¬5␈↓ ε∪␈ε¬4␈↓ εD␈ε¬3␈↓ εu␈ε¬2␈↓ π&␈ε¬1␈↓ πW␈ε¬0
␈β∧
␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈β∧≠␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬(␈εα0␈↓ ¬U␈ελb␈↓ εε␈ελb␈↓ ε7␈ελb␈↓ εh␈ελb␈↓ π→␈ελb␈↓ πJ␈ελb
␈β∧∨␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ πn␈ε↓C
␈β∧(␈↓ ¬b␈ε¬6␈↓ ε∪␈ε¬5␈↓ εD␈ε¬4␈↓ εu␈ε¬3␈↓ π&␈ε¬2␈↓ πW␈ε¬1
␈β∧5␈↓ ∧R␈ε↓@␈↓ πn␈ε↓A
␈β∧F␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬(␈εα0␈↓ ¬Y␈εα0␈↓ εε␈ελb␈↓ ε7␈ελb␈↓ εh␈ελb␈↓ π→␈ελb␈↓ πJ␈ελb
␈β∧S␈↓ ε∪␈ε¬6␈↓ εD␈ε¬5␈↓ εu␈ε¬4␈↓ π&␈ε¬3␈↓ πW␈ε¬2
␈β∧q␈↓ ∧w␈εα0␈↓ ¬(␈εα0␈↓ ¬Y␈εα0␈↓ ε
␈εα0␈↓ ε7␈ελb␈↓ εh␈ελb␈↓ π→␈ελb␈↓ πJ␈ελb
␈β∧␈␈↓ εD␈ε¬6␈↓ εu␈ε¬5␈↓ π&␈ε¬4␈↓ πW␈ε¬3
␈β¬,␈↓ ↓H␈εαIn␈α
general,␈↓ αv␈ελ∞␈↓ β~␈εαwill␈α
be␈αgreater␈α
than␈α
1␈α
for␈↓ ε'␈ελj␈↓ εA␈εα>␈α
1␈α
if␈α
and␈α
only␈α
if␈α
a␈α
similar␈α
determinan␈α␈t
␈β¬9␈↓ ββ␈εj
␈β¬W␈↓ ↓H␈εαin␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ ∧␈ελu␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ∧-␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈αand␈↓ ¬≤␈ελv␈↓ ¬.␈εα(␈↓ ¬:␈ελx␈↓ ¬M␈εα)␈αis␈αzero.␈αSince␈αsuch␈αa␈αdeterminan␈α␈t␈αis␈αa␈αnonzero
␈βεα␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultivariate␈α
polynomial␈α
in␈α
the␈α∞coe}cien␈α␈ts,␈α
it␈α
will␈α∞be␈α
nonzero␈α
\almost␈α
always,"
␈βε.␈↓ ↓H␈εαor␈α\with␈αprobability␈α
1."␈α~(See␈αex␈α␈ercise␈α
16␈αfor␈αa␈α
more␈αprecise␈α
form␈α␈ulation␈αof␈αthis
␈βεY␈↓ ↓H␈εαstatemen␈α␈t,␈αand␈αsee␈α
ex␈α␈ercise␈α4␈αfor␈αa␈α
related␈αproof.)␈α~The␈αexample␈αpolynomials␈αin
␈βπ∧␈↓ ↓H␈εα(15)␈αhav␈α␈e␈αboth␈↓ β9␈ελ∞␈↓ β`␈εαand␈↓ ∧&␈ελ∞␈↓ ∧M␈εαequal␈αto␈α2,␈αso␈αthey␈αare␈αex␈α␈ceptional␈αindeed.
␈βπ⊃␈↓ βF␈ε¬2␈↓ ∧3␈ε¬3
␈βπ/␈↓ α␈εαThe␈α⊂considerations␈α∂abo␈α␈v␈α␈e␈α⊂can␈α∂be␈α⊂used␈α⊂to␈α∂deriv␈α␈e␈α⊂the␈α∂w␈α␈ell-kno␈α␈wn␈α⊂fact␈α∂that
␈βπZ␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈αpolynomials␈αare␈α
relativ␈α␈ely␈αprime␈α
if␈αand␈αonly␈α
if␈αtheir␈α
\resultan␈α␈t"␈αis␈αnonzero;
␈βλε␈↓ ↓H␈εαthe␈α∞resultan␈α␈t␈α∂is␈α∂a␈α∂determinan␈α␈t␈α∂having␈α∂the␈α∞form␈α∂of␈α∂ro␈α␈ws␈↓ λM␈ελA␈↓ 	↓␈εαthrough␈↓ 
␈ελA␈↓ 
@␈εαand␈↓ 	␈ελB
␈βλ⊃␈↓ ∧&␈ε↓␈
␈βλ∪␈↓ λd␈ε¬5␈↓ 
#␈ε¬0␈↓ ≡␈ε¬7
␈βλ1␈↓ ↓H␈εαthrough␈↓ αK␈ελB␈↓ αv␈εαin␈απTable␈απ1.␈↓ ∧4␈εαThis␈απis␈απ\Sylv␈α␈ester's␈αλdeterminan␈α␈t";␈α	see␈απex␈α␈ercise␈απ12.␈α
Further
␈βλ>␈↓ α`␈ε¬0
␈βλ\␈↓ ↓H␈εαproperties␈α	of␈α
resultan␈α␈ts␈α	are␈α	discussed␈α
in␈α	B.␈α
L.␈α	van␈α
der␈α	Waerden,␈ε∂␈α
Modern␈α	Algebra␈εα,
␈βλh␈↓ λR␈ε↓↓
␈β	π␈↓ ↓H␈εαtr.␈απby␈αλFred␈απBlum␈αλ(New␈απYork:␈α
Ungar,␈α	1949),␈αλSections␈αλ27↑28.␈↓ λn␈εαFrom␈αλthe␈απstandpoin␈α␈t
␈β	2␈↓ ↓H␈εαdiscussed␈αλabo␈α␈v␈α␈e,␈αλw␈α␈e␈αλcould␈αλsay␈αλthat␈αλthe␈αλgcd␈απis␈αλ\almost␈αλalways"␈αλof␈αλdegree␈αλzero,␈αλsince
␈β	↑␈↓ ↓H␈εαSylv␈α␈ester's␈αdeterminan␈α␈t␈αis␈αalmost␈αnev␈α␈er␈αzero.␈αBut␈αman␈α␈y␈αcalculations␈αof␈αpractical
␈β
	␈↓ ↓H␈εαin␈α␈terest␈α
w␈α␈ould␈α
nev␈α␈er␈αbe␈α
undertak␈α␈en␈α
if␈αthere␈α
w␈α␈eren't␈α
some␈αreasonable␈α
chance␈α
that
␈β
4␈↓ ↓H␈εαthe␈αgcd␈αw␈α␈ould␈αbe␈αa␈αpolynomial␈αof␈αpositiv␈α␈e␈αdegree.
␈β
←␈↓ α␈εαWe␈αcan␈αsee␈α
exactly␈αwhat␈αhappens␈αduring␈αAlgorithms␈α
E␈αand␈αC␈αwhen␈αthe␈α
gcd
␈β
␈↓ ↓H␈εαis␈α⊂not␈α⊂1␈α⊂by␈α⊂considering␈↓ ∧N␈ελu␈↓ ∧d␈εα(␈↓ ∧p␈ελx␈↓ ¬α␈εα)␈α⊃=␈↓ ¬T␈ελw␈↓ ¬o␈εα(␈↓ ¬{␈ελx␈↓ ε
␈εα)␈↓ ε→␈ελu␈↓ ε<␈εα(␈↓ εH␈ελx␈↓ ε[␈εα)␈α⊂and␈↓ πA␈ελv␈↓ πT␈εα(␈↓ π`␈ελx␈↓ πs␈εα)␈α⊃=␈↓ λD␈ελw␈↓ λ←␈εα(␈↓ λk␈ελx␈↓ λ}␈εα)␈↓ 	
␈ελu␈↓ 	-␈εα(␈↓ 	9␈ελx␈↓ 	L␈εα),␈α⊃where␈↓ 
←␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β_␈↓ ε.␈ε¬1␈↓ 	≡␈ε¬2␈↓ 
s␈ε¬1
␈β6␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α⊃␈ελu␈↓ α4␈εα(␈↓ α@␈ελx␈↓ αR␈εα)␈α∂are␈α∂relativ␈α␈ely␈α∂prime␈α∂and␈↓ ε␈ελw␈↓ ε≠␈εα(␈↓ ε'␈ελx␈↓ ε:␈εα)␈α∂is␈α∂primitiv␈α␈e.␈α∃Then␈α∂if␈α∞the␈α∂polynomials
␈βC␈↓ α%␈ε¬2
␈βa␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓k␈εα(␈↓ ↓w␈ελx␈↓ α	␈εα),␈↓ α)␈ελu␈↓ αL␈εα(␈↓ αX␈ελx␈↓ αk␈εα),␈↓ β␈ελu␈↓ β.␈εα(␈↓ β:␈ελx␈↓ βL␈εα),␈↓ βl␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧∨␈εαare␈α
obtained␈α	when␈α	Algorithm␈α	E␈α
w␈α␈orks␈α	on␈↓ 	#␈ελu␈↓ 	9␈εα(␈↓ 	E␈ελx␈↓ 	W␈εα)␈α
=␈↓ 
≠␈ελu␈↓ 
>␈εα(␈↓ 
J␈ελx␈↓ 
]␈εα)␈α	and
␈βn␈↓ ↓\␈ε¬1␈↓ α>␈ε¬2␈↓ β∨␈ε¬3␈↓ 
0␈ε¬1
␈β␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα)␈α
=␈↓ α=␈ελu␈↓ α`␈εα(␈↓ αl␈ελx␈↓ α␈␈εα),␈αit␈αis␈αeasy␈αto␈αsho␈α␈w␈αthat␈αthe␈αsequence␈αobtained␈αfor␈↓ 	!␈ελu␈↓ 	6␈εα(␈↓ 	B␈ελx␈↓ 	U␈εα)␈α
=␈↓ 
→␈ελw␈↓ 
4␈εα(␈↓ 
@␈ελx␈↓ 
S␈εα)␈↓ 
←␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β→␈↓ αR␈ε¬2␈↓ 
s␈ε¬1
␈β7␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∂␈ελv␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα)␈α=␈↓ βλ␈ελw␈↓ β"␈εα(␈↓ β.␈ελx␈↓ βA␈εα)␈↓ βM␈ελu␈↓ βp␈εα(␈↓ β|␈ελx␈↓ ∧∂␈εα)␈α
is␈α
simply␈↓ ¬B␈ελw␈↓ ¬]␈εα(␈↓ ¬i␈ελx␈↓ ¬|␈εα)␈↓ ελ␈ελu␈↓ ε+␈εα(␈↓ ε7␈ελx␈↓ εI␈εα),␈↓ εm␈ελw␈↓ ππ␈εα(␈↓ π∪␈ελx␈↓ π&␈εα)␈↓ π2␈ελu␈↓ πU␈εα(␈↓ πa␈ελx␈↓ πt␈εα),␈↓ λ↔␈ελw␈↓ λ2␈εα(␈↓ λ>␈ελx␈↓ λQ␈εα)␈↓ λ]␈ελu␈↓ 	␈εα(␈↓ 	␈ελx␈↓ 	∨␈εα),␈↓ 	B␈ελw␈↓ 	]␈εα(␈↓ 	i␈ελx␈↓ 	{␈εα)␈↓ 
π␈ελu␈↓ 
*␈εα(␈↓ 
6␈ελx␈↓ 
I␈εα),␈↓ 
l␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ "␈εα.
␈βE␈↓ βb␈ε¬2␈↓ ε≤␈ε¬1␈↓ πG␈ε¬2␈↓ λq␈ε¬3␈↓ 
≤␈ε¬4
␈βb␈↓ ↓H␈εαWith␈α	Algorithm␈α	C␈α	the␈α	behavior␈α	is␈α	di{eren␈α␈t;␈α
if␈α	the␈α	polynomials␈↓ 	∩␈ελu␈↓ 	5␈εα(␈↓ 	A␈ελx␈↓ 	T␈εα),␈↓ 	s␈ελu␈↓ 
⊗␈εα(␈↓ 
"␈ελx␈↓ 
5␈εα),␈↓ 
U␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈βp␈↓ 	'␈ε¬1␈↓ 
λ␈ε¬2␈↓ 
i␈ε¬3
␈β
∞␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓⎇␈εαare␈αobtained␈αwhen␈αAlgorithm␈αC␈αis␈αapplied␈αto␈↓ πH␈ελu␈↓ π↑␈εα(␈↓ πj␈ελx␈↓ π⎇␈εα)␈α
=␈↓ λA␈ελu␈↓ λd␈εα(␈↓ λp␈ελx␈↓ 	α␈εα)␈αand␈↓ 	←␈ελv␈↓ 	r␈εα(␈↓ 	}␈ελx␈↓ 
⊃␈εα)␈α
=␈↓ 
U␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈β
≠␈↓ λU␈ε¬1␈↓ 
i␈ε¬2
␈β
9␈↓ ↓H␈εαand␈α∞if␈α∂w␈α␈e␈α∂assume␈α∞that␈α∂deg(␈↓ ∧}␈ελu␈↓ ¬K␈εα)␈α∞=␈↓ ε_␈εαdeg␈↓ εN␈εα(␈↓ εZ␈ελu␈↓ ε|␈εα)␈ε⊗␈α	␈␈εα␈α
1␈α∂(which␈α∞is␈α∂almost␈α∂always␈α∞true
␈β
F␈↓ ¬∪␈εj␈↓ ¬ ␈ε¬+1␈↓ εn␈εj
␈β
d␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α&␈ελj␈↓ α@␈εα>␈α
1),␈αthen␈αthe␈αsequence
␈β∞3␈↓ ¬1␈ε¬2␈↓ ε|␈ε¬4␈↓ λG␈ε¬6
␈β∞9␈↓ αG␈ελw␈↓ αb␈εα(␈↓ αn␈ελx␈↓ β↓␈εα)␈↓ β
␈ελu␈↓ β0␈εα(␈↓ β<␈ελx␈↓ βO␈εα),␈↓ βu␈ελw␈↓ ∧⊂␈εα(␈↓ ∧≤␈ελx␈↓ ∧.␈εα)␈↓ ∧:␈ελu␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ∧i␈ελx␈↓ ∧|␈εα),␈↓ ¬"␈ελ#␈↓ ¬@␈ελw␈↓ ¬Z␈εα(␈↓ ¬f␈ελx␈↓ ¬y␈εα)␈↓ ε¬␈ελu␈↓ ε(␈εα(␈↓ ε4␈ελx␈↓ εG␈εα),␈↓ εm␈ελ#␈↓ π
␈ελw␈↓ π%␈εα(␈↓ π1␈ελx␈↓ πD␈εα)␈↓ πP␈ελu␈↓ πs␈εα(␈↓ π␈␈ελx␈↓ λ∩␈εα),␈↓ λ8␈ελ#␈↓ λU␈ελw␈↓ λp␈εα(␈↓ λ|␈ελx␈↓ 	∂␈εα)␈↓ 	≠␈ελu␈↓ 	>␈εα(␈↓ 	J␈ελx␈↓ 	]␈εα),␈↓ 
β␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
p␈εα(27)
␈β∞G␈↓ β"␈ε¬1␈↓ ∧O␈ε¬2␈↓ ε~␈ε¬3␈↓ πe␈ε¬4␈↓ 	/␈ε¬5
␈β∂∞␈↓ ↓H␈εαis␈α∩obtained␈α∪when␈α∪Algorithm␈α∩C␈α∪is␈α∩applied␈α∪to␈↓ π5␈ελu␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ πi␈εα)␈α∃=␈↓ λC␈ελw␈↓ λ↑␈εα(␈↓ λj␈ελx␈↓ λ⎇␈εα)␈↓ 		␈ελu␈↓ 	,␈εα(␈↓ 	8␈ελx␈↓ 	K␈εα)␈α∩and␈↓ 
6␈ελv␈↓ 
I␈εα(␈↓ 
U␈ελx␈↓ 
g␈εα)␈α∃=
␈β∂≤␈↓ 	≥␈ε¬1
␈β∂:␈↓ ↓H␈ελw␈↓ ↓b␈εα(␈↓ ↓n␈ελx␈↓ α↓␈εα)␈↓ α
␈ελu␈↓ α0␈εα(␈↓ α<␈ελx␈↓ αO␈εα),␈αwhere␈↓ βY␈ελ#␈↓ βs␈εα=␈↓ ∧!␈ελ#␈↓ ∧0␈εα(␈↓ ∧<␈ελw␈↓ ∧W␈εα).␈α~(See␈αex␈α␈ercise␈α13.)␈α~So␈αAlgorithm␈αE␈αmay␈αbe␈αsuperior
␈β∂G␈↓ α"␈ε¬2
␈β∂e␈↓ ↓H␈εαto␈α
Algorithm␈α∞C␈α∞when␈α∞the␈α∞primitiv␈α␈e␈α∞part␈α
of␈α∞the␈α∞greatest␈α∞common␈α∞divisor␈α∞has␈α
a
␈β⊂⊂␈↓ ↓H␈εαlarge␈αenough␈αleading␈αcoe}cien␈α␈t.
␈β⊂F␈↓ α␈εαPolynomials␈α	remainder␈αλsequences␈α	such␈αλas␈α	those␈αλin␈α	Algorithm␈αλC␈α	and␈αλE␈α	are␈αλnot
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαuseful␈αmerely␈α
for␈α
|nding␈α
greatest␈α
common␈α
divisors;␈α
another␈α
importan␈α␈t␈αapplica-
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαtion␈αλis␈α	to␈α	the␈α	en␈α␈umeration␈α	of␈α	real␈αλroots,␈α
for␈α	a␈αλgiv␈α␈en␈α	polynomial␈α	in␈α	a␈α	giv␈α␈en␈αλin␈α␈terval,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα404␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα&␈↓ ↓H␈εαaccording␈α
to␈α
the␈α
famous␈α
theorem␈α
of␈αJ.␈α
Sturm␈α
[␈ε∂M␈↓ π6␈ε∂∞␈↓ π7␈ε∂e␈↓ πG␈ε∂m.␈α
pr␈↓ λ~␈ε∂∞␈↓ λ≠␈ε∂e␈↓ λ+␈ε∂sen␈α␈tes␈α
par␈α
div␈α␈ers␈α
savan␈α␈ts
␈βαQ␈↓ ↓H␈ε∩6␈εα␈α	(Paris,␈α
1835),␈α
271↑318].␈αLet␈↓ ¬⊗␈ελu␈↓ ¬+␈εα(␈↓ ¬7␈ελx␈↓ ¬J␈εα)␈α
be␈α	a␈α
polynomial␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α	real␈α	n␈α␈um␈α␈bers,␈α
having
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαdistinct␈α
roots.␈α∩We␈α∞shall␈α∞see␈α
in␈α∞the␈α∞next␈α∞section␈α∞that␈α
this␈α∞is␈α∞the␈α∞same␈α∞as␈α
saying
␈ββλ␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ β$␈ε↓↓
␈ββ#␈↓ αr␈ε→0␈↓ ¬_␈ε→0
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελu␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα),␈↓ α\␈ελu␈↓ αy␈εα(␈↓ β¬␈ελx␈↓ β_␈εα)␈↓ β>␈εα=␈α
1,␈α∞where␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬>␈εα)␈α
is␈α∞the␈α
derivativ␈α␈e␈α∞of␈↓ λ∩␈ελu␈↓ λ(␈εα(␈↓ λ4␈ελx␈↓ λG␈εα);␈α∞accordingly,␈α∞there␈α
is
␈ββN␈↓ 
p␈ε→0
␈ββS␈↓ ↓H␈εαa␈α
polynomial␈α
remainder␈α
sequence␈α
pro␈α␈ving␈α
that␈↓ π4␈ελu␈↓ πJ␈εα(␈↓ πV␈ελx␈↓ πi␈εα)␈α
is␈α
relativ␈α␈ely␈α
prime␈α
to␈↓ 
[␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα).
␈ββy␈↓ ¬6␈ε→0
␈ββ}␈↓ ↓H␈εαWe␈αset␈↓ α?␈ελu␈↓ αb␈εα(␈↓ αn␈ελx␈↓ β␈εα)␈α
=␈↓ βD␈ελu␈↓ βZ␈εα(␈↓ βf␈ελx␈↓ βy␈εα),␈↓ ∧≠␈ελu␈↓ ∧>␈εα(␈↓ ∧J␈ελx␈↓ ∧\␈εα)␈α
=␈↓ ¬ ␈ελu␈↓ ¬=␈εα(␈↓ ¬I␈ελx␈↓ ¬\␈εα),␈αand␈α(follo␈α␈wing␈αSturm)␈αw␈α␈e␈αnegate␈αthe␈αsign␈αof
␈β∧␈↓ αS␈ε¬0␈↓ ∧/␈ε¬1
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαall␈αremainders:
␈β∧S␈↓ ∧J␈ελc␈↓ ∧e␈ελu␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈↓ ¬=␈εα=␈↓ ¬k␈ελu␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε-␈εα)␈↓ ε9␈ελq␈↓ εT␈εα(␈↓ ε`␈ελx␈↓ εs␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π3␈ελd␈↓ πR␈ελu␈↓ πu␈εα(␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ∀␈εα),
␈β∧a␈↓ ∧W␈ε¬1␈↓ ∧z␈ε¬0␈↓ ε␈ε¬1␈↓ εF␈ε¬1␈↓ πD␈ε¬1␈↓ πg␈ε¬2
␈β¬	␈↓ ∧J␈ελc␈↓ ∧e␈ελu␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈↓ ¬=␈εα=␈↓ ¬k␈ελu␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε-␈εα)␈↓ ε9␈ελq␈↓ εT␈εα(␈↓ ε`␈ελx␈↓ εs␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π3␈ελd␈↓ πR␈ελu␈↓ πu␈εα(␈↓ λ↓␈ελx␈↓ λ∀␈εα),
␈β¬↔␈↓ ∧W␈ε¬2␈↓ ∧z␈ε¬1␈↓ ε␈ε¬2␈↓ εF␈ε¬2␈↓ πD␈ε¬2␈↓ πg␈ε¬3
␈β¬+␈↓ 
p␈εα(28)
␈β¬/␈↓ ¬O␈εα.
␈β¬>␈↓ ¬O␈εα.
␈β¬L␈↓ ¬O␈εα.
␈βεα␈↓ ∧≡␈ελc␈↓ ∧:␈ελu␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈↓ ¬=␈εα=␈↓ ¬k␈ελu␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε-␈εα)␈↓ ε9␈ελq␈↓ εT␈εα(␈↓ ε`␈ελx␈↓ εs␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π3␈ελd␈↓ πS␈ελu␈↓ λ!␈εα(␈↓ λ-␈ελx␈↓ λ@␈εα),
␈βε∂␈↓ ∧+␈εk␈↓ ∧O␈εk␈↓ ∧]␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ε␈εk␈↓ εF␈εk␈↓ πD␈εk␈↓ πg␈εk␈↓ πv␈ε¬+␈α␈1
␈βεO␈↓ ↓H␈εαfor␈α∞some␈α∞positiv␈α␈e␈α∂constan␈α␈ts␈↓ ¬π␈ελc␈↓ ¬0␈εαand␈↓ ¬x␈ελd␈↓ ε⊗␈εα,␈α∂where␈α∂deg(␈↓ π\␈ελu␈↓ λ*␈εα)␈α∞=␈α∞0.␈α∪We␈α∂say␈α∞that␈α∞the
␈βε]␈↓ ¬∀␈εj␈↓ ε	␈εj␈↓ πp␈εk␈↓ π␈␈ε¬+1
␈βε{␈↓ ↓H␈ε∂variation␈↓ αd␈ελV␈↓ α}␈εα(␈↓ β
␈ελu␈↓ β∨␈εα,␈↓ β/␈ελa␈↓ βA␈εα)␈α∞of␈↓ ∧π␈ελu␈↓ ∧≥␈εα(␈↓ ∧)␈ελx␈↓ ∧;␈εα)␈α∞at␈↓ ¬β␈ελa␈↓ ¬#␈εαis␈α∞the␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α∞changes␈α∞of␈α∞sign␈α∞in␈α∞the␈α
sequence
␈βπ&␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓k␈εα(␈↓ ↓w␈ελa␈↓ αλ␈εα),␈↓ α.␈ελu␈↓ αQ␈εα(␈↓ α]␈ελa␈↓ αn␈εα),␈↓ β∀␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βD␈εα,␈↓ β]␈ελu␈↓ ∧+␈εα(␈↓ ∧7␈ελa␈↓ ∧I␈εα),␈α∂not␈α∞coun␈α␈ting␈α∂zeros.␈α∪For␈α∂example,␈α∂if␈α∞the␈α∂sequence␈α∞of
␈βπ3␈↓ ↓\␈ε¬0␈↓ αB␈ε¬1␈↓ βq␈εk␈↓ ∧␈ε¬+1
␈βπQ␈↓ ↓H␈εαsigns␈αis␈α0,␈α+,␈ε⊗␈α␈␈εα,␈ε⊗␈α␈␈εα,␈α0,␈α+,␈α+,␈ε⊗␈α␈␈εα␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈↓ εj␈ελV␈↓ π∧␈εα(␈↓ π⊂␈ελu␈↓ π&␈εα,␈↓ π6␈ελa␈↓ πH␈εα)␈α
=␈α
3.␈αSturm's␈αtheorem␈αasserts
␈βπ|␈↓ ↓H␈εαthat␈ε∂␈αthe␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
roots␈αof␈↓ ¬λ␈ελu␈↓ ¬≡␈εα(␈↓ ¬*␈ελx␈↓ ¬=␈εα)␈ε∂␈αin␈α
the␈α
in␈α␈terval␈↓ πE␈ελa␈↓ πb␈εα<␈↓ λ⊃␈ελx␈↓ λ/␈ε⊗∀␈↓ λ↑␈ελb␈↓ λy␈ε∂is␈↓ 	≡␈ελV␈↓ 	8␈εα(␈↓ 	D␈ελu␈↓ 	Z␈εα,␈↓ 	j␈ελa␈↓ 	{␈εα)␈ε⊗␈α	␈␈↓ 
<␈ελV␈↓ 
V␈εα(␈↓ 
b␈ελu␈↓ 
x␈εα,␈↓ λ␈ελb␈↓ ⊗␈εα);
␈βλ'␈↓ ↓H␈εαand␈αthe␈αproof␈αis␈αsurprisingly␈αshort␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α22).
␈βλm␈↓ α␈εαAlthough␈α
Algorithms␈αC␈α
and␈α
E␈αare␈α
in␈α␈teresting,␈α
they␈αaren't␈α
the␈α
whole␈αstory.
␈β	_␈↓ ↓H␈εαImportan␈α␈t␈απalternativ␈α␈e␈αλways␈απto␈αλcalculate␈αλpolynomial␈απgcd's␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλthe␈απin␈α␈tegers␈αλare␈απdis-
␈β	C␈↓ ↓H␈εαcussed␈α	at␈α	the␈α
end␈α	of␈α	Section␈α
4.6.2.␈αThere␈α	is␈α	also␈α
a␈α	general␈α	determinan␈α␈t-evaluation
␈β	n␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈αthat␈α
may␈α
be␈α
said␈α
to␈α
include␈αAlgorithm␈α
C␈α
as␈α
a␈α
special␈α
case;␈α
see␈α
E.␈αH.
␈β
→␈↓ ↓H␈εαBareiss,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α22␈εα␈α(1968),␈α565↑578.
␈βH␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β)␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	10␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Com␈α␈pu␈α␈te␈α
the␈αpseu␈α␈do␈α␈-quo␈α␈tien␈α␈t␈↓ ε≥␈ε	q␈↓ ε,␈εβ(␈↓ ε7␈ε	x␈↓ εH␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α
p␈α␈seud␈α␈o-rem␈α␈aind␈α␈er␈↓ 	1␈ε	r␈↓ 	@␈εβ(␈↓ 	K␈ε	x␈↓ 	\␈εβ),␈α∞n␈α␈amely␈α␈,␈α∞the
␈βM␈↓ ε&␈εε6␈↓ εq␈εε5␈↓ π=␈εε4␈↓ λ→␈εε3␈↓ λu␈εε2
␈βQ␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α
sa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing␈α
(8␈α␈),␈αwhe␈α␈n␈↓ ¬%␈ε	u␈↓ ¬9␈εβ(␈↓ ¬D␈ε	x␈↓ ¬V␈εβ)␈α	=␈↓ ε∀␈ε	x␈↓ ε9␈εβ+␈↓ ε`␈ε	x␈↓ π∧␈ε↔␈␈↓ π+␈ε	x␈↓ πP␈εβ+␈αε2␈↓ λλ␈ε	x␈↓ λ,␈εβ+␈αε3␈↓ λd␈ε	x␈↓ 	λ␈ε↔␈␈↓ 	/␈ε	x␈↓ 	G␈εβ+␈αε2␈α
an␈α␈d␈↓ 
I␈ε	v␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βu␈↓ ↓j␈εε3␈↓ αH␈εε2
␈βy␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	x␈↓ ↓}␈εβ+␈απ2␈↓ α7␈ε	x␈↓ α\␈ε↔␈␈↓ β¬␈ε	x␈↓ β≡␈εβ+␈αλ3␈α␈,␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers.
␈β
6␈↓ π>␈εε6␈↓ λλ␈εε5␈↓ λb␈εε4␈↓ 	<␈εε3␈↓ 
⊗␈εε2
␈β
:␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	15␈↓ α;␈εβ]␈α⊗What␈α	is␈α	the␈α	grea␈α␈test␈α	com␈α␈mon␈α	d␈α␈ivisor␈α	of␈α	3␈↓ π-␈ε	x␈↓ πP␈εβ+␈↓ πv␈ε	x␈↓ λ→␈εβ+␈αε4␈↓ λQ␈ε	x␈↓ λt␈εβ+␈α¬4␈↓ 	+␈ε	x␈↓ 	N␈εβ+␈α¬3␈↓ 
¬␈ε	x␈↓ 
(␈εβ+␈α¬4␈↓ 
←␈ε	x␈↓ 
u␈εβ+␈αε2
␈β
↑␈↓ βj␈εε6␈↓ ∧I␈εε5␈↓ ¬'␈εε4␈↓ εε␈εε3␈↓ εe␈εε2
␈β
b␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
i␈α↓ts␈α\␈α␈rev␈α␈e␈α␈rse"␈α2␈↓ βY␈ε	x␈↓ β}␈εβ+␈αλ4␈↓ ∧7␈ε	x␈↓ ∧]␈εβ+␈απ3␈↓ ¬⊗␈ε	x␈↓ ¬;␈εβ+␈αλ4␈↓ ¬u␈ε	x␈↓ ε~␈εβ+␈αλ4␈↓ εS␈ε	x␈↓ εy␈εβ+␈↓ π!␈ε	x␈↓ π:␈εβ+␈αλ3,␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
7?
␈β∞∨␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞#␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αλth␈α␈at␈αλEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈αλalgorith␈α␈m␈αλfor␈αλp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αλo␈α}v␈α␈er␈αλa␈απ|eld␈↓ 	)␈ε	S␈↓ 	F␈εβca␈α␈n␈αλb␈α␈e␈αλex␈α␈tend␈α␈ed
␈β∞K␈↓ ↓H␈εβto␈α
|n␈α␈d␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ βl␈ε	U␈↓ ∧π␈εβ(␈↓ ∧∩␈ε	x␈↓ ∧$␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ ∧{␈ε	V␈↓ ¬∩␈εβ(␈↓ ¬≥␈ε	x␈↓ ¬/␈εβ)␈αo␈α␈v␈α}er␈↓ ε
␈ε	S␈↓ ε-␈εβsu␈α␈ch␈αt␈α␈hat
␈β∂"␈↓ π.␈εα(␈↓ λ=␈εα)
␈β∂%␈↓ ∧!␈ε	u␈↓ ∧6␈εβ(␈↓ ∧A␈ε	x␈↓ ∧R␈εβ)␈↓ ∧]␈ε	V␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬⊃␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬M␈ε	U␈↓ ¬h␈εβ(␈↓ ¬s␈ε	x␈↓ ε∧␈εβ)␈↓ ε∂␈ε	v␈↓ ε!␈εβ(␈↓ ε,␈ε	x␈↓ ε=␈εβ)␈α
=␈↓ ε|␈εβgcd␈↓ π:␈ε	u␈↓ πN␈εβ(␈↓ πY␈ε	x␈↓ πk␈εβ),␈↓ λ∧␈ε	v␈↓ λ⊗␈εβ(␈↓ λ!␈ε	x␈↓ λ2␈εβ)␈↓ λI␈εβ.
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβ(Cf.␈αλAlgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈αλ4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈X.␈α↓)␈α⊃Wh␈α␈at␈αλare␈απthe␈απdeg␈α␈rees␈αλo␈α␈f␈α	t␈α␈he␈αλp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ λl␈ε	U␈↓ 	π␈εβ(␈↓ 	∩␈ε	x␈↓ 	#␈εβ)␈αλan␈α␈d␈↓ 	t␈ε	V␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
↔␈ε	x␈↓ 
(␈εβ)␈αλtha␈α␈t␈αλare
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uted␈α
b␈α␈y␈αt␈α␈his␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈α
alg␈α␈orithm?␈α
P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αt␈α␈hat␈α
i␈α↓f␈↓ πF␈ε	S␈↓ πe␈εβi␈α↓s␈α
the␈α
|eld␈α
of␈αr␈α␈ation␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,
␈β⊂K␈↓ β!␈εm␈↓ ¬1␈εn
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αεi␈α↓f␈↓ α ␈ε	u␈↓ α4␈εβ(␈↓ α?␈ε	x␈↓ αQ␈εβ)␈α	=␈↓ β∂␈ε	x␈↓ β:␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈απa␈α␈nd␈↓ ∧2␈ε	v␈↓ ∧D␈εβ(␈↓ ∧O␈ε	x␈↓ ∧`␈εβ)␈α
=␈↓ ¬∨␈ε	x␈↓ ¬C␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈α␈,␈αλthen␈αεthe␈απex␈α␈ten␈α␈ded␈αεalgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈απyield␈α␈s␈αλp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈β⊂r␈↓ 
→␈εε2␈α␈1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈α
a␈α␈nd␈↓ αR␈ε	V␈↓ αj␈εβ(␈↓ αu␈ε	x␈↓ βπ␈εβ)␈α	h␈α␈avin␈α␈g␈ε⊂␈α	in␈α␈teg␈α␈er␈εβ␈α	coe␈α␈}cien␈α␈ts.␈α
Fi␈α↓n␈α␈d␈↓ εp␈ε	U␈↓ π␈εβ(␈↓ π⊗␈ε	x␈↓ π(␈εβ)␈α	a␈α␈nd␈↓ π{␈ε	V␈↓ λ∩␈εβ(␈↓ λ≥␈ε	x␈↓ λ/␈εβ)␈α	whe␈α␈n␈↓ 	_␈ε	u␈↓ 	,␈εβ(␈↓ 	7␈ε	x␈↓ 	I␈εβ)␈α	=␈↓ 
π␈ε	x␈↓ 
7␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α	a␈α␈nd
␈β⊃~␈↓ αF␈εε1␈α␈3
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α
=␈↓ α4␈ε	x␈↓ αf␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα405
␈βα&␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β2␈ε	p␈↓ βL␈εβbe␈α	p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e,␈α
an␈α␈d␈α	su␈α␈pp␈α␈ose␈α	th␈α␈at␈α	E␈α↓u␈α␈clid's␈α	algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α	ap␈α␈plied␈α	to␈α	th␈α␈e␈α	po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈-
␈βαR␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ α≤␈ε	u␈↓ α0␈εβ(␈↓ α;␈ε	x␈↓ αL␈εβ)␈α	a␈α␈nd␈↓ β≡␈ε	v␈↓ β/␈εβ(␈↓ β:␈ε	x␈↓ βL␈εβ)␈αλmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧S␈ε	p␈↓ ∧l␈εβy␈α␈i␈α↓e␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈αλa␈αλsequ␈α␈enc␈α␈e␈α	o␈α␈f␈α	p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αλh␈α␈avin␈α␈g␈αλresp␈α␈ectiv␈α␈e␈αλd␈α␈egree␈α␈s
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈εβ,␈↓ ↓v␈ε	n␈↓ α
␈εβ,␈↓ α~␈ε	n␈↓ α:␈εβ,␈↓ αK␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αw␈εβ,␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β%␈εβ,␈ε↔␈αλ␈1␈εβ,␈αλwh␈α␈ere␈↓ ∧e␈ε	m␈↓ ¬␈εβ=␈↓ ¬6␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬h␈εβ(␈↓ ¬s␈ε	u␈↓ επ␈εβ),␈↓ ε#␈ε	n␈↓ ε@␈εβ=␈↓ εj␈εβdeg␈↓ π≤␈εβ(␈↓ π'␈ε	v␈↓ π9␈εβ),␈αλa␈α␈nd␈↓ λ⊃␈ε	n␈↓ λ7␈ε↔∃␈εβ␈α	0.␈α
Assu␈α␈me␈αεthat␈↓ 
>␈ε	m␈↓ 
e␈ε↔∃␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈ββ∧␈↓ α.␈εε1␈↓ β≠␈εt␈↓ λ$␈εt
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβIf␈↓ ↓e␈ε	u␈↓ ↓y␈εβ(␈↓ α∧␈ε	x␈↓ α⊗␈εβ)␈απan␈α␈d␈↓ αe␈ε	v␈↓ αw␈εβ(␈↓ βα␈ε	x␈↓ β∪␈εβ)␈αλa␈α␈re␈αλm␈α␈onic␈απpo␈α␈lyn␈α␈omials,␈αλi␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}tly␈απan␈α␈d␈απun␈α␈i␈α↓fo␈α␈rmly␈απdistribu␈α␈ted␈απo␈α␈v␈α}er␈απall
␈ββD␈↓ α⊃␈εm␈↓ α(␈εε+␈↓ αB␈εn
␈ββI␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ α␈ε	p␈↓ α\␈εβpa␈α␈i␈α↓rs␈α
o␈α␈f␈αmo␈α␈nic␈α
po␈α␈lyn␈α␈omials␈α
ha␈α␈ving␈α
r␈α␈espec␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
de␈α␈grees␈↓ λf␈ε	m␈↓ 	
␈εβand␈↓ 	M␈ε	n␈↓ 	a␈εβ,␈αwha␈α␈t␈αa␈α␈re␈α
the
␈ββp␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α	v␈α␈alues␈α	o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α	thre␈α␈e␈α	qua␈α␈n␈α␈tities␈↓ ¬i␈ε	t␈↓ ¬u␈εβ,␈↓ ελ␈ε	n␈↓ ε,␈εβ+␈↓ εS␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ε}␈εβ+␈↓ π%␈ε	n␈↓ πA␈εβ,␈α
(␈↓ π←␈ε	n␈↓ πx␈ε↔␈␈↓ λ≡␈ε	n␈↓ λ>␈εβ)␈↓ λI␈ε	n␈↓ λn␈εβ+␈↓ 	∀␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	@␈εβ+␈α¬(␈↓ 	q␈ε	n␈↓ 
8␈ε↔␈␈↓ 
←␈ε	n␈↓ 
{␈εβ)␈↓ ε␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈ββ{␈↓ ε≠␈εε1␈↓ π8␈εt␈↓ λ1␈εε1␈↓ λ\␈εε1␈↓ 
∧␈εt␈↓ 
∞␈ε~␈␈εε1␈↓ 
r␈εt␈↓ ~␈εt
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α∞fun␈α␈ction␈α␈s␈α∞o␈α␈f␈↓ β/␈ε	m␈↓ βL␈εβ,␈↓ β[␈ε	n␈↓ βo␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈↓ ∧J␈ε	p␈↓ ∧[␈εβ?␈α≡(These␈α
thre␈α␈e␈α∞qu␈α␈an␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈α∞are␈α
the␈α
fun␈α␈da␈α␈men␈α}tal␈α∞fact␈α␈ors␈α∞in
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∂run␈α␈nin␈α␈g␈α⊂t␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈α⊂o␈α␈f␈α⊂Eu␈α␈cl␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈α∂alg␈α␈orithm␈α∂a␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α∂to␈α∂p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α∂mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	⎇␈ε	p␈↓ 
∞␈εβ,␈α⊂assu␈α␈ming
␈β∧g␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
division␈α
is␈α
don␈α␈e␈α
by␈α
Algorith␈α␈m␈α∞D␈α␈.␈α↓)␈α≡[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α⊂Sh␈α␈o␈α␈w␈α∞t␈α␈hat␈↓ λ.␈ε	u␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈ε	x␈↓ λ←␈εβ)␈↓ λo␈εβmod␈↓ 	4␈ε	v␈↓ 	E␈εβ(␈↓ 	P␈ε	x␈↓ 	b␈εβ)␈α
is␈α∞u␈α␈niformly
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβd␈α␈istribu␈α␈ted␈αa␈α␈nd␈αin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t␈αof␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬2␈ε	x␈↓ ¬C␈εβ).]
␈β¬I␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈α∂is␈α∂the␈α∂p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α∞that␈↓ ε6␈ε	u␈↓ εJ␈εβ(␈↓ εU␈ε	x␈↓ εf␈εβ)␈α∂an␈α␈d␈↓ πE␈ε	v␈↓ πV␈εβ(␈↓ πa␈ε	x␈↓ πs␈εβ)␈α∂a␈α␈re␈α∂relativ␈α}ely␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α∂mod␈α␈ulo
␈β¬p␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ,␈αif␈↓ α∞␈ε	u␈↓ α"␈εβ(␈↓ α-␈ε	x␈↓ α?␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ β↔␈ε	v␈↓ β)␈εβ(␈↓ β4␈ε	x␈↓ βE␈εβ)␈αare␈αin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}tl␈α↓y␈αan␈α␈d␈αu␈α␈nifor␈α␈mly␈αd␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈αmo␈α␈nic␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αo␈α␈f
␈βε_␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e␈↓ α/␈ε	n␈↓ αC␈εβ?
␈βεR␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗We␈αhav␈α}e␈α
s␈α␈een␈αtha␈α␈t␈α
Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α
Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α4.5.2A␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
in␈α␈t␈α␈egers␈αcan␈αb␈α␈e␈αdirectly
␈βεz␈↓ ↓H␈εβa␈α␈da␈α␈pted␈α¬to␈αεa␈α␈n␈αεa␈α␈lgorith␈α␈m␈αεfor␈αεth␈α␈e␈αεg␈α␈reatest␈α¬comm␈α␈on␈α¬diviso␈α␈r␈αεof␈αεp␈α␈olyn␈α␈omials.␈α	Can␈α¬the␈α¬\bin␈α␈ary
␈βπ!␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈α∞a␈α␈lgorith␈α␈m,"␈α∂Algo␈α␈rithm␈α∞4␈α␈.␈α↓5␈α␈.2B␈↓ ¬9␈εβ,␈α∂be␈α
ada␈α␈pte␈α␈d␈α∞in␈α∞a␈α␈n␈α∞a␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈α∞way␈α
to␈α∞a␈α␈n␈α∞a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈βπI␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ies␈αto␈α
poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls?
␈βλβ␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M10␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αλare␈αλth␈α␈e␈αλu␈α␈nits␈αλin␈αλth␈α␈e␈αλdo␈α␈main␈αλo␈α␈f␈αλall␈α	p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αλo␈α}v␈α␈er␈αλa␈απun␈α␈i␈α↓q␈α␈ue␈αλfa␈α␈ctoriza␈α␈-
␈βλ+␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈n␈αdo␈α␈main␈↓ βα␈ε	S␈↓ β↔␈εβ?
␈βλa␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλe␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈α
if␈α
a␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈α
with␈αin␈α␈teg␈α␈er␈α
c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α
is␈αi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈α
o␈α}v␈α␈er␈αthe
␈β	
␈↓ ↓H␈εβd␈α␈oma␈α␈in␈αof␈αin␈α}tegers,␈αit␈αis␈αi␈α↓rr␈α␈edu␈α␈cible␈αwh␈α␈en␈αc␈α␈onsid␈α␈ered␈αas␈αa␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈α|␈α␈eld␈αo␈α␈f
␈β	4␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α}bers.
␈β	o␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β9␈ε	u␈↓ βM␈εβ(␈↓ βX␈ε	x␈↓ βi␈εβ)␈α⊃a␈α␈nd␈↓ ∧J␈ε	v␈↓ ∧\␈εβ(␈↓ ∧g␈ε	x␈↓ ∧x␈εβ)␈α⊂be␈α⊂p␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈α⊂po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α⊂o␈α␈v␈α}er␈α⊂a␈α⊂u␈α␈niqu␈α␈e␈α⊂facto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈β
⊗␈↓ ↓H␈εβd␈α␈oma␈α␈in␈↓ α?␈ε	S␈↓ αS␈εβ.␈α∞Pro␈α␈v␈α}e␈αth␈α␈at␈↓ ∧⊂␈ε	u␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈ε	x␈↓ ∧@␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ ¬_␈ε	v␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈ε	x␈↓ ¬F␈εβ)␈αare␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αif␈αan␈α␈d␈αo␈α␈nly␈αi␈α↓f␈αthere␈αare␈αpoly␈α␈-
␈β
>␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈↓ αA␈ε	U␈↓ α\␈εβ(␈↓ αg␈ε	x␈↓ αy␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ βO␈ε	V␈↓ βg␈εβ(␈↓ βr␈ε	x␈↓ ∧β␈εβ)␈αo␈α}v␈α␈er␈↓ ∧`␈ε	S␈↓ ∧␈␈εβsuch␈α
th␈α␈at␈↓ ε∩␈ε	u␈↓ ε&␈εβ(␈↓ ε1␈ε	x␈↓ εC␈εβ)␈↓ εN␈ε	V␈↓ εf␈εβ(␈↓ εq␈ε	x␈↓ πα␈εβ)␈απ+␈↓ π<␈ε	U␈↓ πW␈εβ(␈↓ πb␈ε	x␈↓ πt␈εβ)␈↓ π␈␈ε	v␈↓ λ⊂␈εβ(␈↓ λ≠␈ε	x␈↓ λ,␈εβ)␈αis␈αa␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αo␈α␈f␈αd␈α␈egree
␈β
e␈↓ ↓H␈εβz␈α␈ero.␈α→[␈ε⊂␈α↓Hin␈α}t:␈εβ␈αEx␈α␈tend␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈α
E␈↓ ¬-␈εβ,␈αas␈αAlgo␈α␈rithm␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈E␈αi␈α↓s␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈α
in␈αex␈α}ercise␈α3.]
␈β ␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	M28␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈απt␈α␈hat␈αεth␈α␈e␈αεpoly␈α␈no␈α␈mials␈απo␈α}v␈α␈er␈αεa␈αεu␈α␈niqu␈α␈e␈αεf␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈αεd␈α␈oma␈α␈i␈α↓n␈αεfo␈α␈rm␈αεa␈αεun␈α␈ique
␈βG␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αdo␈α␈main.␈α~[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αUse␈αth␈α␈e␈αre␈α␈sult␈αof␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α9␈αto␈αhe␈α␈l␈α↓p␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αth␈α␈ere␈αis␈αa␈α␈t
␈βo␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈αon␈α␈e␈αkin␈α␈d␈αof␈αfac␈α␈torizatio␈α␈n␈αpo␈α␈ssible.]
␈β)␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈α	ro␈α␈w␈α	n␈α␈am␈α␈es␈α	w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αλh␈α␈av␈α␈e␈αλap␈α␈pea␈α␈red␈αλi␈α↓n␈αλTab␈α␈le␈α	1␈α	if␈α	th␈α␈e␈α	seq␈α␈ue␈α␈nce␈αλof␈α	d␈α␈egree␈α␈s
␈βQ␈↓ ↓H␈εβh␈α␈ad␈α
bee␈α␈n␈α9,␈α6,␈α5,␈α2,␈ε↔␈α␈1␈εβ␈αins␈α␈tead␈α
of␈α8,␈α6,␈α4,␈α2,␈α1,␈α0?
␈β
π␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β4␈ε	u␈↓ βT␈εβ(␈↓ β←␈ε	x␈↓ βp␈εβ),␈↓ ∧∂␈ε	u␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈ε	x␈↓ ∧L␈εβ),␈↓ ∧k␈ε	u␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ¬⊗␈ε	x␈↓ ¬'␈εβ),␈↓ ¬G␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬y␈εβb␈α␈e␈αa␈αseq␈α␈ue␈α␈nce␈αo␈α␈f␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈αobta␈α␈ined␈α
du␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αa
␈β
⊗␈↓ βG␈εε1␈↓ ∧#␈εε2␈↓ ∧}␈εε3
␈β
3␈↓ ↓H␈εβru␈α␈n␈αλof␈α	Algorith␈α␈m␈α	C.␈α∪\S␈α␈ylv␈α␈e␈α␈ster's␈α	mat␈α␈ri␈α↓x␈α␈"␈α	is␈α	th␈α␈e␈α	sq␈α␈ua␈α␈re␈α	ma␈α␈tri␈α↓x␈αλform␈α␈ed␈αλf␈α↓ro␈α␈m␈α	ro␈α}ws␈↓ 
V␈ε	A
␈β
=␈↓ 
k␈εn␈↓ π␈ε~␈␈εε1
␈β
E␈↓ 
{␈επ2
␈β
Z␈↓ ↓H␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ αF␈ε	A␈↓ αt␈εβand␈↓ β6␈ε	B␈↓ ∧↔␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ ¬⊗␈ε	B␈↓ ¬B␈εβ(in␈αa␈αn␈α␈ota␈α␈tion␈αa␈α␈nalo␈α␈gou␈α␈s␈αto␈αth␈α␈at␈αof␈αTab␈α␈l␈α↓e␈α1).␈α∂S␈α␈ho␈α}w
␈β
e␈↓ α\␈εε0␈↓ βJ␈εn␈↓ βe␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬)␈εε0
␈β
m␈↓ βZ␈επ1
␈β∞α␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αif␈↓ α/␈ε	u␈↓ αO␈εβ(␈↓ αZ␈ε	x␈↓ αk␈εβ)␈αand␈↓ βB␈ε	u␈↓ βb␈εβ(␈↓ βm␈ε	x␈↓ β}␈εβ)␈αh␈α␈av␈α}e␈αa␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αfac␈α␈tor␈αof␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αd␈α␈egree␈α␈,␈αth␈α␈en␈α
the␈αd␈α␈etermin␈α␈an␈α}t
␈β∞␈↓ αB␈εε1␈↓ βU␈εε2
␈β∞)␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αSy␈α␈lv␈α␈ester's␈αm␈α␈atrix␈α
i␈α↓s␈αz␈α␈ero;␈αco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rsely,␈αgiv␈α}en␈αth␈α␈at␈α
deg␈α␈(␈↓ πx␈ε	u␈↓ λ_␈εβ)␈α	=␈α
0␈α
for␈αso␈α␈me␈↓ 	y␈ε	k␈↓ 
	␈εβ,␈αsho␈α}w␈αtha␈α␈t
␈β∞4␈↓ λ␈εk
␈β∞Q␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
det␈α␈ermina␈α␈n␈α␈t␈α
of␈α
Sy␈α␈l␈α↓v␈α}ester's␈α
matr␈α␈i␈α↓x␈α
is␈α
no␈α␈nze␈α␈ro␈α
by␈α
d␈α␈erivin␈α␈g␈α
a␈α
form␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
fo␈α␈r␈αits␈α
ab␈α␈solute
␈β∞y␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α
i␈α↓n␈α
terms␈αo␈α␈f␈↓ βK␈ε	#␈↓ βX␈εβ(␈↓ βd␈ε	u␈↓ ∧β␈εβ)␈αan␈α␈d␈αd␈α␈eg(␈↓ ¬↔␈ε	u␈↓ ¬6␈εβ),␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ ε~␈ε	j␈↓ ε2␈ε↔∀␈↓ ε]␈ε	k␈↓ εm␈εβ.
␈β∂β␈↓ βw␈εj␈↓ ¬*␈εj
␈β∂0␈↓ 
⊃␈εα(␈↓  ␈εα)
␈β∂3␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αlead␈α␈ing␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈t␈↓ εb␈ε	#␈↓ ε|␈εβof␈αth␈α␈e␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α}e␈αpa␈α␈rt␈αof␈↓ 	←␈εβgcd␈↓ 
≥␈ε	u␈↓ 
1␈εβ(␈↓ 
<␈ε	x␈↓ 
N␈εβ),␈↓ 
g␈ε	v␈↓ 
y␈εβ(␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∃␈εβ)
␈β∂Z␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈ters␈α	in␈α␈to␈α	Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α
C's␈α	poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce␈α	as␈α
s␈α␈ho␈α␈wn␈α	in␈α	(27),␈α
wh␈α␈en␈↓ 	B␈ε	∞␈↓ 	d␈εβ=␈↓ 
∂␈ε	∞␈↓ 
0␈εβ=␈↓ 
[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈εβ=
␈β∂e␈↓ 	N␈εε1␈↓ 
≠␈εε2
␈β⊂α␈↓ ↓H␈ε	∞␈↓ α⊂␈εβ=␈α	1.␈αW␈α↓h␈α␈at␈αis␈αthe␈αb␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r␈αfo␈α␈r␈αgen␈α␈eral␈↓ εF␈ε	∞␈↓ ε↑␈εβ?
␈β⊂
␈↓ ↓T␈εk␈↓ ↓a␈ε~␈␈εε1␈↓ εR␈εj
␈β⊂<␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M29␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β/␈ε	r␈↓ β>␈εβ(␈↓ βI␈ε	x␈↓ βZ␈εβ)␈αεbe␈αεth␈α␈e␈αεpse␈α␈ud␈α␈o-rema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈αεof␈↓ εp␈ε	u␈↓ π∧␈εβ(␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π!␈εβ)␈αεpse␈α␈ud␈α␈o-div␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αεb␈α␈y␈↓ 	>␈ε	v␈↓ 	O␈εβ(␈↓ 	Z␈ε	x␈↓ 	l␈εβ).␈α	If␈↓ 
&␈εβd␈α␈eg␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	u␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	∃
␈β⊂d␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	v␈↓ α⊗␈εβ)␈αλ+␈απ2␈αan␈α␈d␈↓ β.␈εβd␈α␈eg␈↓ β`␈εβ(␈↓ βk␈ε	v␈↓ β|␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈↓ ∧;␈εβde␈α␈g␈↓ ∧m␈εβ(␈↓ ∧x␈ε	r␈↓ ¬π␈εβ)␈απ+␈αλ2,␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈↓ π↓␈ε	r␈↓ π⊂␈εβ(␈↓ π≠␈ε	x␈↓ π,␈εβ)␈αis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αof␈↓ 	)␈ε	#␈↓ 	7␈εβ(␈↓ 	B␈ε	v␈↓ 	S␈εβ).
␈β⊃~␈↓ 
?␈εT
␈β⊃≡␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M26␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αHada␈α␈mard␈α␈'s␈αi␈α↓n␈α␈equ␈α␈ality␈α(2␈α␈5).␈α~[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈αCon␈α␈sider␈αth␈α␈e␈αma␈α␈tri␈α↓x␈↓ 
∩␈ε	A␈↓ 
(␈ε	A␈↓ 
Q␈εβ.]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα406␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈22␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βL␈ε	f␈↓ β[␈εβ(␈↓ βg␈ε	x␈↓ ∧β␈εβ,␈↓ ∧⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧>␈εβ,␈↓ ∧M␈ε	x␈↓ ∧l␈εβ)␈α∞b␈α␈e␈α∞a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tiv␈α␈ariate␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α∞with␈α
real␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
no␈α␈t
␈βα5␈↓ βv␈εε1␈↓ ∧\␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αze␈α␈ro,␈αand␈αlet␈↓ β:␈ε	a␈↓ βm␈εβbe␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αsolution␈α␈s␈αto␈αth␈α␈e␈αeq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ λm␈ε	f␈↓ λ|␈εβ(␈↓ 	λ␈ε	x␈↓ 	$␈εβ,␈↓ 	2␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	←␈εβ,␈↓ 	n␈ε	x␈↓ 

␈εβ)␈α=␈α0␈αsu␈α␈ch
␈βα\␈↓ βI␈εN␈↓ 	↔␈εε1␈↓ 	⎇␈εn
␈βαy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈ε↔␈αj␈↓ α→␈ε	x␈↓ α5␈ε↔j␈α
∀␈↓ αr␈ε	N␈↓ β⊃␈εβ,␈↓ β%␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βR␈εβ,␈ε↔␈αj␈↓ βo␈ε	x␈↓ ∧∂␈ε↔j␈α
∀␈↓ ∧L␈ε	N␈↓ ∧k␈εβ,␈αan␈α␈d␈αsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈αeac␈α␈h␈↓ π ␈ε	x␈↓ πG␈εβis␈αa␈α␈n␈αin␈α␈teg␈α␈er.␈αP␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at
␈ββ∧␈↓ α(␈εε1␈↓ β␈␈εn␈↓ π/␈εj
␈ββE␈↓ π∩␈εn
␈ββK␈↓ ¬∩␈εβlim␈↓ ¬T␈ε	a␈↓ ¬{␈εβ/(2␈↓ ε'␈ε	N␈↓ εN␈εβ+␈απ1␈↓ ππ␈εβ)␈↓ π,␈εβ=␈α	0.
␈ββU␈↓ ¬c␈εN
␈ββk␈↓ ¬∧␈εN␈↓ ¬≤␈ε~!1
␈β∧M␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M32␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂P.␈αM.␈αCoh␈α␈n's␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αfor␈αdivision␈αof␈αst␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s.␈εβ)␈α~L␈α↓e␈α␈t␈↓ 
:␈ε	A␈↓ 
\␈εβbe␈αan
␈β∧t␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈alph␈α␈ab␈α␈et,"␈α∞i.e.,␈α∞a␈α
set␈α
o␈α␈f␈α∞sy␈α␈m␈α␈b␈α␈ols.␈α≡A␈ε⊂␈α
strin␈α␈g␈↓ ε[␈ε	␈↓ ε{␈εβo␈α␈n␈↓ π+␈ε	A␈↓ πN␈εβis␈α∞a␈αsequ␈α␈enc␈α␈e␈α
of␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	d␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α
sy␈α␈m␈α␈b␈α␈ols,
␈β¬≤␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓d␈εβ=␈↓ α⊂␈ε	a␈↓ α2␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α↑␈ε	a␈↓ α}␈εβ,␈αwhere␈αeach␈↓ ∧A␈ε	a␈↓ ∧h␈εβi␈α↓s␈αi␈α↓n␈↓ ¬2␈ε	A␈↓ ¬H␈εβ.␈α∞Th␈α␈e␈αleng␈α␈th␈αo␈α␈f␈↓ π2␈ε	␈↓ πD␈εβ,␈α
d␈α␈eno␈α␈ted␈αby␈ε↔␈αj␈↓ 	∩␈ε	␈↓ 	%␈ε↔j␈εβ,␈αi␈α↓s␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈↓ _␈ε	n
␈β¬%␈↓ λ8␈ε↓P
␈β¬&␈↓ α ␈εε1␈↓ αn␈εn␈↓ ∧Q␈εj
␈β¬C␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αsym␈α␈b␈α␈ols.␈α≠A␈ε⊂␈αstri␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈εβ␈α
o␈α␈n␈↓ ¬g␈ε	A␈↓ ε	␈εβis␈αa␈α|n␈α␈ite␈αsum␈↓ πe␈ε	U␈↓ λ␈εβ=␈↓ λp␈ε	r␈↓ 	∂␈ε	␈↓ 	.␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈αeach␈↓ 
q␈ε	r␈↓ ⊗␈εβis
␈β¬N␈↓ λ|␈εk␈↓ 	 ␈εk␈↓ 
⎇␈εk
␈β¬V␈↓ λ↑␈εk
␈β¬k␈↓ ↓H␈εβa␈αn␈α␈onz␈α␈ero␈αration␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
a␈α␈nd␈αea␈α␈ch␈↓ ¬i␈ε	␈↓ ε∃␈εβis␈αa␈α
strin␈α␈g␈α
o␈α␈n␈↓ πd␈ε	A␈↓ π{␈εβ.␈α⊂Th␈α␈e␈ε⊂␈α
d␈α␈egre␈α␈e␈εβ␈α
o␈α␈f␈↓ 	k␈ε	U␈↓ 
ε␈εβ,␈α∞d␈α␈eg(␈↓ 
Z␈ε	U␈↓ 
u␈εβ),␈α
is
␈β¬v␈↓ ¬{␈εk
␈βε∪␈↓ ↓H␈εβd␈α␈e|␈α␈ned␈αto␈αb␈α␈e␈ε↔␈α
␈1␈εβ␈α
if␈↓ ∧∧␈ε	U␈↓ ∧*␈εβ=␈α0␈α(i␈α↓.e.,␈α
if␈α
th␈α␈e␈α
su␈α␈m␈αi␈α↓s␈αemp␈α␈ty␈α␈)␈α↓,␈α
o␈α␈therwise␈↓ 	→␈εβde␈α␈g␈↓ 	K␈εβ(␈↓ 	V␈ε	u␈↓ 	j␈εβ)␈α=␈↓ 
.␈εβm␈α␈ax␈↓ 
r␈ε↔j␈↓ 
{␈ε	␈↓ ~␈ε↔j␈εβ.
␈βε≥␈↓ 
␈εk
␈βε:␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α∞sum␈α∞a␈α␈nd␈α
prod␈α␈uc␈α␈t␈α∞of␈α∞stri␈α↓n␈α␈g␈α∞p␈α␈olyn␈α␈omials␈α∞are␈α∞d␈α␈e|␈α␈ned␈α
i␈α↓n␈α
an␈α∞o␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈us␈α∞ma␈α␈nn␈α␈er,␈α∂e.g.,
␈βεD␈↓ ↓S␈ε↓P␈↓ αV␈ε↓P␈↓ ∧∞␈ε↓P
␈βεb␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ α
␈ε	r␈↓ α"␈ε	␈↓ α@␈εβ)(␈↓ β∂␈ε	s␈↓ β'␈ε	␈␈↓ βE␈εβ)␈α∞=␈↓ ∧Z␈ε	r␈↓ ∧r␈ε	s␈↓ ¬
␈ε	␈↓ ¬(␈ε	␈␈↓ ¬E␈εβ,␈α⊂wh␈α␈ere␈α∞the␈α∞p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈t␈α∂o␈α␈f␈α∂t␈α␈w␈α␈o␈α∞st␈α␈ri␈α↓n␈α␈gs␈α∞is␈α∞obta␈α␈ined␈α
by
␈βεl␈↓ α⊗␈εj␈↓ α4␈εj␈↓ β~␈εk␈↓ β8␈εk␈↓ ∧f␈εj␈↓ ∧⎇␈εk␈↓ ¬≤␈εj␈↓ ¬8␈εk
␈βεt␈↓ ↓y␈εj␈↓ α|␈εk␈↓ ∧4␈εj␈↓ ∧@␈εε,␈↓ ∧G␈εk
␈βπ∞␈↓ ↓H␈εβsimp␈α␈ly␈α
jux␈α␈tap␈α␈osing␈αthem␈α␈.␈α∩For␈α
e␈α␈xam␈α␈ple,␈α∞if␈↓ εB␈ε	A␈↓ εe␈εβ=␈ε↔␈α
f␈↓ π$␈ε	a␈↓ π4␈εβ,␈↓ πC␈ε	b␈↓ πP␈ε↔g␈εβ,␈↓ πx␈ε	U␈↓ λ∨␈εβ=␈↓ λM␈ε	a␈↓ λ↑␈ε	b␈↓ λt␈εβ+␈↓ 	≡␈ε	b␈↓ 	+␈ε	a␈↓ 	D␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈↓ 	␈␈ε	a␈↓ 
_␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈↓ 
S␈ε	b␈↓ 
`␈εβ,␈α∞a␈α␈nd
␈βπ1␈↓ πλ␈εε2
␈βπ5␈↓ ↓H␈ε	V␈↓ ↓i␈εβ=␈↓ α∪␈ε	a␈↓ α*␈εβ+␈↓ αR␈ε	b␈↓ αe␈ε↔␈␈εβ␈απ1,␈α
then␈α
d␈α␈eg(␈↓ ∧:␈ε	U␈↓ ∧U␈εβ)␈α	=␈α
2␈α␈,␈αde␈α␈g(␈↓ ¬u␈ε	V␈↓ ε
␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈,␈↓ εp␈ε	V␈↓ π≡␈εβ=␈↓ πH␈ε	a␈↓ πY␈ε	a␈↓ πp␈εβ+␈↓ λ↔␈ε	a␈↓ λ(␈ε	b␈↓ λ;␈εβ+␈↓ λc␈ε	b␈↓ λp␈ε	a␈↓ 	π␈εβ+␈↓ 	/␈ε	b␈↓ 	<␈ε	b␈↓ 	P␈ε↔␈␈εβ␈αε2␈↓ 
λ␈ε	a␈↓ 
∨␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈↓ 
W␈ε	b␈↓ 
k␈εβ+␈απ1␈α␈,
␈βπY␈↓ α∨␈εε2
␈βπ]␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	V␈↓ α2␈ε↔␈␈↓ αZ␈ε	U␈↓ α␈␈εβ=␈↓ β)␈ε	a␈↓ β:␈ε	a␈↓ βP␈εβ+␈↓ βx␈ε	b␈↓ ∧¬␈ε	b␈↓ ∧→␈εβ+␈απ1␈α␈.␈αCl␈α↓e␈α␈arly,␈↓ ¬e␈εβd␈α␈eg␈↓ ε⊗␈εβ(␈↓ ε"␈ε	U␈↓ ε=␈ε	V␈↓ εU␈εβ)␈α	=␈↓ π∪␈εβdeg␈↓ πE␈εβ(␈↓ πQ␈ε	U␈↓ πl␈εβ)␈αε+␈↓ λ%␈εβd␈α␈eg␈↓ λW␈εβ(␈↓ λb␈ε	V␈↓ λz␈εβ),␈αa␈α␈nd␈↓ 	Y␈εβd␈α␈eg␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
⊗␈ε	U␈↓ 
7␈εβ+␈↓ 
←␈ε	V␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	∀
␈βλ↓␈↓ απ␈εα(␈↓ βe␈εα)
␈βλ∧␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ax␈↓ α∪␈εβd␈α␈eg␈↓ αD␈εβ(␈↓ αP␈ε	U␈↓ αk␈εβ),␈↓ β¬␈εβd␈α␈eg␈↓ β7␈εβ(␈↓ βB␈ε	V␈↓ βZ␈εβ)␈↓ βq␈εβ,␈αwith␈αequ␈α␈ality␈αin␈αthe␈αlatter␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αi␈α↓f␈↓ λ+␈εβdeg␈↓ λ]␈εβ(␈↓ λh␈ε	U␈↓ 	∧␈εβ)␈ε↔␈α
≤␈↓ 	E␈εβd␈α␈eg␈↓ 	w␈εβ(␈↓ 
α␈ε	V␈↓ 
~␈εβ).␈α≠(S␈α␈tring
␈βλ,␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α∞m␈α␈ay␈α∞b␈α␈e␈α∞reg␈α␈ard␈α␈ed␈α∞a␈α␈s␈α∂o␈α␈rdin␈α␈ary␈α∞m␈α}ultiva␈α␈ri␈α↓a␈α␈te␈α∞po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∞o␈α␈v␈α}er␈α∞the␈α∞|␈α␈eld␈α∞o␈α␈f
␈βλT␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈α
ex␈α␈ce␈α␈pt␈α
th␈α␈at␈α
the␈α
v␈α␈ariab␈α␈les␈α
are␈ε⊂␈α
n␈α␈ot␈α
com␈α␈m␈α␈uta␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈εβ␈α
un␈α␈de␈α␈r␈αm␈α}ultiplication␈α␈.
␈βλ{␈↓ ↓H␈εβIn␈αthe␈αcon␈α}v␈α␈en␈α}ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈α
la␈α␈ngu␈α␈ag␈α␈e␈αof␈αp␈α␈ure␈αm␈α␈ath␈α␈ematics,␈αth␈α␈e␈αset␈αof␈αstr␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αwith
␈β	#␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
op␈α␈era␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
d␈α␈e|n␈α␈ed␈αhere␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
\free␈αassoc␈α␈i␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α
alge␈α␈bra␈α␈"␈α
gen␈α␈era␈α␈ted␈α
b␈α␈y␈↓ 
⊃␈ε	A␈↓ 
4␈εβo␈α␈v␈α}er␈α
the
␈β	J␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈ls.␈α↓)
␈β
␈↓ ↓e␈εβa)␈↓ α␈εβLet␈↓ αN␈ε	Q␈↓ αp␈εβ,␈↓ β
␈ε	Q␈↓ β-␈εβ,␈↓ βG␈ε	U␈↓ βb␈εβ,␈↓ β|␈ε	V␈↓ ∧#␈εβbe␈α∂string␈α∂p␈α␈olyn␈α␈omials␈α∂wi␈α↓th␈↓ πE␈εβd␈α␈eg␈↓ πw␈εβ(␈↓ λα␈ε	U␈↓ λ≥␈εβ)␈ε↔␈α⊃∃␈↓ λj␈εβdeg␈↓ 	≤␈εβ(␈↓ 	(␈ε	V␈↓ 	?␈εβ)␈α⊂an␈α␈d␈α∂suc␈α␈h␈α∂tha␈α␈t
␈β

␈↓ αd␈εε1␈↓ β ␈εε2
␈β
'␈↓ α␈εβde␈α␈g␈↓ α>␈εβ(␈↓ αI␈ε	Q␈↓ αl␈ε	U␈↓ β⊂␈ε↔␈␈↓ β:␈ε	Q␈↓ β]␈ε	V␈↓ βu␈εβ)␈α
<␈↓ ∧;␈εβde␈α␈g␈↓ ∧m␈εβ(␈↓ ∧x␈ε	Q␈↓ ¬≠␈ε	U␈↓ ¬6␈εβ).␈α∩Gi␈α↓v␈α}e␈α
an␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
to␈α
|␈α␈nd␈αa␈α
stri␈α↓n␈α␈g␈α
po␈α␈lyn␈α␈omial␈↓ ∀␈ε	Q
␈β
2␈↓ α←␈εε1␈↓ βP␈εε2␈↓ ¬∞␈εε1
␈β
L␈↓ ε;␈εα(
␈β
O␈↓ α␈εβsu␈α␈ch␈α∞tha␈α␈t␈↓ β'␈εβd␈α␈eg␈↓ βY␈εβ(␈↓ βd␈ε	U␈↓ ∧	␈ε↔␈␈↓ ∧4␈ε	Q␈↓ ∧L␈ε	V␈↓ ∧d␈εβ)␈α∂<␈↓ ¬.␈εβde␈α␈g␈↓ ¬`␈εβ(␈↓ ¬k␈ε	U␈↓ εε␈εβ).␈↓ εG␈εβTh␈α}us␈α∞if␈α∂w␈α␈e␈α∂a␈α␈re␈α∂g␈α␈iv␈α␈en␈↓ 	␈ε	U␈↓ 	6␈εβa␈α␈nd␈↓ 	z␈ε	V␈↓ 
 ␈εβsuc␈α␈h␈α∞tha␈α␈t
␈β
v␈↓ α␈ε	Q␈↓ α/␈ε	U␈↓ αX␈εβ=␈↓ βπ␈ε	Q␈↓ β)␈ε	V␈↓ βJ␈εβ+␈ε	␈α
R␈εβ␈α∞a␈α␈nd␈↓ ∧]␈εβde␈α␈g␈↓ ¬∂␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α∞<␈↓ ¬y␈εβde␈α␈g␈↓ ε+␈εβ(␈↓ ε6␈ε	Q␈↓ εY␈ε	U␈↓ εt␈εβ),␈α∂for␈α
some␈↓ λ#␈ε	Q␈↓ λT␈εβa␈α␈nd␈↓ 	↔␈ε	Q␈↓ 	:␈εβ,␈α∂th␈α␈en␈α
the␈α␈re␈α∞is␈α∞a
␈β↓␈↓ α"␈εε1␈↓ β≥␈εε2␈↓ εL␈εε1␈↓ λ9␈εε1␈↓ 	-␈εε2
␈β≠␈↓ εc␈εα)
␈β≡␈↓ α␈εβsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αto␈αt␈α␈hese␈αc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αwith␈↓ ¬s␈ε	Q␈↓ ε∨␈εβ=␈α	1.
␈β)␈↓ ε	␈εε1
␈βF␈↓ ↓c␈εβb)␈↓ α␈εβGiv␈α␈en␈αth␈α␈at␈↓ β9␈ε	U␈↓ βa␈εβan␈α␈d␈↓ ∧#␈ε	V␈↓ ∧H␈εβare␈αstri␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αwi␈α↓th␈↓ πj␈εβd␈α␈eg␈↓ λ≤␈εβ(␈↓ λ'␈ε	V␈↓ λ?␈εβ)␈α>␈↓ 	∧␈εβd␈α␈eg␈↓ 	6␈εβ(␈↓ 	A␈ε	Q␈↓ 	d␈ε	U␈↓ 
π␈ε↔␈␈↓ 
1␈ε	Q␈↓ 
T␈ε	V␈↓ 
l␈εβ)␈α
fo␈α␈r
␈βQ␈↓ 	W␈εε1␈↓ 
G␈εε2
␈βn␈↓ α␈εβsom␈α␈e␈↓ α←␈ε	Q␈↓ β
␈εβan␈α␈d␈↓ βN␈ε	Q␈↓ βq␈εβ,␈αsho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αresult␈αof␈α(a)␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αi␈α↓m␈α␈pro␈α␈v␈α}ed␈αto␈α
|n␈α␈d␈αa␈αqu␈α␈otien␈α}t␈↓ ∀␈ε	Q
␈βy␈↓ αv␈εε1␈↓ βd␈εε2
␈β∪␈↓ π%␈εα(
␈β⊗␈↓ α␈εβsu␈α␈ch␈α
t␈α␈hat␈↓ β#␈ε	U␈↓ βJ␈εβ=␈↓ βx␈ε	Q␈↓ ∧⊂␈ε	V␈↓ ∧0␈εβ+␈ε	␈α	R␈εβ,␈↓ ¬π␈εβdeg␈↓ ¬9␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α
<␈↓ ε ␈εβd␈α␈eg␈↓ εR␈εβ(␈↓ ε]␈ε	V␈↓ εu␈εβ).␈↓ π1␈εβThis␈α
is␈α
th␈α␈e␈α
a␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈g␈α
o␈α␈f␈α
(1)␈α
for␈αstring
␈β=␈↓ α␈εβpo␈α␈lyn␈α␈omials;␈α∞p␈α␈art␈α(a)␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α␈ed␈αtha␈α␈t␈α
w␈α␈e␈α
c␈α␈an␈αmak␈α}e␈↓ πW␈εβd␈α␈eg␈↓ λ	␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α<␈↓ λo␈εβd␈α␈eg␈↓ 	!␈εβ(␈↓ 	,␈ε	U␈↓ 	G␈εβ),␈α∞u␈α␈nd␈α␈er␈α
w␈α␈e␈α␈ak␈α␈e␈α␈r
␈βb␈↓ β3␈εα)
␈βe␈↓ α␈εβh␈α␈y␈α␈po␈α␈thes␈α␈es.
␈β

␈↓ ↓g␈εβc)␈↓ α␈εβA␈αλ\h␈α␈omo␈α␈gen␈α␈eou␈α␈s"␈αλpo␈α␈lyn␈α␈omial␈αλis␈αλone␈αλwh␈α␈ose␈αλte␈α␈rms␈αλall␈αλhav␈α}e␈αλthe␈απsame␈αλd␈α␈egre␈α␈e␈αλ(l␈α↓e␈α␈ngth␈α␈).
␈β
5␈↓ α␈εβIf␈↓ α3␈ε	U␈↓ αU␈εβ,␈↓ αq␈ε	U␈↓ β∪␈εβ,␈↓ β.␈ε	V␈↓ βM␈εβ,␈↓ βi␈ε	V␈↓ ∧→␈εβare␈α⊂hom␈α␈oge␈α␈neo␈α␈us␈α⊃strin␈α␈g␈α⊃po␈α␈lyn␈α␈omials␈α⊃with␈↓ 	≥␈ε	U␈↓ 	>␈ε	V␈↓ 	q␈εβ=␈↓ 
%␈ε	U␈↓ 
G␈ε	V␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β
?␈↓ αH␈εε1␈↓ βε␈εε2␈↓ βA␈εε1␈↓ β|␈εε2␈↓ 	2␈εε1␈↓ 	Q␈εε1␈↓ 
:␈εε2␈↓ 
Y␈εε2
␈β
\␈↓ α␈εβde␈α␈g␈↓ α>␈εβ(␈↓ αI␈ε	V␈↓ αh␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈↓ β/␈εβd␈α␈eg␈↓ βa␈εβ(␈↓ βl␈ε	V␈↓ ∧␈εβ),␈α∂sh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α∞th␈α␈ere␈α
is␈α∞a␈α
ho␈α␈mog␈α␈ene␈α␈ou␈α␈s␈α∞string␈α
p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ 
C␈ε	U␈↓ 
l␈εβsu␈α␈ch
␈β
g␈↓ α\␈εε1␈↓ β␈␈εε2
␈β∞∧␈↓ α␈εβth␈α␈at␈↓ αT␈ε	U␈↓ α␈␈εβ=␈↓ β*␈ε	U␈↓ βL␈ε	U␈↓ βr␈εβan␈α␈d␈↓ ∧3␈ε	V␈↓ ∧[␈εβ=␈↓ ¬ε␈ε	U␈↓ ¬!␈ε	V␈↓ ¬@␈εβ.
␈β∞∞␈↓ αi␈εε2␈↓ β?␈εε1␈↓ ∧E␈εε1␈↓ ¬3␈εε2
␈β∞,␈↓ ↓c␈εβd)␈↓ α␈εβGiv␈α␈en␈αth␈α␈at␈↓ β7␈ε	U␈↓ β↑␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧∨␈ε	V␈↓ ∧B␈εβare␈αh␈α␈om␈α␈ogen␈α␈eou␈α␈s␈αstrin␈α␈g␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈αwi␈α↓th␈↓ 	,␈ε	U␈↓ 	G␈ε	V␈↓ 	i␈εβ=␈↓ 
∃␈ε	V␈↓ 
-␈ε	U␈↓ 
H␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β∞P␈↓ 	v␈εm␈↓ ≤␈εn
␈β∞T␈↓ α␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈ere␈α
i␈α↓s␈α
a␈αh␈α␈om␈α␈ogen␈α␈eo␈α␈us␈αs␈α␈tri␈α↓n␈α␈g␈α
poly␈α␈no␈α␈mial␈↓ π9␈ε	W␈↓ πe␈εβsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈↓ λx␈ε	U␈↓ 	≤␈εβ=␈↓ 	G␈ε	r␈↓ 	U␈ε	W␈↓ 
∞␈εβ,␈↓ 
"␈ε	V␈↓ 
C␈εβ=␈↓ 
m␈ε	s␈↓ 
{␈ε	W
␈β∞{␈↓ α␈εβfor␈αso␈α␈me␈αin␈α␈t␈α␈egers␈↓ ∧⊃␈ε	m␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧C␈ε	n␈↓ ∧c␈εβan␈α␈d␈αra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α␈um␈α}bers␈↓ π'␈ε	r␈↓ π6␈εβ,␈↓ πK␈ε	s␈↓ πY␈εβ.␈α∞Giv␈α␈e␈αan␈αalgorith␈α␈m␈αto␈αcomp␈α␈ute
␈β∂#␈↓ α␈εβsu␈α␈ch␈α
a␈↓ αx␈ε	W␈↓ β'␈εβh␈α␈av␈α␈ing␈α
th␈α␈e␈α∞la␈α␈rgest␈α
po␈α␈ssible␈α
deg␈α␈ree.␈α≡(Th␈α␈is␈α∞a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
is␈α
of␈α
i␈α↓n␈α}terest,␈α∞fo␈α␈r
␈β∂K␈↓ α␈εβex␈α␈amp␈α␈le,␈α⊂wh␈α␈en␈↓ βw␈ε	U␈↓ ∧!␈εβ=␈↓ ∧Q␈ε	␈↓ ∧r␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬6␈ε	V␈↓ ¬\␈εβ=␈↓ ε
␈ε	␈␈↓ ε/␈εβare␈α∞string␈α␈s␈α∂sa␈α␈ti␈α↓sfy␈α␈ing␈↓ λr␈ε	␈↓ 	∧␈ε	␈␈↓ 	'␈εβ=␈↓ 	X␈ε	␈␈↓ 	l␈ε	␈↓ 	}␈εβ;␈α⊃th␈α␈en␈↓ 
g␈ε	W␈↓ ⊗␈εβis
␈β∂n␈↓ ¬l␈εm␈↓ π5␈εn
␈β∂r␈↓ α␈εβsimp␈α␈l␈α↓y␈αa␈α
strin␈α␈g␈↓ βw␈ε	␈
␈↓ ∧	␈εβ.␈α⊃When␈↓ ¬¬␈ε	U␈↓ ¬-␈εβ=␈↓ ¬Z␈ε	x␈↓ ε⊂␈εβa␈α␈nd␈↓ εR␈ε	V␈↓ εv␈εβ=␈↓ π$␈ε	x␈↓ πF␈εβ,␈α
the␈αsolution␈αof␈α
larg␈α␈est␈α
d␈α␈egree␈αis
␈β⊂⊗␈↓ αr␈εεgcd␈↓ β_␈εε(␈↓ β ␈εm␈↓ β8␈εε,␈↓ β?␈εn␈↓ βO␈εε)
␈β⊂~␈↓ α␈ε	W␈↓ α6␈εβ=␈↓ αa␈ε	x␈↓ βW␈εβ,␈αs␈α␈o␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αin␈α␈clud␈α␈es␈αa␈α
gcd␈α
algo␈α␈rithm␈α
for␈αin␈α␈te␈α␈gers␈α
as␈αa␈α
spe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l
␈β⊂A␈↓ α␈εβca␈α␈se.)
␈β⊂s␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊂w␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Euc␈α␈l␈α↓id␈α␈ean␈αλalgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α	for␈αλstri␈α↓n␈α␈g␈α	p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s.␈εβ)␈α∪L␈α↓e␈α␈t␈↓ λM␈ε	V␈↓ λu␈εβand␈↓ 	4␈ε	V␈↓ 	\␈εβbe␈αλstring␈αλpoly␈α␈-
␈β⊃↓␈↓ λ`␈εε1␈↓ 	F␈εε2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s,␈α
n␈α␈ot␈α	b␈α␈oth␈α	ze␈α␈ro,␈α
h␈α␈avin␈α␈g␈α	a␈α	\co␈α␈mmo␈α␈n␈α	left␈α
m␈α}ultiple."␈α∀(This␈α	mean␈α␈s␈α	tha␈α␈t␈α
th␈α␈ere␈α	ex␈α␈i␈α↓s␈α␈t
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π:DIV␈α␈ISION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα407
␈βα*␈↓ ↓H␈εβstr␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ β←␈ε	U␈↓ ∧␈εβand␈↓ ∧L␈ε	U␈↓ ∧n␈εβ,␈αno␈α␈t␈αbo␈α␈th␈αz␈α␈ero,␈αsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ πn␈ε	U␈↓ λ⊂␈ε	V␈↓ λ8␈εβ=␈↓ λc␈ε	U␈↓ 	∧␈ε	V␈↓ 	$␈εβ.)␈α→Th␈α␈e␈αp␈α␈urp␈α␈ose␈αo␈α␈f
␈βα5␈↓ βt␈εε1␈↓ ∧a␈εε2␈↓ λβ␈εε1␈↓ λ"␈εε1␈↓ λx␈εε2␈↓ 	↔␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
i␈α↓s␈αto␈α|␈α␈nd␈α
an␈α
algorith␈α␈m␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αth␈α␈eir␈α\␈α␈grea␈α␈test␈αco␈α␈mmon␈α
righ␈α␈t␈αd␈α␈ivisor"
␈βαy␈↓ ↓H␈εβg␈α␈crd(␈↓ α∩␈ε	V␈↓ α1␈εβ,␈↓ α@␈ε	V␈↓ α←␈εβ)␈αa␈α␈s␈αw␈α␈ell␈αas␈α
their␈α\␈α␈l␈α↓e␈α␈ast␈αc␈α␈ommo␈α␈n␈αleft␈α
m␈α␈ultiple"␈α
lclm(␈↓ λP␈ε	V␈↓ λo␈εβ,␈↓ λ}␈ε	V␈↓ 	≥␈εβ).␈αTh␈α␈e␈αlatte␈α␈r␈αqu␈α␈an␈α␈-
␈ββ∧␈↓ α$␈εε1␈↓ αR␈εε2␈↓ λc␈εε1␈↓ 	⊃␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβtities␈α	are␈αλde|␈α␈ned␈αλas␈α	follo␈α␈ws:␈α∀gcrd␈α␈(␈↓ ¬0␈ε	V␈↓ ¬O␈εβ,␈↓ ¬↑␈ε	V␈↓ ¬⎇␈εβ)␈α
is␈α	a␈α	c␈α␈ommo␈α␈n␈α	righ␈α}t␈α	diviso␈α␈r␈α
o␈α␈f␈↓ 	,␈ε	V␈↓ 	U␈εβa␈α␈nd␈↓ 
∪␈ε	V␈↓ 
<␈εβ(th␈α␈at␈α	is,
␈ββ,␈↓ ¬C␈εε1␈↓ ¬q␈εε2␈↓ 	?␈εε1␈↓ 
&␈εε2
␈ββI␈↓ ↓H␈ε	V␈↓ ↓q␈εβ=␈↓ α≥␈ε	W␈↓ αJ␈εβgcrd␈↓ β	␈εβ(␈↓ β∀␈ε	V␈↓ β4␈εβ,␈↓ βB␈ε	V␈↓ βa␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ ∧:␈ε	V␈↓ ∧c␈εβ=␈↓ ¬∂␈ε	W␈↓ ¬<␈εβgcrd␈↓ ¬{␈εβ(␈↓ εε␈ε	V␈↓ ε&␈εβ,␈↓ ε4␈ε	V␈↓ εS␈εβ)␈αfor␈αso␈α␈me␈↓ πs␈ε	W␈↓ λ'␈εβa␈α␈nd␈↓ λh␈ε	W␈↓ 	⊂␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈αan␈α}y␈αcomm␈α␈on
␈ββS␈↓ ↓Z␈εε1␈↓ α8␈εε1␈↓ β'␈εε1␈↓ βU␈εε2␈↓ ∧L␈εε2␈↓ ¬*␈εε2␈↓ ε→␈εε1␈↓ εG␈εε2␈↓ λ∞␈εε1␈↓ 	∧␈εε2
␈ββp␈↓ ↓H␈εβrig␈α␈h␈α␈t␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈αof␈↓ β/␈ε	V␈↓ βZ␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧≠␈ε	V␈↓ ∧G␈εβis␈αa␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αd␈α␈ivisor␈αo␈α␈f␈αgcrd␈α␈(␈↓ π6␈ε	V␈↓ πV␈εβ,␈↓ πd␈ε	V␈↓ λβ␈εβ)␈α↓;␈αlclm(␈↓ λl␈ε	V␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	~␈ε	V␈↓ 	9␈εβ)␈α=␈↓ 	{␈ε	Z␈↓ 
→␈ε	V␈↓ 
C␈εβ=␈↓ 
o␈ε	Z␈↓ 
␈ε	V
␈ββ{␈↓ βA␈εε1␈↓ ∧.␈εε2␈↓ πI␈εε1␈↓ πw␈εε2␈↓ λ␈␈εε1␈↓ 	-␈εε2␈↓ 

␈εε1␈↓ 
,␈εε1␈↓ ↓␈εε2␈↓  ␈εε2
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α∞so␈α␈me␈↓ αS␈ε	Z␈↓ α␈␈εβan␈α␈d␈↓ βB␈ε	Z␈↓ β`␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α
co␈α␈mmon␈α
left␈α
m␈α␈ultip␈α␈l␈α↓e␈α
of␈↓ πp␈ε	V␈↓ λ≥␈εβa␈α␈nd␈↓ λ`␈ε	V␈↓ 	
␈εβis␈α
a␈α
l␈α↓e␈α␈ft␈α∞m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α∞o␈α␈f
␈β∧"␈↓ αe␈εε1␈↓ βT␈εε2␈↓ λβ␈εε1␈↓ λr␈εε2
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβlclm(␈↓ α⊂␈ε	V␈↓ α/␈εβ,␈↓ α>␈ε	V␈↓ α]␈εβ).
␈β∧J␈↓ α"␈εε1␈↓ αP␈εε2
␈β∧g␈↓ α␈εβFor␈α	exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e,␈α
let␈↓ ∧β␈ε	U␈↓ ∧.␈εβ=␈↓ ∧Y␈ε	a␈↓ ∧i␈ε	b␈↓ ∧v␈ε	b␈↓ ¬β␈ε	b␈↓ ¬⊃␈ε	a␈↓ ¬!␈ε	b␈↓ ¬4␈εβ+␈↓ ¬Z␈ε	a␈↓ ¬j␈ε	b␈↓ ¬x␈ε	b␈↓ ε¬␈ε	a␈↓ ε∃␈ε	b␈↓ ε(␈ε↔␈␈↓ εN␈ε	b␈↓ ε[␈ε	b␈↓ εi␈ε	a␈↓ εy␈ε	b␈↓ π␈εβ+␈↓ π2␈ε	a␈↓ πB␈ε	b␈↓ πU␈ε↔␈␈εβ␈α¬1,␈↓ λ∨␈ε	V␈↓ λG␈εβ=␈↓ λr␈ε	b␈↓ λ␈␈ε	a␈↓ 	∂␈ε	b␈↓ 	≥␈ε	a␈↓ 	-␈ε	b␈↓ 	?␈εβ+␈↓ 	f␈ε	a␈↓ 	v␈ε	b␈↓ 
β␈ε	a␈↓ 
∀␈ε	b␈↓ 
&␈εβ+␈↓ 
M␈ε	a␈↓ 
]␈ε	b␈↓ 
p␈ε↔␈␈↓ ⊗␈ε	b␈↓ #␈εβ;
␈β∧r␈↓ ∧_␈εε1␈↓ λ1␈εε1
␈β¬∂␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓y␈εβ=␈↓ α)␈ε	a␈↓ α9␈ε	b␈↓ αG␈ε	b␈↓ α↑␈εβ+␈↓ β	␈ε	a␈↓ β→␈ε	b␈↓ β0␈ε↔␈␈↓ β[␈ε	b␈↓ βh␈εβ,␈↓ ∧↓␈ε	V␈↓ ∧/␈εβ=␈↓ ∧←␈ε	b␈↓ ∧m␈ε	a␈↓ ∧⎇␈ε	b␈↓ ¬
␈ε	b␈↓ ¬↔␈ε	a␈↓ ¬(␈ε	b␈↓ ¬5␈ε	a␈↓ ¬F␈ε	b␈↓ ¬]␈εβ+␈↓ ελ␈ε	b␈↓ ε∃␈ε	a␈↓ ε%␈ε	b␈↓ ε2␈ε	a␈↓ εC␈ε	b␈↓ εP␈ε	a␈↓ ε`␈ε	b␈↓ εw␈εβ+␈↓ π"␈ε	b␈↓ π0␈ε	a␈↓ π@␈ε	b␈↓ πM␈ε	a␈↓ π↑␈ε	b␈↓ πu␈εβ+␈↓ λ ␈ε	a␈↓ λ0␈ε	b␈↓ λ=␈ε	a␈↓ λN␈ε	b␈↓ λe␈ε↔␈␈↓ 	⊂␈ε	b␈↓ 	≥␈ε	a␈↓ 	-␈ε	b␈↓ 	;␈ε	b␈↓ 	R␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈.␈α⊗The␈α␈n␈α∂w␈α␈e
␈β¬→␈↓ ↓]␈εε2␈↓ ∧∪␈εε2
␈β¬6␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈↓ α⊗␈ε	U␈↓ α8␈ε	V␈↓ α`␈εβ=␈↓ β␈ε	U␈↓ β-␈ε	V␈↓ βU␈εβ=␈↓ ∧␈ε	a␈↓ ∧⊂␈ε	b␈↓ ∧≥␈ε	b␈↓ ∧+␈ε	b␈↓ ∧8␈ε	a␈↓ ∧H␈ε	b␈↓ ∧U␈ε	b␈↓ ∧c␈ε	a␈↓ ∧s␈ε	b␈↓ ¬␈ε	a␈↓ ¬⊃␈ε	b␈↓ ¬%␈εβ+␈↓ ¬N␈ε	a␈↓ ¬↑␈ε	b␈↓ ¬k␈ε	b␈↓ ¬y␈ε	a␈↓ ε	␈ε	b␈↓ ε⊗␈ε	b␈↓ ε$␈ε	a␈↓ ε4␈ε	b␈↓ εA␈ε	a␈↓ εR␈ε	b␈↓ εf␈εβ+␈↓ π∂␈ε	a␈↓ π∨␈ε	b␈↓ π,␈ε	b␈↓ π:␈ε	b␈↓ πG␈ε	a␈↓ πW␈ε	b␈↓ πd␈ε	a␈↓ πu␈ε	b␈↓ λα␈ε	a␈↓ λ∪␈ε	b␈↓ λ'␈εβ+␈↓ λP␈ε	a␈↓ λ`␈ε	b␈↓ λm␈ε	b␈↓ λz␈ε	a␈↓ 	␈ε	b␈↓ 	_␈ε	a␈↓ 	)␈ε	b␈↓ 	6␈ε	a␈↓ 	F␈ε	b␈↓ 	[␈ε↔␈␈↓ 
β␈ε	b␈↓ 
⊂␈ε	b␈↓ 
≡␈ε	a␈↓ 
.␈ε	b␈↓ 
;␈ε	b␈↓ 
I␈ε	a␈↓ 
Y␈ε	b␈↓ 
f␈ε	a␈↓ 
w␈ε	b␈↓ ␈εβ+
␈β¬A␈↓ α+␈εε1␈↓ αK␈εε1␈↓ β ␈εε2␈↓ β?␈εε2
␈β¬↑␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈ε	b␈↓ ↓e␈ε	b␈↓ ↓s␈ε	b␈↓ α␈ε	a␈↓ α⊂␈ε	b␈↓ α≥␈ε	a␈↓ α.␈ε	b␈↓ αA␈ε↔␈␈↓ αh␈ε	b␈↓ αv␈ε	b␈↓ ββ␈ε	a␈↓ β∪␈ε	b␈↓ β ␈ε	a␈↓ β1␈ε	b␈↓ β>␈ε	a␈↓ βO␈ε	b␈↓ βb␈εβ+␈αε2␈↓ ∧~␈ε	a␈↓ ∧*␈ε	b␈↓ ∧7␈ε	b␈↓ ∧E␈ε	a␈↓ ∧U␈ε	b␈↓ ∧b␈ε	a␈↓ ∧s␈ε	b␈↓ ¬ε␈ε↔␈␈↓ ¬-␈ε	a␈↓ ¬>␈ε	b␈↓ ¬K␈ε	b␈↓ ¬X␈ε	b␈↓ ¬e␈ε	a␈↓ ¬v␈ε	b␈↓ εβ␈ε	b␈↓ ε⊗␈εβ+␈↓ ε>␈ε	a␈↓ εN␈ε	b␈↓ ε[␈ε	a␈↓ εl␈ε	b␈↓ εy␈ε	a␈↓ π	␈ε	b␈↓ π≤␈ε↔␈␈↓ πD␈ε	a␈↓ πT␈ε	b␈↓ πa␈ε	b␈↓ πo␈ε	a␈↓ π␈␈ε	b␈↓ λ␈ε	b␈↓ λ ␈ε↔␈␈↓ λG␈ε	b␈↓ λT␈ε	b␈↓ λa␈ε	a␈↓ λr␈ε	b␈↓ λ␈␈ε	a␈↓ 	∂␈ε	b␈↓ 	#␈ε↔␈␈↓ 	J␈ε	b␈↓ 	W␈ε	a␈↓ 	h␈ε	b␈↓ 	u␈ε	a␈↓ 
¬␈ε	b␈↓ 
_␈εβ+␈↓ 
@␈ε	b␈↓ 
M␈ε	b␈↓ 
Z␈ε	a␈↓ 
k␈ε	b␈↓ 
x␈ε	b␈↓ ␈ε↔␈
␈βε¬␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈ε	b␈↓ ↓e␈ε	b␈↓ ↓y␈ε↔␈␈↓ α"␈ε	a␈↓ α2␈ε	b␈↓ αF␈εβ+␈↓ αn␈ε	b␈↓ α|␈εβ.␈αFor␈α
these␈α
string␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈αit␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈α
th␈α␈at␈αg␈α␈crd(␈↓ 	:␈ε	V␈↓ 	Y␈εβ,␈↓ 	h␈ε	V␈↓ 
π␈εβ)␈α	=␈↓ 
F␈ε	a␈↓ 
V␈ε	b␈↓ 
j␈εβ+␈αλ1␈α␈,
␈βε⊂␈↓ 	L␈εε1␈↓ 	z␈εε2
␈βε-␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
l␈α↓c␈α␈l␈α↓m␈α␈(␈↓ αQ␈ε	V␈↓ αp␈εβ,␈↓ α}␈ε	V␈↓ β≡␈εβ)␈α	=␈↓ β\␈ε	U␈↓ β}␈ε	V␈↓ ∧≥␈εβ.
␈βε8␈↓ αc␈εε1␈↓ β⊃␈εε2␈↓ βr␈εε1␈↓ ∧⊃␈εε1
␈βεU␈↓ α␈εβThe␈α	division␈α	algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
of␈α
ex␈α}ercise␈α
1␈α␈7␈α
ma␈α␈y␈α
b␈α␈e␈α
restat␈α␈ed␈α
th␈α}us:␈αIf␈↓ 	⊃␈ε	V␈↓ 	:␈εβan␈α␈d␈↓ 	z␈ε	V␈↓ 
#␈εβa␈α␈re␈α
string
␈βε←␈↓ 	#␈εε1␈↓ 
␈εε2
␈βε|␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s,␈α	wi␈α↓th␈↓ βR␈ε	V␈↓ β{␈ε↔≤␈εβ␈α	0,␈α
a␈α␈nd␈α	if␈↓ ¬%␈ε	U␈↓ ¬P␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α	a␈α␈nd␈↓ εT␈ε	U␈↓ ε␈␈εβsa␈α␈ti␈α↓sfy␈αλthe␈α	eq␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ 	#␈ε	U␈↓ 	E␈ε	V␈↓ 	m␈εβ=␈↓ 
_␈ε	U␈↓ 
:␈ε	V␈↓ 
Y␈εβ,␈α
th␈α␈en
␈βππ␈↓ βe␈εε2␈↓ ¬;␈εε1␈↓ εi␈εε2␈↓ 	8␈εε1␈↓ 	W␈εε1␈↓ 
-␈εε2␈↓ 
L␈εε2
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈α
ex␈α␈ist␈α
string␈α
p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈↓ ¬␈ε	Q␈↓ ¬1␈εβan␈α␈d␈ε	␈α
R␈εβ␈α
suc␈α␈h␈α
th␈α␈at␈↓ π0␈ε	V␈↓ π\␈εβ=␈↓ λ
␈ε	Q␈↓ λ"␈ε	V␈↓ λJ␈εβ+␈ε	␈α	R␈εβ,␈↓ 	"␈εβde␈α␈g␈↓ 	T␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α
<␈↓ 
<␈εβd␈α␈eg␈↓ 
n␈εβ(␈↓ 
y␈ε	V␈↓ _␈εβ).
␈βπ.␈↓ πC␈εε1␈↓ λ5␈εε2␈↓ ␈εε2
␈βπK␈↓ ↓H␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αIt␈αfollo␈α␈ws␈αre␈α␈adily␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧i␈ε	Q␈↓ ¬␈εβa␈α␈nd␈ε	␈α
R␈εβ␈αare␈α
un␈α␈ique␈α␈l␈α↓y␈α
d␈α␈etermin␈α␈ed,␈αth␈α␈ey␈α
do␈α
no␈α␈t␈αd␈α␈epen␈α␈d␈α
on
␈βπs␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓u␈εβa␈α␈nd␈↓ α5␈ε	U␈↓ αW␈εβ;␈αfu␈α␈rthe␈α␈rmore␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈lt␈αi␈α↓s␈αrigh␈α}t-left␈αsymm␈α␈etric␈αin␈αthe␈α
sense␈αt␈α␈hat
␈βπ}␈↓ ↓]␈εε1␈↓ αK␈εε2
␈βλ=␈↓ βc␈ε~0␈↓ ¬k␈ε~0
␈βλB␈↓ α␈ε	U␈↓ α7␈εβ=␈↓ αb␈ε	U␈↓ β∧␈ε	Q␈↓ β#␈εβ+␈↓ βL␈ε	R␈↓ ∧1␈εβwhe␈α␈re␈↓ ¬↔␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬I␈εβ(␈↓ ¬T␈ε	R␈↓ ¬q␈εβ)␈α
=␈↓ ε0␈εβdeg␈↓ εb␈εβ(␈↓ εm␈ε	U␈↓ π∂␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ πJ␈εβdeg␈↓ π|␈εβ(␈↓ λπ␈ε	V␈↓ λ'␈εβ)␈απ+␈↓ λb␈εβd␈α␈eg␈↓ 	∀␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α	<␈↓ 	u␈εβd␈α␈eg␈↓ 
'␈εβ(␈↓ 
2␈ε	U␈↓ 
T␈εβ).
␈βλM␈↓ α!␈εε2␈↓ αw␈εε1␈↓ πβ␈εε1␈↓ λ~␈εε2␈↓ 
G␈εε1
␈β	∩␈↓ α␈εβSh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈α
this␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈isi␈α↓o␈α␈n␈α
alg␈α␈orithm␈α
c␈α␈an␈α
b␈α␈e␈α
ex␈α␈tend␈α␈ed␈α
to␈α	an␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α
tha␈α␈t␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈α␈s
␈β	:␈↓ ↓H␈εβlclm(␈↓ α⊂␈ε	V␈↓ α/␈εβ,␈↓ α>␈ε	V␈↓ α]␈εβ)␈αan␈α␈d␈αg␈α␈crd(␈↓ ∧␈ε	V␈↓ ∧∨␈εβ,␈↓ ∧.␈ε	V␈↓ ∧M␈εβ),␈αan␈α␈d,␈αi␈α↓n␈αfact,␈αthe␈αexten␈α␈de␈α␈d␈αalg␈α␈orithm␈α|␈α␈nd␈α␈s␈αstring␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈-
␈β	D␈↓ α"␈εε1␈↓ αP␈εε2␈↓ ∧∩␈εε1␈↓ ∧@␈εε2
␈β	a␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ α ␈ε	Z␈↓ αK␈εβan␈α␈d␈↓ β
␈ε	Z␈↓ β8␈εβsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ ∧O␈ε	Z␈↓ ∧m␈ε	V␈↓ ¬∃␈εβ+␈↓ ¬>␈ε	Z␈↓ ¬]␈ε	V␈↓ επ␈εβ=␈↓ ε4␈εβgcrd␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε	V␈↓ π≡␈εβ,␈↓ π,␈ε	V␈↓ πK␈εβ)␈α↓.␈α≤[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈α∞Use␈α
a␈α␈ux␈α␈i␈α↓liary␈αv␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β	l␈↓ α2␈εε1␈↓ β∨␈εε2␈↓ ∧a␈εε1␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬P␈εε2␈↓ ¬o␈εε2␈↓ π⊃␈εε1␈↓ π?␈εε2
␈β
¬␈↓ ∧∩␈ε~0␈↓ ∧J␈ε~0␈↓ ¬O␈ε~0␈↓ ¬⎇␈ε~0
␈β
	␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓g␈εβ,␈↓ ↓{␈ε	u␈↓ α≠␈εβ,␈↓ α.␈ε	v␈↓ αJ␈εβ,␈↓ α]␈ε	v␈↓ αy␈εβ,␈↓ β␈ε	w␈↓ β/␈εβ,␈↓ βB␈ε	w␈↓ βe␈εβ,␈↓ βy␈ε	w␈↓ ∧≡␈εβ,␈↓ ∧2␈ε	w␈↓ ∧W␈εβ,␈↓ ∧k␈ε	z␈↓ ¬α␈εβ,␈↓ ¬⊗␈ε	z␈↓ ¬.␈εβ,␈↓ ¬A␈ε	z␈↓ ¬\␈εβ,␈↓ ¬o␈ε	z␈↓ ε
␈εβ,␈α
who␈α␈se␈α
valu␈α␈es␈α
are␈α
strin␈α␈g␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials;␈αsta␈α␈rt␈α
by
␈β
∪␈↓ ↓[␈εε1␈↓ α∞␈εε2␈↓ α=␈εε1␈↓ αl␈εε2␈↓ β"␈εε1␈↓ βY␈εε2␈↓ ∧v␈εε1␈↓ ¬!␈εε2
␈β
_␈↓ ∧∩␈εε1␈↓ ∧J␈εε2␈↓ ¬O␈εε1␈↓ ¬⎇␈εε2
␈β
0␈↓ ↓H␈εβse␈α␈tti␈α↓n␈α␈g␈↓ α6␈ε	u␈↓ αa␈ε↔ ␈↓ β∞␈ε	U␈↓ β0␈εβ,␈↓ βF␈ε	u␈↓ βq␈ε↔ ␈↓ ∧≡␈ε	U␈↓ ∧@␈εβ,␈↓ ∧V␈ε	v␈↓ ∧|␈ε↔ ␈↓ ¬)␈ε	V␈↓ ¬H␈εβ,␈↓ ¬↑␈ε	v␈↓ ε¬␈ε↔ ␈↓ ε2␈ε	V␈↓ εQ␈εβ,␈α
an␈α␈d␈αth␈α␈roug␈α␈ho␈α␈ut␈αthe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αma␈α␈i␈α↓n␈α}tain
␈β
;␈↓ αI␈εε1␈↓ β#␈εε1␈↓ βY␈εε2␈↓ ∧3␈εε2␈↓ ∧d␈εε1␈↓ ¬<␈εε1␈↓ ¬m␈εε2␈↓ εD␈εε2
␈β
X␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tion␈α␈s
␈β~␈↓ β ␈ε	U␈↓ βB␈ε	w␈↓ βl␈εβ+␈↓ ∧∃␈ε	U␈↓ ∧7␈ε	w␈↓ ∧c␈εβ=␈↓ ¬
␈ε	u␈↓ ¬-␈εβ,␈↓ π␈ε	z␈↓ π#␈ε	V␈↓ πI␈εβ+␈↓ πr␈ε	z␈↓ λ
␈ε	V␈↓ λ2␈εβ=␈↓ λ]␈ε	v␈↓ λx␈εβ,
␈β$␈↓ β6␈εε1␈↓ βX␈εε1␈↓ ∧*␈εε2␈↓ ∧M␈εε2␈↓ ¬ ␈εε1␈↓ π⊗␈εε1␈↓ π5␈εε1␈↓ π⎇␈εε2␈↓ λ≤␈εε2␈↓ λk␈εε1
␈βF␈↓ βV␈ε~0␈↓ ∧M␈ε~0␈↓ π∀␈ε~0␈↓ π⎇␈ε~0
␈βL␈↓ β≠␈ε	U␈↓ β=␈ε	w␈↓ βj␈εβ+␈↓ ∧∩␈ε	U␈↓ ∧4␈ε	w␈↓ ∧c␈εβ=␈↓ ¬
␈ε	u␈↓ ¬-␈εβ,␈↓ πε␈ε	z␈↓ π ␈ε	V␈↓ πG␈εβ+␈↓ πo␈ε	z␈↓ λ
␈ε	V␈↓ λ2␈εβ=␈↓ λ]␈ε	v␈↓ λx␈εβ,
␈βW␈↓ β0␈εε1␈↓ ∧(␈εε2␈↓ ¬ ␈εε2␈↓ π3␈εε1␈↓ λ≤␈εε2␈↓ λk␈εε2
␈β[␈↓ βV␈εε1␈↓ ∧M␈εε2␈↓ π∀␈εε1␈↓ π⎇␈εε2
␈βy␈↓ ∧M␈ε~0␈↓ ¬U␈εn␈↓ λ↓␈ε~0␈↓ 	%␈εn
␈β␈␈↓ β8␈ε	u␈↓ βX␈ε	z␈↓ βw␈ε↔␈␈↓ ∧∨␈ε	u␈↓ ∧?␈ε	z␈↓ ∧c␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ¬J␈εβ)␈↓ ¬f␈ε	U␈↓ ελ␈εβ,␈↓ εz␈ε	w␈↓ π≥␈ε	v␈↓ π@␈ε↔␈␈↓ πh␈ε	w␈↓ λ∞␈ε	v␈↓ λ2␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	~␈εβ)␈↓ 	5␈ε	V␈↓ 	T␈εβ,
␈β	␈↓ βK␈εε1␈↓ βc␈εε1␈↓ ∧3␈εε2␈↓ ¬{␈εε1␈↓ π⊂␈εε1␈↓ π,␈εε1␈↓ λ≤␈εε2␈↓ 	H␈εε1
␈β∞␈↓ ∧M␈εε1␈↓ λ↓␈εε1
␈β+␈↓ ∧M␈ε~0␈↓ ¬U␈εn␈↓ λ↓␈ε~0␈↓ 	%␈εn
␈β1␈↓ β↔␈ε↔␈␈↓ β8␈ε	u␈↓ βX␈ε	z␈↓ βw␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε	u␈↓ ∧?␈ε	z␈↓ ∧c␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ¬J␈εβ)␈↓ ¬f␈ε	U␈↓ ελ␈εβ,␈↓ εY␈ε↔␈␈↓ εz␈ε	w␈↓ π≥␈ε	v␈↓ π@␈εβ+␈↓ πh␈ε	w␈↓ λ∞␈ε	v␈↓ λ2␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	~␈εβ)␈↓ 	5␈ε	V
␈β<␈↓ βK␈εε1␈↓ βc␈εε2␈↓ ∧3␈εε2␈↓ ¬{␈εε2␈↓ π⊂␈εε2␈↓ π,␈εε1␈↓ λ≤␈εε2␈↓ 	H␈εε2
␈β@␈↓ ∧M␈εε2␈↓ λ↓␈εε2
␈β{␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈α
the␈↓ α.␈ε	n␈↓ αB␈εβth␈αiteration␈α␈.␈α⊃This␈α
migh␈α}t␈α
be␈α
re␈α␈gard␈α␈ed␈α
a␈α␈s␈α
the␈α
\␈α␈ultimat␈α␈e"␈α
ex␈α␈tens␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
of␈α
Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s
␈β
#␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m.]
␈β
U␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M39␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Co␈α␈mmon␈αλdivisor␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
sq␈α␈uare␈α	m␈α␈atrices.␈εβ)␈α∃Ex␈α}ercise␈α	18␈α	sh␈α␈o␈α␈ws␈α	that␈α	th␈α␈e␈α	con␈α␈cep␈α␈t
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞g␈α␈reate␈α␈st␈α
comm␈α␈on␈α
rig␈α␈h␈α␈t␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈α
can␈αbe␈α
me␈α␈an␈α␈i␈α↓n␈α␈gfu␈α␈l␈α∞wh␈α␈en␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α
is␈α
n␈α␈ot␈α
com␈α␈-
␈β∞%␈↓ ↓H␈εβm␈α}utativ␈α}e.␈α↔Pro␈α␈v␈α}e␈α∂th␈α␈at␈α∂a␈α␈n␈α␈y␈α∞t␈α␈wo␈↓ ¬≠␈ε	n␈↓ ¬9␈ε↔α␈↓ ¬d␈ε	n␈↓ επ␈εβma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es␈↓ π⊂␈ε	A␈↓ π5␈εβan␈α␈d␈↓ πy␈ε	B␈↓ λ∨␈εβo␈α␈f␈α∂in␈α␈teg␈α␈ers␈α∂h␈α␈av␈α␈e␈α∞a␈α∂g␈α␈reates␈α␈t
␈β∞L␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ommo␈α␈n␈α
righ␈α␈t␈α
ma␈α␈tri␈α↓x␈α
d␈α␈ivisor␈↓ ∧u␈ε	D␈↓ ¬∞␈εβ.␈α_[␈ε⊂Su␈α␈gg␈α␈estion:␈εβ␈αDe␈α␈si␈α↓g␈α␈n␈α
an␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
wh␈α␈ose␈α
inp␈α␈uts␈α
are␈↓ ⊗␈ε	A
␈β∞t␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	B␈↓ α∨␈εβ,␈αan␈α␈d␈αwho␈α␈se␈αoutp␈α␈uts␈αare␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αmatrices␈↓ ε}␈ε	P␈↓ π⊗␈εβ,␈↓ π*␈ε	Q␈↓ πC␈εβ,␈↓ πW␈ε	X␈↓ πs␈εβ,␈↓ λλ␈ε	Y␈↓ λ ␈εβ,␈αwhere␈↓ 	⊗␈ε	A␈↓ 	6␈εβ=␈↓ 	a␈ε	P␈↓ 	y␈ε	D␈↓ 
∩␈εβ,␈↓ 
'␈ε	B␈↓ 
G␈εβ=␈↓ 
r␈ε	Q␈↓ 
␈ε	D␈↓ #␈εβ,
␈β∂∀␈↓ λ3␈εε1␈↓ λL␈εε2␈↓ 	B␈εε4␈↓ 	\␈εε3
␈β∂≠␈↓ ↓H␈ε	D␈↓ ↓j␈εβ=␈↓ α∀␈ε	X␈↓ α0␈ε	A␈↓ αN␈εβ+␈↓ αv␈ε	Y␈↓ β∂␈ε	B␈↓ β%␈εβ.␈α↓]␈α→Find␈αa␈α
grea␈α␈test␈αcom␈α␈mon␈α
righ␈α␈t␈αd␈α␈ivisor␈αof␈α(␈↓ λ\␈εβ)␈αa␈α␈nd␈α
(␈↓ 	l␈εβ).
␈β∂,␈↓ λ3␈εε3␈↓ λL␈εε4␈↓ 	B␈εε2␈↓ 	\␈εε1
␈β∂N␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	M40␈↓ αX␈εβ]␈α⊗In␈α}v␈α␈estiga␈α␈te␈α∂th␈α␈e␈α∞accu␈α␈racy␈α∞o␈α␈f␈α∂Euc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈α∞algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m:␈α∩Wha␈α␈t␈α∂ca␈α␈n␈α∞be␈α∞said␈α∞ab␈α␈ou␈α␈t
␈β∂v␈↓ ↓H␈εβc␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈απof␈απth␈α␈e␈απgre␈α␈atest␈απc␈α␈ommo␈α␈n␈απd␈α␈ivisor␈απo␈α␈f␈αλp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αεw␈α↓h␈α␈ose␈αεcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈απa␈α␈re␈απ⎇o␈α␈ating␈α␈-
␈β⊂≥␈↓ ↓H␈εβp␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers?
␈β⊂P␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
co␈α␈mpu␈α␈tation␈α	ti␈α↓m␈α␈e␈α
requ␈α␈ired␈α
b␈α␈y␈α
Algorith␈α␈m␈α
C␈α
to␈α
com␈α␈pu␈α␈te␈α
the
␈β⊂s␈↓ λ
␈εε4␈↓ 	⊂␈εε2
␈β⊂t␈↓ πj␈εα(␈↓ 	≥␈εα)
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈α	o␈α␈f␈α	t␈α␈w␈α␈o␈↓ αd␈ε	n␈↓ αx␈εβth␈α	d␈α␈egr␈α␈ee␈α	po␈α␈lyn␈α␈omials␈α	o␈α␈v␈α}er␈α	th␈α␈e␈α	in␈α␈teg␈α␈ers␈α	is␈↓ πR␈ε	O␈↓ πv␈ε	n␈↓ λ↔␈εβ(␈↓ λ"␈εβlog␈↓ λR␈ε	N␈↓ λq␈ε	n␈↓ 	¬␈εβ)␈↓ 	)␈εβ,␈α
if␈α	th␈α␈e␈α	coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αthe␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈αa␈α␈re␈αbo␈α␈un␈α␈ded␈α
by␈↓ ε'␈ε	N␈↓ εQ␈εβi␈α↓n␈α
ab␈α␈solute␈αv␈α␈alu␈α␈e.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα408␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αStu␈α␈rm's␈αtheo␈α␈rem.␈α→[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈αS␈α␈om␈α␈e␈αsi␈α↓g␈α␈n␈αseq␈α␈ue␈α␈nces␈αa␈α␈re␈αimpo␈α␈ssible.]
␈βα\␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αλt␈α␈hat␈απif␈↓ ∧0␈ε	u␈↓ ∧D␈εβ(␈↓ ∧O␈ε	x␈↓ ∧`␈εβ)␈απi␈α↓n␈αε(␈α↓2␈α␈8)␈απha␈α␈s␈αλd␈α␈eg(␈↓ εI␈ε	u␈↓ ε]␈εβ)␈απreal␈απroo␈α␈ts,␈α	t␈α␈hen␈↓ λN␈εβd␈α␈eg␈↓ 	␈εβ(␈↓ 	␈ε	u␈↓ 	P␈εβ)␈α	=␈↓ 
∂␈εβd␈α␈eg␈↓ 
@␈εβ(␈↓ 
L␈ε	u␈↓ 
k␈εβ)␈ε↔␈αα␈␈εβ␈αβ1
␈βαg␈↓ 	≡␈εj␈↓ 	*␈εε+1␈↓ 
←␈εj
␈ββ∧␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ α@␈ε	j␈↓ αX␈ε↔∀␈↓ ββ␈ε	k␈↓ β∪␈εβ.
␈ββ6␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈α(19␈α␈)␈αsi␈α↓m␈α␈pli|es␈αto␈α
(␈α↓2␈α␈0)␈αan␈α␈d␈α(23␈α␈)␈αsi␈α↓m␈α␈pli|es␈αto␈α
(24).
␈ββi␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(W.␈αS␈α␈.␈αBro␈α␈wn␈α␈.␈α↓)␈α→P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αall␈αth␈α␈e␈αpoly␈α␈no␈α␈mials␈↓ λ1␈ε	u␈↓ λP␈εβ(␈↓ λ[␈ε	x␈↓ λl␈εβ)␈αin␈α(1␈α␈6)␈αfo␈α␈r␈↓ 
!␈ε	j␈↓ 
9␈ε↔∃␈εβ␈α
3␈αare
␈ββs␈↓ λD␈εj
␈β∧
␈↓ β0␈εα(␈↓ ∧8␈εα)
␈β∧⊂␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiples␈αof␈↓ α}␈εβgc␈α␈d␈↓ β<␈ε	#␈↓ βJ␈εβ(␈↓ βU␈ε	u␈↓ βi␈εβ),␈↓ ∧β␈ε	#␈↓ ∧⊂␈εβ(␈↓ ∧≤␈ε	v␈↓ ∧-␈εβ)␈↓ ∧D␈εβ,␈αand␈α
ex␈α␈plain␈αh␈α␈o␈α␈w␈αto␈αimp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
Al␈α↓g␈α␈orithm␈αC␈αa␈α␈cco␈α␈rding␈α␈l␈α↓y␈α␈.
␈β¬␈↓ ↓4␈ε≥*␈↓ ↓H␈ε≥4␈α␈.6.2.␈α
Fac␈α␈t␈α↓or␈α␈ization␈α
of␈α∞Polynomi␈α↓als
␈β¬L␈↓ ↓H␈εαLet␈α∞us␈α∂no␈α␈w␈α∂consider␈α∞the␈α∂problem␈α∂of␈ε∂␈α∞factoring␈εα␈α∂polynomials,␈α∂not␈α∂merely␈α∞|nding
␈β¬w␈↓ ↓H␈εαthe␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor␈αof␈αt␈α␈w␈α␈o␈αor␈αmore␈αof␈αthem.
␈βε8␈↓ ↓H␈ε∩Factoring␈α∞modulo␈↓ βp␈ελp␈↓ βp␈ελp␈↓ ∧β␈ε∩.␈εα␈α≤As␈α∞in␈α∞the␈α∞case␈α∞of␈α∞in␈α␈teger␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞(Sections␈α∞4.5.2,␈α∞4.5.4),
␈βεc␈↓ ↓H␈εαthe␈α⊂problem␈α⊂of␈α⊂factoring␈α⊃seems␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂more␈α⊃di}cult␈α⊂than␈α⊂|nding␈α⊂the␈α⊂greatest
␈βπ∞␈↓ ↓H␈εαcommon␈α∞divisor.␈α⊃But␈α∞factorization␈α∞of␈α∞polynomials␈α∞modulo␈α∞a␈α∞prime␈α∞in␈α␈teger␈↓ 
t␈ελp␈↓ ∀␈εαis
␈βπ9␈↓ ↓H␈εαnot␈αas␈αhard␈αto␈αdo␈αas␈αw␈α␈e␈αmigh␈α␈t␈αexpect.␈αIt␈αis␈αm␈α␈uch␈αeasier␈αto␈α|nd␈αthe␈αfactors␈αof␈αan
␈βπd␈↓ ↓H␈εαarbitrary␈αpolynomial␈α
of␈α
degree␈↓ ¬9␈ελn␈↓ ¬O␈εα,␈α
modulo␈α2,␈α
than␈α
to␈α
use␈α
an␈α␈y␈α
kno␈α␈wn␈α
method␈αto
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈εα|nd␈α∞the␈α∞factors␈α
of␈α∞an␈α∞arbitrary␈↓ ¬E␈ελn␈↓ ¬[␈εα-bit␈α∞binary␈α∞n␈α␈um␈α␈ber.␈α∩This␈α∞surprising␈α
situation
␈βλ;␈↓ ↓H␈εαis␈α
a␈αconsequence␈α
of␈α
an␈α
importan␈α␈t␈α
factorization␈α
algorithm␈α
disco␈α␈v␈α␈ered␈α
in␈α
1967␈αby
␈βλf␈↓ ↓H␈εαElwyn␈αR.␈αBerlekamp␈α[␈ε∂Bell␈αSystem␈αTechnical␈αJ.␈ε∩␈α46␈εα␈α(1967),␈α1853↑1859].
␈β	⊃␈↓ α␈εαLet␈↓ αM␈ελp␈↓ αi␈εαbe␈αa␈α
prime␈αn␈α␈um␈α␈ber;␈αall␈α
arithmetic␈αon␈α
polynomials␈αin␈α
the␈αfollo␈α␈wing␈α
dis-
␈β	<␈↓ ↓H␈εαcussion␈αwill␈αbe␈αdone␈αmodulo␈↓ ¬	␈ελp␈↓ ¬≠␈εα.␈αSuppose␈αthat␈αsomeone␈αhas␈α
giv␈α␈en␈αus␈αa␈αpolynomial
␈β	h␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα),␈αwhose␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
are␈α
chosen␈α
from␈α
the␈αset␈ε⊗␈α
f␈εα0,␈αε1,␈↓ λ↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ1␈εα,␈↓ λA␈ελp␈↓ λY␈ε⊗␈␈εα␈α¬1␈ε⊗g␈εα;␈αw␈α␈e␈α
may␈α
assume
␈β
∪␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α⊗␈ελu␈↓ α+␈εα(␈↓ α7␈ελx␈↓ αJ␈εα)␈αis␈αmonic.␈αOur␈αgoal␈αis␈αto␈αexpress␈↓ ε↑␈ελu␈↓ εt␈εα(␈↓ π␈ελx␈↓ π∪␈εα)␈αin␈αthe␈αform
␈β
c␈↓ εC␈εe␈↓ πS␈εe
␈β
i␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬5␈εα)␈α
=␈↓ ¬y␈ελp␈↓ ε_␈εα(␈↓ ε$␈ελx␈↓ ε7␈εα)␈↓ εZ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π
␈ελp␈↓ π(␈εα(␈↓ π4␈ελx␈↓ πG␈εα)␈↓ πj␈εα,␈↓ α␈εα(1)
␈β
k␈↓ εN␈επ1␈↓ π↑␈ε
r
␈β
v␈↓ ε
␈ε¬1␈↓ π≠␈εr
␈β?␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α0␈ελp␈↓ αO␈εα(␈↓ α[␈ελx␈↓ αn␈εα),␈↓ β⊂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β@␈εα,␈↓ βV␈ελp␈↓ βt␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈αare␈αdistinct,␈αmonic,␈αirreducible␈αpolynomials.
␈βL␈↓ αA␈ε¬1␈↓ βg␈εr
␈βj␈↓ α␈εαAs␈α
a␈α
|rst␈α
step,␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
use␈α
a␈α
standard␈α
technique␈α
to␈α
determine␈α
whether␈αan␈α␈y
␈β∃␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αexponen␈α␈ts␈↓ βY␈ελe␈↓ βt␈εα,␈↓ ∧
␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧:␈εα,␈↓ ∧P␈ελe␈↓ ∧v␈εαare␈αgreater␈αthan␈αunity.␈αIf
␈β#␈↓ βf␈ε¬1␈↓ ∧]␈εr
␈βe␈↓ ¬F␈εn␈↓ λα␈ε¬2
␈βk␈↓ ∧∀␈ελu␈↓ ∧*␈εα(␈↓ ∧6␈ελx␈↓ ∧H␈εα)␈α
=␈↓ ¬␈ελu␈↓ ¬3␈ελx␈↓ ¬`␈εα+␈↓ ε␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε>␈εα+␈↓ εj␈ελu␈↓ π↔␈εα=␈↓ πE␈ελv␈↓ πW␈εα(␈↓ πc␈ελx␈↓ πv␈εα)␈↓ λ⊃␈ελw␈↓ λ+␈εα(␈↓ λ7␈ελx␈↓ λJ␈εα),␈↓ α␈εα(2)
␈βx␈↓ ¬!␈εn␈↓ ε}␈ε¬0
␈β
A␈↓ ↓H␈εαthen␈αits␈α\derivativ␈α␈e"␈αformed␈αin␈αthe␈αusual␈αway␈α(but␈αmodulo␈↓ λs␈ελp␈↓ 	¬␈εα)␈αis
␈β∞⊃␈↓ α{␈ε→0␈↓ ∧4␈εn␈↓ ∧F␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π@␈ε→0␈↓ 	*␈ε¬2␈↓ 	S␈ε→0
␈β∞↔␈↓ αe␈ελu␈↓ βα␈εα(␈↓ β∞␈ελx␈↓ β!␈εα)␈α
=␈↓ βe␈ελn␈↓ β{␈ελu␈↓ ∧!␈ελx␈↓ ∧y␈εα+␈↓ ¬%␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬W␈εα+␈↓ εβ␈ελu␈↓ ε0␈εα=␈α
2␈↓ εp␈ελv␈↓ πβ␈εα(␈↓ π∂␈ελx␈↓ π"␈εα)␈↓ π.␈ελv␈↓ πH␈εα(␈↓ πT␈ελx␈↓ πf␈εα)␈↓ πr␈ελw␈↓ λ
␈εα(␈↓ λ→␈ελx␈↓ λ,␈εα)␈αλ+␈↓ λl␈ελv␈↓ λ␈␈εα(␈↓ 	␈ελx␈↓ 	≡␈εα)␈↓ 	8␈ελw␈↓ 	Z␈εα(␈↓ 	f␈ελx␈↓ 	y␈εα),␈↓ α␈εα(3)
␈β∞$␈↓ ∧∂␈εn␈↓ ε_␈ε¬1
␈β∞m␈↓ ↓H␈εαand␈α⊂this␈α⊃is␈α⊃a␈α⊂m␈α␈ultiple␈α⊃of␈α⊂the␈α⊃squared␈α⊃factor␈↓ π ␈ελv␈↓ π3␈εα(␈↓ π?␈ελx␈↓ πR␈εα).␈α~Therefore␈α⊃our␈α⊂|rst␈α⊃step␈α⊂in
␈β∂_␈↓ ↓H␈εαfactoring␈↓ α`␈ελu␈↓ αu␈εα(␈↓ β↓␈ελx␈↓ β∀␈εα)␈αis␈αto␈αform
␈β∂N␈↓ ¬;␈ε↓␈␈↓ εa␈ε↓↓
␈β∂h␈↓ ε/␈ε→0
␈β∂n␈↓ ¬¬␈εαgcd␈↓ ¬I␈ελu␈↓ ¬↑␈εα(␈↓ ¬j␈ελx␈↓ ¬⎇␈εα),␈↓ ε→␈ελu␈↓ ε6␈εα(␈↓ εB␈ελx␈↓ εU␈εα)␈↓ εy␈εα=␈↓ π'␈ελd␈↓ π;␈εα(␈↓ πG␈ελx␈↓ πZ␈εα).␈↓ α␈εα(4)
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓m␈ελd␈↓ α↓␈εα(␈↓ α
␈ελx␈↓ α ␈εα)␈α
is␈α
equal␈α
to␈α
1,␈α∞w␈α␈e␈α
kno␈α␈w␈α
that␈↓ ¬y␈ελu␈↓ ε∂␈εα(␈↓ ε≠␈ελx␈↓ ε-␈εα)␈α∞is␈α
\squarefree,"␈α
the␈α
product␈α
of␈α
distinct
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαprimes␈↓ α>␈ελp␈↓ α↑␈εα(␈↓ αj␈ελx␈↓ α|␈εα)␈↓ β∞␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ β>␈ελp␈↓ β]␈εα(␈↓ βi␈ελx␈↓ β{␈εα).␈α∀If␈↓ ∧K␈ελd␈↓ ∧←␈εα(␈↓ ∧k␈ελx␈↓ ∧}␈εα)␈α∂is␈α∞not␈α∂equal␈α∞to␈α∂1␈α∞and␈↓ πy␈ελd␈↓ λ∞␈εα(␈↓ λ~␈ελx␈↓ λ,␈εα)␈ε⊗␈α∞≤␈↓ λy␈ελu␈↓ 	∞␈εα(␈↓ 	~␈ελx␈↓ 	-␈εα),␈α∂then␈↓ 
'␈ελd␈↓ 
;␈εα(␈↓ 
G␈ελx␈↓ 
Z␈εα)␈α∞is␈α∞a
␈β⊂|␈↓ αO␈ε¬1␈↓ βO␈εr
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαproper␈α⊂factor␈α⊂of␈↓ βX␈ελu␈↓ βm␈εα(␈↓ βy␈ελx␈↓ ∧␈εα);␈α∩so␈α⊂the␈α⊂process␈α⊂can␈α⊂be␈α⊂completed␈α⊂by␈α⊂factoring␈↓ 
$␈ελd␈↓ 
8␈εα(␈↓ 
D␈ελx␈↓ 
V␈εα)␈α⊂and
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα409
␈βα!␈↓ 	¬␈ε→0
␈βα&␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)/␈↓ α~␈ελd␈↓ α.␈εα(␈↓ α:␈ελx␈↓ αM␈εα)␈αseparately.␈αFinally,␈αif␈↓ ¬A␈ελd␈↓ ¬U␈εα(␈↓ ¬a␈ελx␈↓ ¬t␈εα)␈α
=␈↓ ε8␈ελu␈↓ εN␈εα(␈↓ εZ␈ελx␈↓ εm␈εα),␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈↓ λp␈ελu␈↓ 	
␈εα(␈↓ 	→␈ελx␈↓ 	+␈εα)␈α
=␈α
0;␈αhence␈αthe
␈βαL␈↓ β`␈εk
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈t␈↓ αp␈ελu␈↓ β!␈εαof␈↓ βM␈ελx␈↓ β|␈εαis␈α
nonzero␈α∞only␈α∞when␈↓ ε[␈ελk␈↓ εz␈εαis␈α∞a␈α
m␈α␈ultiple␈α∞of␈↓ λz␈ελp␈↓ 	␈εα.␈α⊃This␈α∞means␈α
that
␈βα←␈↓ β¬␈εk
␈βαx␈↓ πa␈εp
␈βα⎇␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈α
can␈α
be␈α	written␈α
as␈α
a␈α	polynomial␈α
of␈α
the␈α
form␈↓ π/␈ελv␈↓ πB␈εα(␈↓ πN␈ελx␈↓ πp␈εα),␈α
and␈α
in␈α
such␈α	a␈α
case␈α
w␈α␈e␈α	hav␈α␈e
␈ββ.␈↓ ε␈␈ε↓␈␈↓ πK␈ε↓↓
␈ββ@␈↓ πY␈εp
␈ββH␈↓ ε,␈εp
␈ββN␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬_␈εα(␈↓ ¬$␈ελx␈↓ ¬6␈εα)␈α
=␈↓ ¬z␈ελv␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε→␈ελx␈↓ ε;␈εα)␈α
=␈↓ π
␈ελv␈↓ π ␈εα(␈↓ π,␈ελx␈↓ π?␈εα)␈↓ πh␈εα;␈↓ α␈εα(5)
␈β∧∨␈↓ ↓H␈εαthe␈α
factorization␈α
process␈α
can␈α
be␈α
completed␈α
by␈α
|nding␈αthe␈α
irreducible␈α
factors␈α
of
␈β∧J␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα)␈αand␈αraising␈αthem␈αto␈αthe␈↓ ¬⊃␈ελp␈↓ ¬$␈εαth␈αpo␈α␈w␈α␈er.
␈β∧u␈↓ α␈εαIden␈α␈tity␈α
(5)␈αmay␈α
appear␈αsomewhat␈α
strange␈α
to␈αthe␈α
reader,␈αand␈α
it␈αis␈α
an␈α
impor-
␈β¬ ␈↓ ↓H␈εαtan␈α␈t␈α
fact␈α
that␈α
is␈α
basic␈α
to␈α
Berlekamp's␈α
algorithm.␈α∂We␈α
can␈α
pro␈α␈v␈α␈e␈αit␈α
as␈α
follo␈α␈ws:␈α∞If
␈β¬K␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓f␈εα(␈↓ ↓r␈ελx␈↓ α¬␈εα)␈αand␈↓ αc␈ελv␈↓ β↓␈εα(␈↓ β
␈ελx␈↓ β ␈εα)␈αare␈αan␈α␈y␈αpolynomials␈αmodulo␈↓ π↓␈ελp␈↓ π∪␈εα,␈αthen
␈β¬Y␈↓ ↓W␈ε¬1␈↓ αr␈ε¬2
␈β¬␈␈↓ α
␈ε↓␈␈↓ β-␈ε↓↓
␈βε⊃␈↓ β;␈εp
␈βε_␈↓ ∧K␈εp␈↓ ¬#␈εp
␈βε≡␈↓ α≠␈ελv␈↓ α9␈εα(␈↓ αE␈ελx␈↓ αX␈εα)␈↓ αd␈ελv␈↓ βα␈εα(␈↓ β∞␈ελx␈↓ β!␈εα)␈↓ βT␈εα=␈↓ ∧α␈ελv␈↓ ∧ ␈εα(␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈↓ ∧Z␈ελv␈↓ ∧x␈εα(␈↓ ¬∧␈ελx␈↓ ¬↔␈εα)␈↓ ¬2␈εα,
␈βε,␈↓ α+␈ε¬1␈↓ αt␈ε¬2␈↓ ∧∩␈ε¬1␈↓ ∧j␈ε¬2
␈βε?␈↓ ↓Y␈ε↓␈␈↓ β-␈ε↓↓␈↓ ¬∞␈ε↓␈␈↓ ¬+␈ε↓↓␈↓ πl␈ε↓␈␈↓ λ5␈ε↓↓
␈βεR␈↓ β;␈εp
␈βεW␈↓ ¬≤␈εp␈↓ λ⊂␈εp
␈βεZ␈↓ ∧K␈εp␈↓ εα␈εp␈↓ 	U␈εp␈↓ 	d␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ␈εp
␈βε←␈↓ ↓g␈ελv␈↓ α¬␈εα(␈↓ α⊃␈ελx␈↓ α$␈εα)␈αλ+␈↓ αd␈ελv␈↓ βα␈εα(␈↓ β∞␈ελx␈↓ β!␈εα)␈↓ βT␈εα=␈↓ ∧α␈ελv␈↓ ∧ ␈εα(␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈↓ ∧b␈εα+␈↓ ¬9␈ελv␈↓ ¬W␈εα(␈↓ ¬c␈ελx␈↓ ¬v␈εα)␈↓ ε⊃␈ελv␈↓ ε0␈εα(␈↓ ε<␈ελx␈↓ εN␈εα)␈αλ+␈↓ π∞␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π@␈εα+␈↓ λC␈ελv␈↓ λa␈εα(␈↓ λm␈ελx␈↓ 	␈εα)␈↓ 	␈ελv␈↓ 	*␈εα(␈↓ 	6␈ελx␈↓ 	I␈εα)␈↓ 
↔␈εα+␈↓ 
C␈ελv␈↓ 
a␈εα(␈↓ 
m␈ελx␈↓ ␈εα)
␈βεl␈↓ ↓w␈ε¬1␈↓ αt␈ε¬2␈↓ ∧∩␈ε¬1␈↓ ¬I␈ε¬1␈↓ ε!␈ε¬2␈↓ λS␈ε¬1␈↓ 	≤␈ε¬2␈↓ 
S␈ε¬2
␈βεr␈↓ ¬≤␈ε¬1␈↓ πz␈εp␈↓ λ
␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βπ∩␈↓ ∧K␈εp␈↓ ¬W␈εp
␈βπ→␈↓ βT␈εα=␈↓ ∧α␈ελv␈↓ ∧ ␈εα(␈↓ ∧,␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈↓ ∧b␈εα+␈↓ ¬∞␈ελv␈↓ ¬,␈εα(␈↓ ¬8␈ελx␈↓ ¬K␈εα)␈↓ ¬f␈εα,
␈βπ&␈↓ ∧∩␈ε¬1␈↓ ¬≡␈ε¬2
␈βπJ␈↓ ¬⊂␈ε↓␈␈↓ ¬-␈ε↓↓␈↓ ε∞␈ε↓␈␈↓ εW␈ε↓↓
␈βπa␈↓ ¬≡␈εp␈↓ ε2␈εp
␈βπj␈↓ ↓H␈εαsince␈αεthe␈αεbinomial␈απcoe}cien␈α␈ts␈↓ ¬;␈εα,␈↓ ¬M␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬⎇␈εα,␈↓ εk␈εαare␈απall␈αεm␈α␈ultiples␈αεof␈↓ 	λ␈ελp␈↓ 	~␈εα.␈αFurthermore␈αεif␈↓ ≠␈ελa
␈βπ|␈↓ ¬∨␈ε¬1␈↓ ε≤␈εp␈↓ ε,␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈βλ⊗␈↓ β=␈εp␈↓ 	∂␈εm␈↓ 
>␈εm␈↓ 
X␈ε→␈␈ε¬1
␈βλ≠␈↓ ↓H␈εαis␈α	an␈α␈y␈α
in␈α␈teger,␈↓ β+␈ελa␈↓ βV␈ε⊗⊃␈↓ ∧∧␈ελa␈↓ ∧ ␈εα(modulo␈↓ ¬,␈ελp␈↓ ¬>␈εα).␈αTherefore␈α	when␈↓ π]␈ελv␈↓ πp␈εα(␈↓ π|␈ελx␈↓ λ∂␈εα)␈α
=␈↓ λS␈ελv␈↓ λ|␈ελx␈↓ 	.␈εα+␈↓ 	W␈ελv␈↓ 
,␈ελx␈↓ λ␈εα+
␈βλ)␈↓ λb␈εm␈↓ 	g␈εm␈↓ 
␈ε→␈␈ε¬1
␈βλG␈↓ ↓H␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ↓z␈εα+␈↓ α&␈ελv␈↓ αD␈εα,␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈βλT␈↓ α5␈ε¬0
␈β	⊂␈↓ βW␈εp␈↓ ∧g␈εm␈↓ ¬
␈εp␈↓ εD␈εm␈↓ ε↑␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π∃␈εp␈↓ λl␈εp
␈β	↔␈↓ β~␈ελv␈↓ β-␈εα(␈↓ β9␈ελx␈↓ βK␈εα)␈↓ βq␈εα=␈α
(␈↓ ∧+␈ελv␈↓ ∧T␈ελx␈↓ ¬↓␈εα)␈↓ ¬$␈εα+␈αλ(␈↓ ¬\␈ελv␈↓ ε1␈ελx␈↓ π	␈εα)␈↓ π,␈εα+␈↓ πX␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ
␈εα+␈αλ(␈↓ λB␈ελv␈↓ λ`␈εα)
␈β	$␈↓ ∧:␈εm␈↓ ¬l␈εm␈↓ εε␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λR␈ε¬0
␈β	F␈↓ ∧[␈εm␈↓ ∧u␈εp␈↓ ε ␈ε¬(␈↓ ε)␈εm␈↓ εC␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈↓ εx␈εp␈↓ 	5␈εp
␈β	M␈↓ βq␈εα=␈↓ ∧∨␈ελv␈↓ ∧H␈ελx␈↓ ¬␈εα+␈↓ ¬8␈ελv␈↓ ε
␈ελx␈↓ π∂␈εα+␈↓ π;␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πm␈εα+␈↓ λ→␈ελv␈↓ λL␈εα=␈↓ 	∧␈ελv␈↓ 	⊗␈εα(␈↓ 	"␈ελx␈↓ 	D␈εα).
␈β	Z␈↓ ∧.␈εm␈↓ ¬H␈εm␈↓ ¬b␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ)␈ε¬0
␈β
~␈↓ ↓H␈εαThis␈αpro␈α␈v␈α␈es␈α(5).
␈β
E␈↓ α␈εαThe␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
remarks␈α	sho␈α␈w␈α
that␈α
the␈α
problem␈α	of␈α
factoring␈α
a␈α
polynomial␈α	reduces
␈β
p␈↓ ↓H␈εαto␈αλthe␈α	problem␈α	of␈α	factoring␈αλa␈α	squarefree␈α	polynomial.␈αLet␈αλus␈α	therefore␈α	assume␈αλthat
␈βA␈↓ ∧t␈ελu␈↓ ¬
␈εα(␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ¬)␈εα)␈α
=␈↓ ¬m␈ελp␈↓ ε␈εα(␈↓ ε_␈ελx␈↓ ε+␈εα)␈↓ ε7␈ελp␈↓ εV␈εα(␈↓ εb␈ελx␈↓ εu␈εα)␈↓ ππ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π7␈ελp␈↓ πU␈εα(␈↓ πa␈ελx␈↓ πt␈εα)␈↓ α␈εα(6)
␈βO␈↓ ¬}␈ε¬1␈↓ εH␈ε¬2␈↓ πH␈εr
␈β∩␈↓ ↓H␈εαis␈α
the␈α
product␈α
of␈α
distinct␈α
primes.␈α∂Ho␈α␈w␈α
can␈α
w␈α␈e␈α
be␈αclev␈α␈er␈α
enough␈α
to␈α
disco␈α␈v␈α␈er␈α
the
␈β=␈↓ ↓H␈ελp␈↓ ↓f␈εα(␈↓ ↓r␈ελx␈↓ α¬␈εα)'s␈αwhen␈αonly␈↓ βc␈ελu␈↓ βy␈εα(␈↓ ∧¬␈ελx␈↓ ∧_␈εα)␈αis␈αgiv␈α␈en?␈α
Berlekamp's␈αidea␈αis␈αto␈α
mak␈α␈e␈αuse␈αof␈αthe␈αChinese
␈βK␈↓ ↓Y␈εj
␈βi␈↓ ↓H␈εαremainder␈αtheorem,␈αwhich␈αis␈αvalid␈αfor␈αpolynomials␈αjust␈αas␈αit␈αis␈αvalid␈αfor␈αin␈α␈tegers
␈β
∀␈↓ ↓H␈εα(see␈α∂ex␈α␈ercise␈α∂3).␈α∃If␈α∂(␈↓ ∧	␈ελs␈↓ ∧#␈εα,␈↓ ∧3␈ελs␈↓ ∧M␈εα,␈↓ ∧]␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬
␈εα,␈↓ ¬≥␈ελs␈↓ ¬7␈εα)␈α∂is␈α∂an␈α␈y␈↓ εA␈ελr␈↓ εP␈εα-tuple␈α∂of␈α∂in␈α␈tegers␈α∂mod␈↓ 	C␈ελp␈↓ 	V␈εα,␈α∂the␈α∂Chinese
␈β
!␈↓ ∧∃␈ε¬1␈↓ ∧?␈ε¬2␈↓ ¬)␈εr
␈β
?␈↓ ↓H␈εαremainder␈αtheorem␈αimplies␈αthat␈ε∂␈αthere␈αis␈αa␈αunique␈αpolynomial␈↓ 	∩␈ελv␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈ε∂␈αsuch␈αthat
␈β
p␈↓ ∧∧␈ε↓␈␈↓ ¬\␈ε↓↓␈↓ λ%␈ε↓␈␈↓ 	|␈ε↓↓
␈β∞⊂␈↓ α`␈ελv␈↓ αs␈εα(␈↓ α␈␈ελx␈↓ β∩␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈↓ βV␈ελs␈↓ ∧∩␈εαmodulo␈↓ ¬∩␈ελp␈↓ ¬1␈εα(␈↓ ¬=␈ελx␈↓ ¬P␈εα)␈↓ ¬j␈εα,␈↓ ε≡␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εN␈εα,␈↓ πα␈ελv␈↓ π∃␈εα(␈↓ π!␈ελx␈↓ π4␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈↓ πx␈ελs␈↓ λ3␈εαmodulo␈↓ 	3␈ελp␈↓ 	Q␈εα(␈↓ 	]␈ελx␈↓ 	p␈εα)␈↓ 

␈εα,
␈β∞≥␈↓ βb␈ε¬1␈↓ ¬#␈ε¬1␈↓ λ∧␈εr␈↓ 	D␈εr
␈β∞)␈↓ α␈εα(7)
␈β∞F␈↓ β∀␈εαdeg␈↓ βJ␈εα(␈↓ βV␈ελv␈↓ βi␈εα)␈α
<␈↓ ∧-␈εαdeg␈↓ ∧c␈εα(␈↓ ∧o␈ελp␈↓ ¬∞␈εα)␈αλ+␈↓ ¬N␈εαdeg␈↓ ε∧␈εα(␈↓ ε⊂␈ελp␈↓ ε0␈εα)␈αλ+␈↓ εp␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π"␈εα+␈↓ πN␈εαdeg␈↓ λ∧␈εα(␈↓ λ⊂␈ελp␈↓ λ.␈εα)␈α
=␈↓ λr␈εαdeg␈↓ 	(␈εα(␈↓ 	4␈ελu␈↓ 	J␈εα).
␈β∞S␈↓ ¬␈ε¬1␈↓ ε!␈ε¬2␈↓ λ!␈εr
␈β∞w␈↓ ∧←␈ε↓␈␈↓ ε)␈ε↓↓
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαThe␈αλnotation␈↓ β≠␈ελg␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βK␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈↓ ∧∂␈ελh␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ∧-␈ελx␈↓ ∧?␈εα)␈↓ ∧m␈εαmodulo␈↓ ¬m␈ελf␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ ε␈ελx␈↓ ε≥␈εα)␈↓ ε@␈εαthat␈α	appears␈αλhere␈α	is␈α	the␈αλsame␈α	as␈α	\␈↓ 
C␈ελg␈↓ 
T␈εα(␈↓ 
`␈ελx␈↓ 
r␈εα)␈ε⊗␈α
⊃
␈β∂#␈↓ α␈ε↓␈␈↓ ∧,␈ε↓↓
␈β∂B␈↓ ↓H␈ελh␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓x␈εα)␈↓ α~␈εαmodulo␈↓ β∃␈ελf␈↓ β&␈εα(␈↓ β2␈ελx␈↓ βE␈εα)␈αλand␈↓ ∧~␈ελp␈↓ ∧:␈εα"␈αλin␈απex␈α␈ercise␈αλ3.2.2↑11,␈αλsince␈απw␈α␈e␈αλare␈απconsidering␈απpolynomial
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαarithmetic␈α∞modulo␈↓ β{␈ελp␈↓ ∧
␈εα.␈α∪The␈α∂polynomial␈↓ ε3␈ελv␈↓ εF␈εα(␈↓ εR␈ελx␈↓ εe␈εα)␈α∞in␈α∂(7)␈α∞giv␈α␈es␈α∂us␈α∞a␈α∂way␈α∞to␈α∂get␈α∞at␈α∞the
␈β∂y␈↓ λ/␈ε↓␈␈↓ 
∪␈ε↓↓
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαfactors␈α	of␈↓ αc␈ελu␈↓ αx␈εα(␈↓ β∧␈ελx␈↓ β↔␈εα),␈α
for␈α	if␈↓ ∧␈ελr␈↓ ∧&␈ε⊗∃␈εα␈α
2␈α	and␈↓ ¬2␈ελs␈↓ ¬W␈ε⊗≤␈↓ ε¬␈ελs␈↓ ε∨␈εα,␈α
w␈α␈e␈α
will␈α	hav␈α␈e␈↓ πy␈εαgcd␈↓ λ=␈ελu␈↓ λS␈εα(␈↓ λ←␈ελx␈↓ λr␈εα),␈↓ 	∞␈ελv␈↓ 	!␈εα(␈↓ 	-␈ελx␈↓ 	?␈εα)␈ε⊗␈α¬␈␈↓ 	y␈ελs␈↓ 
*␈εαdivisible
␈β⊂&␈↓ ¬>␈ε¬1␈↓ ε⊃␈ε¬2␈↓ 
¬␈ε¬1
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαby␈↓ ↓|␈ελp␈↓ α≠␈εα(␈↓ α'␈ελx␈↓ α:␈εα)␈αbut␈αnot␈αby␈↓ ∧λ␈ελp␈↓ ∧'␈εα(␈↓ ∧3␈ελx␈↓ ∧F␈εα).
␈β⊂Q␈↓ α
␈ε¬1␈↓ ∧→␈ε¬2
␈β⊂o␈↓ α␈εαSince␈αthis␈αobservation␈αsho␈α␈ws␈αthat␈αw␈α␈e␈αcan␈αget␈αinformation␈αabout␈αthe␈αfactors
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓u␈ελu␈↓ α
␈εα(␈↓ α⊗␈ελx␈↓ α)␈εα)␈α∂from␈α∂appropriate␈α∂solutions␈↓ ¬{␈ελv␈↓ ε∞␈εα(␈↓ ε~␈ελx␈↓ ε,␈εα)␈α∂of␈α∂(7),␈α⊂let␈α∂us␈α∂analyze␈α∂(7)␈α∂more␈α∞closely.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα410␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα&␈↓ ↓H␈εαIn␈αthe␈α|rst␈αplace␈αw␈α␈e␈αcan␈αobserv␈α␈e␈αthat␈αthe␈αpolynomial␈↓ λ⊂␈ελv␈↓ λ#␈εα(␈↓ λ/␈ελx␈↓ λB␈εα)␈αsatis|es␈αthe␈αcondition
␈βα2␈↓ ∧E␈ε↓␈␈↓ ε≤␈ε↓↓
␈βαL␈↓ α¬␈εp␈↓ α[␈εp
␈βαQ␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα)␈↓ α≡␈ε⊗⊃␈↓ αL␈ελs␈↓ αu␈εα=␈↓ β#␈ελs␈↓ βF␈ε⊗⊃␈↓ βt␈ελv␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελx␈↓ ∧%␈εα)␈↓ ∧S␈εαmodulo␈↓ ¬S␈ελp␈↓ ¬r␈εα(␈↓ ¬}␈ελx␈↓ ε⊂␈εα)␈↓ ε6␈εαfor␈α1␈ε⊗␈α
∀␈↓ π8␈ελj␈↓ πS␈ε⊗∀␈↓ λ↓␈ελr␈↓ λ⊃␈εα,␈αtherefore
␈βα←␈↓ β/␈εj␈↓ ¬d␈εj
␈βαd␈↓ α[␈εj
␈ββ⊃␈↓ ¬λ␈ε↓␈␈↓ εV␈ε↓↓
␈ββ*␈↓ βo␈εp
␈ββ0␈↓ β1␈ελv␈↓ βD␈εα(␈↓ βP␈ελx␈↓ βc␈εα)␈↓ ∧λ␈ε⊗⊃␈↓ ∧6␈ελv␈↓ ∧I␈εα(␈↓ ∧U␈ελx␈↓ ∧h␈εα)␈↓ ¬⊗␈εαmodulo␈↓ ε⊗␈ελu␈↓ ε+␈εα(␈↓ ε7␈ελx␈↓ εJ␈εα)␈↓ εd␈εα,␈↓ π<␈εαdeg␈↓ πr␈εα(␈↓ π}␈ελv␈↓ λ⊃␈εα)␈α
<␈↓ λU␈εαdeg␈↓ 	␈εα(␈↓ 	↔␈ελu␈↓ 	-␈εα).␈↓ α␈εα(8)
␈β∧	␈↓ ↓H␈εαIn␈αthe␈αsecond␈αplace␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈αthe␈αbasic␈αpolynomial␈αiden␈α␈tity
␈β∧B␈↓ ε@␈ε↓␈␈↓ λε␈ε↓↓
␈β∧[␈↓ β≠␈εp
␈β∧a␈↓ βλ␈ελx␈↓ β2␈ε⊗␈␈↓ β↑␈ελx␈↓ β{␈ε⊗⊃␈εα␈α
(␈↓ ∧5␈ελx␈↓ ∧P␈ε⊗␈␈εα␈αλ0)(␈↓ ¬&␈ελx␈↓ ¬@␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ ε⊂␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εN␈ελx␈↓ εi␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ π!␈ελp␈↓ π<␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ λB␈εα(modulo␈↓ 	N␈ελp␈↓ 	`␈εα)␈↓ α␈εα(9)
␈β¬:␈↓ ↓H␈εα(see␈αex␈α␈ercise␈α6);␈αhence
␈β¬s␈↓ ∧|␈ε↓␈␈↓ ε
␈ε↓↓␈↓ ε≠␈ε↓␈␈↓ π-␈ε↓↓␈↓ πq␈ε↓␈␈↓ 	a␈ε↓↓
␈βε␈↓ βC␈εp
␈βε∩␈↓ β¬␈ελv␈↓ β_␈εα(␈↓ β$␈ελx␈↓ β7␈εα)␈↓ βZ␈ε⊗␈␈↓ ∧ε␈ελv␈↓ ∧→␈εα(␈↓ ∧%␈ελx␈↓ ∧8␈εα)␈α
=␈↓ ¬
␈ελv␈↓ ¬≤␈εα(␈↓ ¬(␈ελx␈↓ ¬;␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ0␈↓ ε)␈ελv␈↓ ε<␈εα(␈↓ εH␈ελx␈↓ ε[␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ1␈↓ πA␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π␈␈ελv␈↓ λ∩␈εα(␈↓ λ≡␈ελx␈↓ λ0␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈εα␈αλ(␈↓ λ|␈ελp␈↓ 	↔␈ε⊗␈␈εα␈αλ1)␈↓ 
p␈εα(10)
␈βεk␈↓ ↓H␈εαis␈α
an␈α∞iden␈α␈tity␈α∞for␈α
an␈α␈y␈α∞polynomial␈↓ ¬f␈ελv␈↓ ¬y␈εα(␈↓ ε¬␈ελx␈↓ ε↔␈εα),␈α∞when␈α∞w␈α␈e␈α∞are␈α
w␈α␈orking␈α∞modulo␈↓ 
≤␈ελp␈↓ 
.␈εα.␈α⊃If␈↓ 
o␈ελv␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈βπ⊗␈↓ ↓H␈εαsatis|es␈α∞(8),␈α∂it␈α∂follo␈α␈ws␈α∞that␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬↔␈εα(␈↓ ¬#␈ελx␈↓ ¬6␈εα)␈α∂divides␈α∞the␈α∂left-hand␈α∞side␈α∂of␈α∞(10),␈α∂so␈α∂ev␈α␈ery␈α∞ir-
␈βπA␈↓ ↓H␈εαreducible␈αfactor␈α
of␈↓ βu␈ελu␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧↔␈ελx␈↓ ∧*␈εα)␈αm␈α␈ust␈α
divide␈α
one␈αof␈α
the␈↓ π4␈ελp␈↓ πS␈εαrelativ␈α␈ely␈α
prime␈αfactors␈α
of␈αthe
␈βπm␈↓ ↓H␈εαrigh␈α␈t-hand␈α
side␈αof␈α(10).␈αIn␈αother␈α
w␈α␈ords,␈ε∂␈αall␈εα␈αsolutions␈αof␈α
(8)␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈α
the␈αform␈α
of
␈βλ∪␈↓ π_␈εr
␈βλ_␈↓ ↓H␈εα(7),␈αfor␈αsome␈↓ β~␈ελs␈↓ β4␈εα,␈↓ βJ␈ελs␈↓ βd␈εα,␈↓ βz␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧*␈εα,␈↓ ∧@␈ελs␈↓ ∧Z␈εα;␈ε∂␈αthere␈αare␈αexactly␈↓ πε␈ελp␈↓ π1␈ε∂solutions␈αof␈εα␈α(8).
␈βλ%␈↓ β&␈ε¬1␈↓ βV␈ε¬2␈↓ ∧L␈εr
␈βλD␈↓ α␈εαThe␈α
solutions␈↓ βg␈ελv␈↓ βz␈εα(␈↓ ∧ε␈ελx␈↓ ∧→␈εα)␈α	to␈α
congruence␈α	(8)␈α
therefore␈α
pro␈α␈vide␈α	a␈α
k␈α␈ey␈α	to␈α
the␈α	factoriza-
␈βλo␈↓ ↓H␈εαtion␈α
of␈↓ α>␈ελu␈↓ αT␈εα(␈↓ α`␈ελx␈↓ αr␈εα).␈α⊂It␈α
may␈α
seem␈α
harder␈α
to␈α
|nd␈α
all␈α
solutions␈α
to␈α∞(8)␈α
than␈α
to␈α
factor␈↓ 
l␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β	~␈↓ ↓H␈εαin␈α
the␈α|rst␈α
place,␈α∞but␈αin␈α
fact␈α
this␈α
is␈α
not␈α
true,␈α
since␈α
the␈α
set␈α
of␈α
solutions␈α
to␈α
(8)␈αis
␈β	E␈↓ ↓H␈εαclosed␈αunder␈αaddition.␈αLet␈αdeg(␈↓ ¬4␈ελu␈↓ ¬I␈εα)␈α
=␈↓ ε
␈ελn␈↓ ε#␈εα;␈αw␈α␈e␈αcan␈αconstruct␈αthe␈↓ 	␈ελn␈↓ 	*␈ε⊗α␈↓ 	V␈ελn␈↓ 	w␈εαmatrix
␈β	}␈↓ ∧R␈ε↓0␈↓ λ\␈ε↓1
␈β
⊗␈↓ ¬π␈ελq␈↓ ε␈ελq␈↓ εy␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π↑␈ελq
␈β
$␈↓ ¬∀␈ε¬0␈α↓,0␈↓ ε→␈ε¬0,1␈↓ πk␈ε¬0␈α↓,␈↓ λα␈εn␈↓ λ∀␈ε→␈␈ε¬␈α␈1
␈β
=␈↓ ¬≠␈εα.␈↓ ε ␈εα.␈↓ λ
␈εα.
␈β
?␈↓ ∧R␈ε↓B␈↓ λ\␈ε↓C
␈β
L␈↓ ¬≠␈εα.␈↓ ε ␈εα.␈↓ λ
␈εα.
␈β
T␈↓ ∧␈ελQ␈↓ ∧$␈εα=␈↓ 
p␈εα(11)
␈β
U␈↓ ∧R␈ε↓@␈↓ λ\␈ε↓A
␈β
Z␈↓ ¬≠␈εα.␈↓ ε ␈εα.␈↓ λ
␈εα.
␈β¬␈↓ ∧p␈ελq␈↓ ¬t␈ελq␈↓ εy␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πG␈ελq
␈β∪␈↓ ∧⎇␈εn␈↓ ¬∂␈ε→␈␈ε¬1,0␈↓ ε↓␈εn␈↓ ε∪␈ε→␈␈ε¬1␈α↓,1␈↓ πT␈εn␈↓ πf␈ε→␈␈ε¬1,␈↓ λ→␈εn␈↓ λ+␈ε→␈␈ε¬1
␈β`␈↓ ↓H␈εαwhere
␈βn␈↓ λ↓␈ε↓␈␈↓ 	O␈ε↓↓
␈βλ␈↓ β ␈εp␈↓ β/␈εk␈↓ ∧i␈εn␈↓ ∧{␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞␈↓ β
␈ελx␈↓ βG␈ε⊗⊃␈↓ βu␈ελq␈↓ ∧V␈ελx␈↓ ¬.␈εα+␈↓ ¬Z␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε␈εα+␈↓ ε8␈ελq␈↓ εj␈ελx␈↓ π¬␈εα+␈↓ π1␈ελq␈↓ λ∂␈εαmodulo␈↓ 	∂␈ελu␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈↓ 	]␈εα.␈↓ 
p␈εα(12)
␈β≠␈↓ ∧α␈εk␈↓ ∧⊃␈ε¬,␈↓ ∧→␈εn␈↓ ∧+␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εE␈εk␈↓ εT␈ε¬,1␈↓ π>␈εk␈↓ πL␈ε¬,0
␈βO␈↓ β{␈εn␈↓ ∧
␈ε→␈␈ε¬1
␈βT␈↓ ↓H␈εαThen␈↓ α&␈ελv␈↓ α8␈εα(␈↓ αD␈ελx␈↓ αW␈εα)␈α
=␈↓ β≠␈ελv␈↓ βh␈ελx␈↓ ∧@␈εα+␈↓ ∧l␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬≡␈εα+␈↓ ¬J␈ελv␈↓ ¬h␈ελx␈↓ εβ␈εα+␈↓ ε/␈ελv␈↓ εY␈εαis␈αa␈αsolution␈αto␈α(8)␈αif␈αand␈αonly␈αif
␈βb␈↓ β+␈εn␈↓ β=␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬Z␈ε¬1␈↓ ε?␈ε¬0
␈β
-␈↓ ∧␈εα(␈↓ ∧↔␈ελv␈↓ ∧5␈εα,␈↓ ∧E␈ελv␈↓ ∧c␈εα,␈↓ ∧s␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬#␈εα,␈↓ ¬3␈ελv␈↓ ε␈εα)␈↓ ε␈ελQ␈↓ ε0␈εα=␈α
(␈↓ εj␈ελv␈↓ πλ␈εα,␈↓ π_␈ελv␈↓ π6␈εα,␈↓ πF␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πv␈εα,␈↓ λε␈ελv␈↓ λS␈εα);␈↓ 
p␈εα(13)
␈β
:␈↓ ∧&␈ε¬0␈↓ ∧U␈ε¬1␈↓ ¬C␈εn␈↓ ¬U␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εz␈ε¬0␈↓ π(␈ε¬1␈↓ λ⊗␈εn␈↓ λ(␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞¬␈↓ ↓H␈εαfor␈αthe␈αlatter␈αequation␈αholds␈αif␈αand␈αonly␈αif
␈β∞;␈↓ β␈ε↓X␈↓ ∧5␈ε↓X␈↓ ∧o␈ε↓X␈↓ ε\␈ε↓X
␈β∞>␈↓ 	β␈ε↓␈␈↓ 
R␈ε↓↓
␈β∞X␈↓ βp␈εj␈↓ ε↔␈εj␈↓ πM␈εp␈↓ π\␈εk␈↓ λT␈εp
␈β∞↑␈↓ α
␈ελv␈↓ α≥␈εα(␈↓ α)␈ελx␈↓ α<␈εα)␈α
=␈↓ β:␈ελv␈↓ β]␈ελx␈↓ ∧π␈εα=␈↓ ¬)␈ελv␈↓ ¬M␈ελq␈↓ ε∧␈ελx␈↓ ε.␈ε⊗⊃␈↓ π⊗␈ελv␈↓ π:␈ελx␈↓ πu␈εα=␈↓ λ#␈ελv␈↓ λ5␈εα(␈↓ λA␈ελx␈↓ λc␈εα)␈↓ 	⊃␈εαmodulo␈↓ 
⊃␈ελu␈↓ 
'␈εα(␈↓ 
3␈ελx␈↓ 
F␈εα)␈↓ 
`␈εα.
␈β∞k␈↓ βJ␈εj␈↓ ¬9␈εk␈↓ ¬Z␈εk␈↓ ¬i␈ε¬,␈↓ ¬q␈εj␈↓ π&␈εk
␈β∂∂␈↓ β∪␈εj␈↓ ∧H␈εj␈↓ ¬↓␈εk␈↓ εo␈εk
␈β∂T␈↓ α␈εαBerlekamp's␈αfactoring␈αalgorithm␈αtherefore␈αproceeds␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β∂m␈↓ εu␈ε↓␈␈↓ λ≠␈ε↓↓
␈β⊂λ␈↓ πi␈ε→0
␈β⊂
␈↓ ↓L␈ε∩B1.␈↓ α␈εαEnsure␈απthat␈↓ βI␈ελu␈↓ β←␈εα(␈↓ βk␈ελx␈↓ β⎇␈εα)␈αλis␈απsquarefree;␈α	i.e.,␈α	if␈↓ ε?␈εαgcd␈↓ πβ␈ελu␈↓ π→␈εα(␈↓ π%␈ελx␈↓ π8␈εα),␈↓ πT␈ελu␈↓ πp␈εα(␈↓ π|␈ελx␈↓ λ∂␈εα)␈↓ λ3␈ε⊗≤␈εα␈α
1,␈α	reduce␈απthe␈απproblem
␈β⊂8␈↓ α␈εαof␈αfactoring␈↓ βN␈ελu␈↓ βd␈εα(␈↓ βp␈ελx␈↓ ∧α␈εα),␈αas␈αstated␈αearlier␈αin␈αthis␈αsection.
␈β⊂q␈↓ ↓L␈ε∩B2.␈↓ α␈εαForm␈αthe␈α
matrix␈↓ ∧≡␈ελQ␈↓ ∧C␈εαde|ned␈αby␈α
(11)␈αand␈α(12).␈αThis␈αcan␈αbe␈αdone␈α
in␈αone␈αof␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈β⊃≤␈↓ α␈εαways,␈αdepending␈αon␈αwhether␈αor␈αnot␈↓ εD␈ελp␈↓ εb␈εαis␈αv␈α␈ery␈αlarge,␈αas␈αexplained␈αbelo␈α␈w.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα411
␈βα%␈↓ ↓L␈ε∩B3.␈↓ α␈εα\Triangularize"␈α∂the␈α⊂matrix␈↓ ¬L␈ελQ␈↓ ¬q␈ε⊗␈␈↓ ε∨␈ελI␈↓ ε/␈εα,␈α⊂where␈↓ π5␈ελI␈↓ πU␈εα=␈α∂(␈↓ λ∀␈ελ∞␈↓ λ:␈εα)␈α∂is␈α⊂the␈↓ 	>␈ελn␈↓ 	↑␈ε⊗α␈↓ 
␈ελn␈↓ 
1␈εαiden␈α␈tity
␈βα2␈↓ λ!␈εi␈↓ λ-␈εj
␈βαK␈↓ ∧␈ε¬[1]
␈βαP␈↓ α␈εαmatrix,␈α|nding␈αits␈αrank␈↓ ¬	␈ελn␈↓ ¬&␈ε⊗␈␈↓ ¬R␈ελr␈↓ ¬m␈εαand␈α|nding␈αlinearly␈αindependen␈α␈t␈αv␈α␈ectors␈↓ 
q␈ελv␈↓ "␈εα,
␈βα\␈↓ 	.␈ε↓␈
␈βαv␈↓ αc␈ε¬[␈↓ αk␈εr␈↓ αy␈ε¬]␈↓ ∧9␈ε¬[␈↓ ∧A␈εj␈↓ ∧N␈ε¬]
␈βα{␈↓ α␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α<␈εα,␈↓ αP␈ελv␈↓ β
␈εαsuch␈α
that␈↓ ∧&␈ελv␈↓ ∧V␈εα(␈↓ ∧b␈ελQ␈↓ ¬α␈ε⊗␈␈↓ ¬+␈ελI␈↓ ¬;␈εα)␈α
=␈α
(0,␈αε0,␈↓ εO␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈␈εα,␈αε0)␈α
for␈α
1␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ7␈ελj␈↓ λQ␈ε⊗∀␈↓ λ␈␈ελr␈↓ 	∂␈εα.␈↓ 	<␈εαThe␈α	|rst␈α
v␈α␈ector
␈ββ&␈↓ α∨␈ε¬[1]
␈ββ,␈↓ α␈ελv␈↓ αM␈εαmay␈α⊂always␈α⊂be␈α⊂tak␈α␈en␈α⊂as␈α⊂(1,␈αε0,␈↓ ε6␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εf␈εα,␈αε0),␈α⊃represen␈α␈ting␈α⊂the␈α⊂trivial␈α⊂solution
␈ββR␈↓ α∨␈ε¬[1]
␈ββW␈↓ α␈ελv␈↓ α=␈εα(␈↓ αI␈ελx␈↓ α\␈εα)␈α=␈α1␈α
to␈α
(8).␈α∂The␈α∞\triangularization"␈α
needed␈α
in␈α
this␈α
step␈α
can␈α
be␈α
done
␈ββb␈↓ 
h␈ε↓↓
␈β∧α␈↓ α␈εαusing␈απappropriate␈αλcolumn␈απoperations,␈αλas␈αλexplained␈απin␈αλAlgorithm␈απN␈απbelo␈α␈w.␈↓ ∧␈ε∂At
␈β∧-␈↓ α␈ε∂this␈α	poin␈α␈t,␈↓ β3␈ελr␈↓ βK␈ε∂is␈α	the␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈α	irreducible␈αλfactors␈α	of␈↓ λ∀␈ελu␈↓ λ)␈εα(␈↓ λ5␈ελx␈↓ λH␈εα),␈α	because␈α	the␈αλsolutions
␈β∧S␈↓ βr␈εr␈↓ 	?␈ε¬[1]␈↓ ∂␈ε¬[␈↓ ↔␈εr␈↓ $␈ε¬]
␈β∧X␈↓ α␈εαto␈α
(8)␈α
are␈α
the␈↓ β`␈ελp␈↓ ∧
␈εαpolynomials␈α
corresponding␈α
to␈α
the␈α
v␈α␈ectors␈↓ 	∪␈ελt␈↓ 	,␈ελv␈↓ 	b␈εα+␈↓ 
␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
;␈εα+␈↓ 
d␈ελt␈↓ 
|␈ελv
␈β∧f␈↓ 	≥␈ε¬1␈↓ 
o␈εr
␈β¬∧␈↓ α␈εαfor␈α∞all␈α∞choices␈α∞of␈α∞in␈α␈tegers␈α∞0␈ε⊗␈α∞∀␈↓ ¬z␈ελt␈↓ ε∀␈εα,␈↓ ε$␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ εT␈εα,␈↓ εd␈ελt␈↓ π	␈εα<␈↓ π;␈ελp␈↓ πM␈εα.␈α∩Therefore␈α∞if␈↓ 	4␈ελr␈↓ 	Q␈εα=␈α
1␈α∞w␈α␈e␈α∞kno␈α␈w
␈β¬⊃␈↓ ε¬␈ε¬1␈↓ εn␈εr
␈β¬/␈↓ α␈εαthat␈↓ αZ␈ελu␈↓ αp␈εα(␈↓ α|␈ελx␈↓ β∞␈εα)␈αis␈αirreducible,␈αand␈αthe␈αprocedure␈αterminates.
␈β¬A␈↓ βa␈ε↓␈␈↓ ¬V␈ε↓↓
␈β¬\␈↓ ∧R␈ε¬[2␈α↓]␈↓ λQ␈ε¬[2]
␈β¬a␈↓ ↓L␈ε∩B4.␈↓ α␈εαCalculate␈↓ β+␈εαgcd␈↓ βo␈ελu␈↓ ∧¬␈εα(␈↓ ∧⊃␈ελx␈↓ ∧#␈εα),␈↓ ∧?␈ελv␈↓ ∧q␈εα(␈↓ ∧⎇␈ελx␈↓ ¬∂␈εα)␈ε⊗␈α∧␈␈↓ ¬G␈ελs␈↓ ¬m␈εαfor␈α	0␈ε⊗␈α
∀␈↓ εl␈ελs␈↓ π¬␈εα<␈↓ π3␈ελp␈↓ πE␈εα,␈α
where␈↓ λ>␈ελv␈↓ λo␈εα(␈↓ λ{␈ελx␈↓ 	∞␈εα)␈α	is␈α	the␈αλpolynomial
␈βε␈↓ ¬π␈ε¬[2␈α↓]
␈βε⊃␈↓ α␈εαrepresen␈α␈ted␈α∂by␈α∂v␈α␈ector␈↓ ∧t␈ελv␈↓ ¬&␈εα.␈α∀The␈α∂result␈α∂will␈α∞be␈α∂a␈α∂non␈α␈trivial␈α∂factorization␈α∞of
␈βε7␈↓ βy␈ε¬[2]
␈βε<␈↓ α␈ελu␈↓ α"␈εα(␈↓ α.␈ελx␈↓ α@␈εα),␈αbecause␈↓ βf␈ελv␈↓ ∧↔␈εα(␈↓ ∧#␈ελx␈↓ ∧6␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ∧v␈ελs␈↓ ¬⊂␈εαis␈αnonzero␈αand␈αhas␈αdegree␈αless␈αthan␈αdeg(␈↓ 
π␈ελu␈↓ 
≥␈εα),␈αand␈αby
␈βεh␈↓ α␈εαex␈α␈ercise␈α7␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e
␈βπ
␈↓ ¬j␈ε↓Y
␈βπ∞␈↓ εo␈ε↓␈␈↓ λT␈ε↓↓
␈βπ-␈↓ ∧W␈ελu␈↓ ∧l␈εα(␈↓ ∧x␈ελx␈↓ ¬␈εα)␈α
=␈↓ ε9␈εαgcd␈↓ ε⎇␈ελv␈↓ π⊂␈εα(␈↓ π≤␈ελx␈↓ π.␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ πn␈ελs␈↓ π⎇␈εα,␈↓ λ∪␈ελu␈↓ λ)␈εα(␈↓ λ5␈ελx␈↓ λH␈εα)␈↓ 
p␈εα(14)
␈βπ←␈↓ ¬O␈ε¬0␈ε→␈α↓∀␈↓ ¬z␈εs␈↓ επ␈ε¬<␈↓ ε$␈εp
␈βλ+␈↓ α␈εαwhenev␈α␈er␈↓ β+␈ελv␈↓ β>␈εα(␈↓ βJ␈ελx␈↓ β]␈εα)␈αsatis|es␈α(8).
␈βλQ␈↓ ∧≠␈ε¬[2]
␈βλV␈↓ αP␈εαIf␈αλthe␈απuse␈αλof␈↓ ∧λ␈ελv␈↓ ∧9␈εα(␈↓ ∧E␈ελx␈↓ ∧X␈εα)␈αλdoes␈απnot␈απsucceed␈αλin␈απsplitting␈↓ λ∨␈ελu␈↓ λ4␈εα(␈↓ λ@␈ελx␈↓ λS␈εα)␈απin␈α␈to␈↓ 	+␈ελr␈↓ 	B␈εαfactors,␈αλfurther
␈βλa␈↓ π*␈ε↓␈␈↓ 	4␈ε↓↓
␈βλ|␈↓ πK␈ε¬[␈↓ πS␈εk␈↓ πb␈ε¬]
␈β	↓␈↓ α␈εαfactors␈αcan␈α
be␈αobtained␈α
by␈αcalculating␈↓ εt␈εαgcd␈↓ π8␈ελv␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελx␈↓ λ	␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ λI␈ελs␈↓ λX␈εα,␈↓ λn␈ελw␈↓ 		␈εα(␈↓ 	∃␈ελx␈↓ 	(␈εα)␈↓ 	N␈εαfor␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ 
R␈ελs␈↓ 
k␈εα<␈↓ ~␈ελp
␈β	,␈↓ α␈εαand␈αλall␈απfactors␈↓ βm␈ελw␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελx␈↓ ∧&␈εα)␈αλfound␈απso␈αλfar,␈αλfor␈↓ ε5␈ελk␈↓ εP␈εα=␈α
3,␈α	4,␈↓ πG␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πw␈εα,␈α	un␈α␈til␈↓ λZ␈ελr␈↓ λq␈εαfactors␈αλare␈απobtained.
␈β	8␈↓ α␈ε↓␈
␈β	W␈↓ α~␈εαIf␈α	w␈α␈e␈α
choose␈↓ β]␈ελs␈↓ β␈␈ε⊗≤␈↓ ∧-␈ελs␈↓ ∧O␈εαin␈α
(7),␈α
w␈α␈e␈α	obtain␈α	a␈α
solution␈↓ πu␈ελv␈↓ λλ␈εα(␈↓ λ∀␈ελx␈↓ λ'␈εα)␈α	to␈α
(8)␈α	that␈α	distinguishes
␈β	e␈↓ βi␈εi␈↓ ∧9␈εj
␈β
β␈↓ ¬␈ε¬[␈↓ ¬λ␈εk␈↓ ¬↔␈ε¬]
␈β
λ␈↓ α␈ελp␈↓ α)␈εα(␈↓ α5␈ελx␈↓ αG␈εα)␈αfrom␈↓ β5␈ελp␈↓ βS␈εα(␈↓ β←␈ελx␈↓ βr␈εα);␈αsome␈↓ ∧n␈ελv␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελx␈↓ ¬>␈εα)␈ε⊗␈απ␈␈↓ ¬⎇␈ελs␈↓ ε_␈εαwill␈αbe␈αdivisible␈αby␈↓ λM␈ελp␈↓ λj␈εα(␈↓ λv␈ελx␈↓ 	λ␈εα)␈αand␈αnot␈αby␈↓ 
Y␈ελp␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈β
∪␈↓ λl␈ε↓↓
␈β
∃␈↓ α≥␈εi␈↓ βF␈εj␈↓ λ↑␈εi␈↓ 
j␈εj
␈β
3␈↓ α␈εαso␈αthis␈αprocedure␈αwill␈αev␈α␈en␈α␈tually␈α|nd␈αall␈αof␈αthe␈αfactors.
␈β
8␈↓ 	"␈∧
8	"≠∂
␈β
l␈↓ α␈εαAs␈αan␈αexample␈αof␈αthis␈αprocedure,␈αlet␈αus␈αno␈α␈w␈αdetermine␈αthe␈αfactorization␈αof
␈β,␈↓ ∧R␈ε¬8␈↓ ¬'␈ε¬6␈↓ ε ␈ε¬4␈↓ π→␈ε¬3␈↓ λ␈ε¬2
␈β2␈↓ βF␈ελu␈↓ β\␈εα(␈↓ βh␈ελx␈↓ β{␈εα)␈α
=␈↓ ∧?␈ελx␈↓ ∧h␈εα+␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬=␈εα+␈αλ10␈↓ ε
␈ελx␈↓ ε6␈εα+␈αλ10␈↓ πε␈ελx␈↓ π0␈εα+␈αλ8␈↓ πn␈ελx␈↓ λ↔␈εα+␈αλ2␈↓ λU␈ελx␈↓ λp␈εα+␈αλ8␈↓ 
p␈εα(15)
␈βx␈↓ ↓H␈εαmodulo␈αλ13.␈α∩(This␈α	polynomial␈αλappears␈α	in␈α	sev␈α␈eral␈α	of␈αλthe␈α	examples␈α	in␈α	Section␈αλ4.6.1.)
␈β∧␈↓ 	∩␈ε↓␈␈↓ 
8␈ε↓↓
␈β≡␈↓ 
ε␈ε→0
␈β#␈↓ ↓H␈εαA␈α⊃quick␈α∩calculation␈α⊃using␈α⊃Algorithm␈α∩4.6.1E␈α⊃sho␈α␈ws␈α∩that␈↓ λ\␈εαgcd␈↓ 	 ␈ελu␈↓ 	6␈εα(␈↓ 	B␈ελx␈↓ 	U␈εα),␈↓ 	q␈ελu␈↓ 
∞␈εα(␈↓ 
~␈ελx␈↓ 
,␈εα)␈↓ 
Y␈εα=␈α∪1;
␈βN␈↓ ↓H␈εαtherefore␈↓ α↑␈ελu␈↓ αt␈εα(␈↓ β␈ελx␈↓ β∩␈εα)␈αis␈α
squarefree,␈α
and␈αw␈α␈e␈α
turn␈α
to␈α
step␈α
B2.␈αStep␈α
B2␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈α
calculating
␈βz␈↓ ↓H␈εαthe␈↓ αε␈ελQ␈↓ α,␈εαmatrix,␈αwhich␈αin␈αthis␈αcase␈αis␈αan␈α8␈ε⊗␈α	α␈εα␈αλ8␈αarray.␈αThe␈α|rst␈αro␈α␈w␈αof␈↓ 	x␈ελQ␈↓ 
≡␈εαis␈αalways
␈β
 ␈↓ π∃␈ε¬0
␈β
%␈↓ ↓H␈εα(1,␈αε0,␈αε0,␈↓ α:␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ αj␈εα,␈αε0),␈α⊃represen␈α␈ting␈α⊂the␈α⊂polynomial␈↓ πα␈ελx␈↓ π)␈εαmod␈↓ πs␈ελu␈↓ λ	␈εα(␈↓ λ∃␈ελx␈↓ λ(␈εα)␈α⊂=␈α⊃1.␈α_The␈α⊂second␈α⊂ro␈α␈w
␈β
K␈↓ ββ␈ε¬1␈α↓3␈↓ εY␈εk
␈β
P␈↓ ↓H␈εαrepresen␈α␈ts␈↓ αq␈ελx␈↓ β&␈εαmod␈↓ βp␈ελu␈↓ ∧ε␈εα(␈↓ ∧∩␈ελx␈↓ ∧%␈εα),␈αand,␈αin␈αgeneral,␈↓ εG␈ελx␈↓ εn␈εαmod␈↓ π8␈ελu␈↓ πN␈εα(␈↓ πZ␈ελx␈↓ πl␈εα)␈αmay␈αreadily␈αbe␈αdetermined
␈β
{␈↓ ↓H␈εαas␈αfollo␈α␈ws␈α(for␈αrelativ␈α␈ely␈αsmall␈αvalues␈αof␈↓ εD␈ελk␈↓ εU␈εα):␈αIf
␈β∞;␈↓ ∧⎇␈εn␈↓ ε'␈εn␈↓ ε9␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞A␈↓ βq␈ελu␈↓ ∧π␈εα(␈↓ ∧∪␈ελx␈↓ ∧&␈εα)␈α
=␈↓ ∧j␈ελx␈↓ ¬⊗␈εα+␈↓ ¬B␈ελu␈↓ ε∀␈ελx␈↓ εl␈εα+␈↓ π_␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πJ␈εα+␈↓ πv␈ελu␈↓ λ→␈ελx␈↓ λ4␈εα+␈↓ λ`␈ελu
␈β∞N␈↓ ¬W␈εn␈↓ ¬i␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ␈ε¬1␈↓ λt␈ε¬0
␈β∂π␈↓ ↓H␈εαand␈αif
␈β∂∩␈↓ πz␈ε↓␈␈↓ 	H␈ε↓↓
␈β∂,␈↓ β'␈εk␈↓ ∧d␈εn␈↓ ∧v␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂2␈↓ β∀␈ελx␈↓ β?␈ε⊗⊃␈↓ βm␈ελa␈↓ ∧R␈ελx␈↓ ¬*␈εα+␈↓ ¬V␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ελ␈εα+␈↓ ε4␈ελa␈↓ εi␈ελx␈↓ π∧␈εα+␈↓ π0␈ελa␈↓ λλ␈εαmodulo␈↓ 	λ␈ελu␈↓ 	≥␈εα(␈↓ 	)␈ελx␈↓ 	<␈εα)␈↓ 	V␈εα,
␈β∂?␈↓ β}␈εk␈↓ ∧
␈ε¬,␈↓ ∧∃␈εn␈↓ ∧&␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εD␈εk␈↓ εS␈ε¬,1␈↓ πA␈εk␈↓ πO␈ε¬,0
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαthen
␈β⊂'␈↓ ↓y␈εk␈↓ απ␈ε¬+1␈↓ βb␈εn␈↓ ¬N␈ε¬2
␈β⊂-␈↓ ↓f␈ελx␈↓ α=␈ε⊗⊃␈↓ αk␈ελa␈↓ βO␈ελx␈↓ β|␈εα+␈↓ ∧(␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧Z␈εα+␈↓ ¬ε␈ελa␈↓ ¬;␈ελx␈↓ ¬e␈εα+␈↓ ε⊃␈ελa␈↓ εF␈ελx
␈β⊂:␈↓ α{␈εk␈↓ β
␈ε¬,␈↓ β∩␈εn␈↓ β$␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬⊗␈εk␈↓ ¬%␈ε¬,1␈↓ ε!␈εk␈↓ ε0␈ε¬,0
␈β⊂]␈↓ ∧c␈εn␈↓ ∧u␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λv␈εn␈↓ 	λ␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊂c␈↓ α=␈ε⊗⊃␈↓ αk␈ελa␈↓ βO␈εα(␈ε⊗␈␈↓ β␈␈ελu␈↓ ∧Q␈ελx␈↓ ¬)␈ε⊗␈␈↓ ¬U␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ επ␈ε⊗␈␈↓ ε3␈ελu␈↓ εU␈ελx␈↓ εp␈ε⊗␈␈↓ π≤␈ελu␈↓ π?␈εα)␈αλ+␈↓ π␈␈ελa␈↓ λd␈ελx␈↓ 	<␈εα+␈↓ 	h␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
~␈εα+␈↓ 
F␈ελa␈↓ 
{␈ελx
␈β⊂p␈↓ α{␈εk␈↓ β
␈ε¬,␈↓ β∩␈εn␈↓ β$␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧%␈ε→␈␈ε¬1␈↓ εG␈ε¬1␈↓ π1␈ε¬0␈↓ λ⊂␈εk␈↓ λ∨␈ε¬,␈↓ λ'␈εn␈↓ λ8␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 
V␈εk␈↓ 
e␈ε¬,0
␈β⊃∪␈↓ ∧
␈εn␈↓ ∧∨␈ε→␈␈ε¬1
␈β⊃→␈↓ α=␈εα=␈↓ αk␈ελa␈↓ βz␈ελx␈↓ ∧R␈εα+␈↓ ∧}␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬0␈εα+␈↓ ¬\␈ελa␈↓ ε=␈ελx␈↓ εX␈εα+␈↓ π∧␈ελa␈↓ πe␈εα,
␈β⊃&␈↓ α{␈εk␈↓ β
␈ε¬+1,␈↓ β=␈εn␈↓ βO␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬m␈εk␈↓ ¬{␈ε¬+1␈α↓,1␈↓ π∃␈εk␈↓ π#␈ε¬+1,0
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα412␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαwhere
␈βαS␈↓ ∧\␈ελa␈↓ ¬F␈εα=␈↓ ¬t␈ελa␈↓ ε\␈ε⊗␈␈↓ πλ␈ελa␈↓ πl␈ελu␈↓ λ∞␈εα.␈↓ 
p␈εα(16)
␈βαa␈↓ ∧m␈εk␈↓ ∧|␈ε¬+␈α␈1␈α↓,␈↓ ¬/␈εj␈↓ ε¬␈εk␈↓ ε∪␈ε¬,␈↓ ε≠␈εj␈↓ ε(␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π_␈εk␈↓ π'␈ε¬,␈↓ π/␈εn␈↓ πA␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ↓␈εj
␈ββ
␈↓ ↓H␈εαIn␈α
this␈α
form␈α␈ula␈↓ β9␈ελa␈↓ ∧⊗␈εαis␈α
treated␈α
as␈α
zero,␈α
so␈αthat␈↓ π'␈ελa␈↓ λ∩␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈↓ λd␈ελa␈↓ 	H␈ελu␈↓ 	k␈εα.␈αThe␈α
simple
␈ββ_␈↓ βJ␈εk␈↓ βX␈ε¬,␈ε→␈␈ε¬1␈↓ π7␈εk␈↓ πF␈ε¬+1,0␈↓ λt␈εk␈↓ 	β␈ε¬,␈↓ 	␈εn␈↓ 	≥␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	]␈ε¬0
␈ββ0␈↓ λT␈ε¬1␈↓ 		␈ε¬2␈↓ 	>␈ε¬3
␈ββ5␈↓ ↓H␈εα\shift␈α	register"␈α
recurrence␈α	(16)␈α
mak␈α␈es␈α
it␈α	easy␈α
to␈α	calculate␈↓ λA␈ελx␈↓ λb␈εα,␈↓ λv␈ελx␈↓ 	↔␈εα,␈↓ 	,␈ελx␈↓ 	M␈εα,␈↓ 	a␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
∀␈εαmod␈↓ 
b␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα).
␈ββa␈↓ ↓H␈εαInside␈α∞a␈α∞computer,␈α∞this␈α∞calculation␈α∞w␈α␈ould␈α∞of␈α∞course␈α∞be␈α∞done␈α∞by␈α∞k␈α␈eeping␈α∞a␈α∞one-
␈β∧␈↓ ↓H␈εαdimensional␈α∞array␈α∞(␈↓ β}␈ελa␈↓ ∧L␈εα,␈↓ ∧\␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈εα,␈↓ ¬≤␈ελa␈↓ ¬<␈εα,␈↓ ¬L␈ελa␈↓ ¬k␈εα)␈α∞and␈α∂repeatedly␈α∞setting␈↓ λx␈ελt␈↓ 	∀␈ε⊗ ␈↓ 	F␈ελa␈↓ 
∪␈εα,␈↓ 
-␈ελa␈↓ λ␈ε⊗ 
␈β∧→␈↓ ∧∂␈εn␈↓ ∧!␈ε→␈␈ε¬1␈↓ ¬-␈ε¬1␈↓ ¬\␈ε¬0␈↓ 	V␈εn␈↓ 	h␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 
=␈εn␈↓ 
O␈ε→␈␈ε¬1
␈β∧7␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ↓T␈ελa␈↓ α&␈ε⊗␈␈↓ αO␈ελt␈↓ α\␈ελu␈↓ β.␈εα)␈↓ β@␈εαmod␈↓ ∧
␈ελp␈↓ ∧≤␈εα,␈↓ ∧0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧`␈εα,␈↓ ∧t␈ελa␈↓ ¬≡␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈↓ ¬X␈ελa␈↓ ¬|␈ε⊗␈␈↓ ε$␈ελt␈↓ ε1␈ελu␈↓ εT␈εα)␈↓ εf␈εαmod␈↓ π0␈ελp␈↓ πC␈εα,␈↓ πW␈ελa␈↓ λ␈ε⊗ ␈εα␈α
(␈ε⊗␈␈↓ λ↑␈ελt␈↓ λk␈ελu␈↓ 	∞␈εα)␈↓ 	 ␈εαmod␈↓ 	j␈ελp␈↓ 	|␈εα.␈α∀(We␈α	hav␈α␈e
␈β∧D␈↓ ↓d␈εn␈↓ ↓v␈ε→␈␈ε¬2␈↓ αq␈εn␈↓ ββ␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈↓ ¬¬␈ε¬1␈↓ ¬h␈ε¬0␈↓ εF␈ε¬1␈↓ πh␈ε¬0␈↓ 	␈ε¬0
␈β∧b␈↓ ↓H␈εαseen␈α
similar␈α
procedures␈α
in␈α
connection␈α
with␈α
random-n␈α␈um␈α␈ber␈α
generation;␈α
cf.␈α
3.2.2↑
␈β¬
␈↓ ↓H␈εα10.)␈α_For␈αour␈αexample␈αpolynomial␈↓ ¬d␈ελu␈↓ ¬y␈εα(␈↓ ε¬␈ελx␈↓ ε_␈εα)␈αin␈α(15),␈αw␈α␈e␈αobtain␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αsequence
␈β¬4␈↓ βc␈εk
␈β¬9␈↓ ↓H␈εαof␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ βQ␈ελx␈↓ βx␈εαmod␈↓ ∧B␈ελu␈↓ ∧X␈εα(␈↓ ∧d␈ελx␈↓ ∧v␈εα),␈αusing␈αarithmetic␈αmodulo␈α13:
␈β¬k␈↓ β≤␈ελk␈↓ βl␈ελa␈↓ ∧U␈ελa␈↓ ¬>␈ελa␈↓ ε(␈ελa␈↓ π⊃␈ελa␈↓ λ␈ελa␈↓ λc␈ελa␈↓ 	D␈ελa
␈β¬y␈↓ β|␈εk␈↓ ∧␈ε¬,7␈↓ ∧f␈εk␈↓ ∧t␈ε¬,6␈↓ ¬O␈εk␈↓ ¬↑␈ε¬,5␈↓ ε8␈εk␈↓ εG␈ε¬,4␈↓ π"␈εk␈↓ π0␈ε¬,3␈↓ λ⊂␈εk␈↓ λ∨␈ε¬,2␈↓ λt␈εk␈↓ 	β␈ε¬,1␈↓ 	U␈εk␈↓ 	d␈ε¬,0
␈βε!␈↓ β≥␈εβ0␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ1
␈βεL␈↓ β≥␈εβ1␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ1␈↓ 	W␈εβ0
␈βεw␈↓ β≥␈εβ2␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ1␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βπ"␈↓ β≥␈εβ3␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βπM␈↓ β≥␈εβ4␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ1␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βπy␈↓ β≥␈εβ5␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ1␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βλ$␈↓ β≥␈εβ6␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ1␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βλO␈↓ β≥␈εβ7␈↓ ∧ε␈εβ1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ0␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	W␈εβ0
␈βλz␈↓ β≥␈εβ8␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧←␈εβ12␈↓ ¬Y␈εβ0␈↓ εB␈εβ3␈↓ π,␈εβ3␈↓ λ∃␈εβ5␈↓ λn␈εβ1␈α␈1␈↓ 	W␈εβ5
␈β	%␈↓ β≥␈εβ9␈↓ βv␈εβ1␈α␈2␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬Y␈εβ3␈↓ εB␈εβ3␈↓ π,␈εβ5␈↓ λ∧␈εβ11␈↓ λ}␈εβ5␈↓ 	W␈εβ0
␈β	Q␈↓ β
␈εβ1␈α␈0␈↓ ∧ε␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ4␈↓ ¬Y␈εβ3␈↓ εB␈εβ2␈↓ π,␈εβ8␈↓ λ∃␈εβ0␈↓ λ}␈εβ2␈↓ 	W␈εβ8
␈β	|␈↓ β
␈εβ1␈α␈1␈↓ ∧ε␈εβ4␈↓ ∧p␈εβ3␈↓ ¬Y␈εβ2␈↓ εB␈εβ8␈↓ π,␈εβ0␈↓ λ∃␈εβ2␈↓ λ}␈εβ8␈↓ 	W␈εβ0
␈β
'␈↓ β
␈εβ1␈α␈2␈↓ ∧ε␈εβ3␈↓ ∧←␈εβ11␈↓ ¬Y␈εβ8␈↓ ε2␈εβ1␈α␈2␈↓ π,␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ2␈↓ λ}␈εβ5␈↓ 	W␈εβ7
␈β
R␈↓ β
␈εβ1␈α␈3␈↓ βv␈εβ1␈α␈1␈↓ ∧p␈εβ5␈↓ ¬H␈εβ12␈↓ ε2␈εβ1␈α␈0␈↓ π≠␈εβ11␈↓ λ∃␈εβ7␈↓ λ}␈εβ1␈↓ 	W␈εβ2
␈βπ␈↓ ↓H␈εαTherefore␈α	the␈α	second␈α
ro␈α␈w␈α	of␈↓ ∧␈␈ελQ␈↓ ¬#␈εαis␈α	(2,␈αε1,␈αε7,␈αε11,␈αε10,␈αε12,␈αε5,␈αε11).␈αSimilarly␈α
w␈α␈e␈α	may␈α	deter-
␈β-␈↓ α2␈ε¬2␈α↓6␈↓ ∧N␈ε¬9␈α↓1
␈β2␈↓ ↓H␈εαmine␈↓ α ␈ελx␈↓ αU␈εαmod␈↓ β∨␈ελu␈↓ β5␈εα(␈↓ βA␈ελx␈↓ βT␈εα),␈↓ βv␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧&␈εα,␈↓ ∧<␈ελx␈↓ ∧q␈εαmod␈↓ ¬;␈ελu␈↓ ¬Q␈εα(␈↓ ¬]␈ελx␈↓ ¬p␈εα),␈αand␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈βK␈↓ ∧]␈ε↓0␈↓ 	␈ε↓1
␈βn␈↓ ∧{␈εα1␈↓ ¬C␈εα0␈↓ ε␈εα0␈↓ εS␈εα0␈↓ π≠␈εα0␈↓ πc␈εα0␈↓ λ+␈εα0␈↓ λs␈εα0
␈β␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β→␈↓ ∧{␈εα2␈↓ ¬C␈εα1␈↓ ε␈εα7␈↓ εA␈εα11␈↓ π	␈εα10␈↓ πQ␈εα12␈↓ λ+␈εα5␈↓ λa␈εα11
␈β!␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β7␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈βE␈↓ ∧{␈εα3␈↓ ¬C␈εα6␈↓ ε␈εα4␈↓ εS␈εα3␈↓ π≠␈εα0␈↓ πc␈εα4␈↓ λ+␈εα7␈↓ λs␈εα2
␈βM␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈βb␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈βp␈↓ ∧{␈εα4␈↓ ¬C␈εα3␈↓ ε␈εα6␈↓ εS␈εα5␈↓ π≠␈εα1␈↓ πc␈εα6␈↓ λ+␈εα2␈↓ λs␈εα3
␈βx␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β
α␈↓ ∧␈ελQ␈↓ ∧/␈εα=␈↓ 	#␈εα,
␈β

␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β
≠␈↓ ∧{␈εα2␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα8␈↓ εS␈εα8␈↓ π≠␈εα3␈↓ πc␈εα1␈↓ λ+␈εα3␈↓ λa␈εα11
␈β
#␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β
9␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β
F␈↓ ∧{␈εα6␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα8␈↓ εS␈εα6␈↓ π≠␈εα2␈↓ πc␈εα7␈↓ λ→␈εα10␈↓ λs␈εα9
␈β
N␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β
d␈↓ ∧]␈ε↓@␈↓ 	␈ε↓A
␈β
q␈↓ ∧{␈εα5␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα7␈↓ εA␈εα10␈↓ π≠␈εα0␈↓ πQ␈εα11␈↓ λ+␈εα7␈↓ λa␈εα12
␈β∞≥␈↓ ∧{␈εα3␈↓ ¬C␈εα3␈↓ ¬y␈εα12␈↓ εS␈εα5␈↓ π≠␈εα0␈↓ πQ␈εα11␈↓ λ+␈εα9␈↓ λa␈εα12
␈β∞A␈↓ 
p␈εα(17)
␈β∞I␈↓ ∧]␈ε↓0␈↓ 	␈ε↓1
␈β∞l␈↓ ∧{␈εα0␈↓ ¬C␈εα0␈↓ ε␈εα0␈↓ εS␈εα0␈↓ π≠␈εα0␈↓ πc␈εα0␈↓ λ+␈εα0␈↓ λs␈εα0
␈β∂	␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂↔␈↓ ∧{␈εα2␈↓ ¬C␈εα0␈↓ ε␈εα7␈↓ εA␈εα11␈↓ π	␈εα10␈↓ πQ␈εα12␈↓ λ+␈εα5␈↓ λa␈εα11
␈β∂∨␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂5␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂B␈↓ ∧{␈εα3␈↓ ¬C␈εα6␈↓ ε␈εα3␈↓ εS␈εα3␈↓ π≠␈εα0␈↓ πc␈εα4␈↓ λ+␈εα7␈↓ λs␈εα2
␈β∂J␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂`␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂m␈↓ ∧{␈εα4␈↓ ¬C␈εα3␈↓ ε␈εα6␈↓ εS␈εα4␈↓ π≠␈εα1␈↓ πc␈εα6␈↓ λ+␈εα2␈↓ λs␈εα3
␈β∂u␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β∂␈␈↓ βG␈ελQ␈↓ βi␈ε⊗␈␈↓ ∧∃␈ελI␈↓ ∧/␈εα=␈↓ 	#␈εα.
␈β⊂␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β⊂→␈↓ ∧{␈εα2␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα8␈↓ εS␈εα8␈↓ π≠␈εα2␈↓ πc␈εα1␈↓ λ+␈εα3␈↓ λa␈εα11
␈β⊂!␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β⊂6␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β⊂D␈↓ ∧{␈εα6␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα8␈↓ εS␈εα6␈↓ π≠␈εα2␈↓ πc␈εα6␈↓ λ→␈εα10␈↓ λs␈εα9
␈β⊂L␈↓ ∧]␈ε↓B␈↓ 	␈ε↓C
␈β⊂a␈↓ ∧]␈ε↓@␈↓ 	␈ε↓A
␈β⊂o␈↓ ∧{␈εα5␈↓ ¬1␈εα11␈↓ ε␈εα7␈↓ εA␈εα10␈↓ π≠␈εα0␈↓ πQ␈εα11␈↓ λ+␈εα6␈↓ λa␈εα12
␈β⊃~␈↓ ∧{␈εα3␈↓ ¬C␈εα3␈↓ ¬y␈εα12␈↓ εS␈εα5␈↓ π≠␈εα0␈↓ πQ␈εα11␈↓ λ+␈εα9␈↓ λa␈εα11
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα413
␈βα(␈↓ α␈εαThat␈αλ|nishes␈απstep␈αλB2;␈α	the␈αλnext␈αλstep␈αλof␈απBerlekamp's␈αλprocedure␈αλrequires␈απ|nding
␈βαS␈↓ ↓H␈εαthe␈α
\n␈α␈ull␈α
space"␈α∞of␈↓ ∧␈ελQ␈↓ ∧#␈ε⊗␈␈↓ ∧P␈ελI␈↓ ∧`␈εα.␈α⊃In␈α
general,␈α∞suppose␈α
that␈↓ λε␈ελA␈↓ λ,␈εαis␈α
an␈↓ 	¬␈ελn␈↓ 	#␈ε⊗α␈↓ 	P␈ελn␈↓ 	s␈εαmatrix␈α
o␈α␈v␈α␈er
␈βα}␈↓ ↓H␈εαa␈α⊂|eld,␈α⊃whose␈α⊂rank␈↓ ∧
␈ελn␈↓ ∧-␈ε⊗␈␈↓ ∧\␈ελr␈↓ ∧{␈εαis␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂determined;␈α∩suppose␈α⊂further␈α⊂that␈α⊂w␈α␈e␈α⊂wish
␈ββ%␈↓ πβ␈ε¬[1]␈↓ πM␈ε¬[2]␈↓ λ`␈ε¬[␈↓ λh␈εr␈↓ λv␈ε¬]␈↓ 
D␈ε¬[1]
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαto␈α∞determine␈α∂linearly␈α∞independen␈α␈t␈α∂v␈α␈ectors␈↓ εp␈ελv␈↓ π!␈εα,␈↓ π:␈ελv␈↓ πk␈εα,␈↓ λ¬␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ5␈εα,␈↓ λN␈ελv␈↓ 	␈εαsuch␈α∂that␈↓ 
1␈ελv␈↓ 
b␈ελA␈↓ λ␈εα=
␈ββP␈↓ ↓Z␈ε¬[2␈α↓]␈↓ β?␈ε¬[␈↓ βG␈εr␈↓ βT␈ε¬]
␈ββU␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓y␈ελA␈↓ α≠␈εα=␈↓ αI␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ α}␈εα=␈↓ β,␈ελv␈↓ β\␈ελA␈↓ β}␈εα=␈α(0,␈↓ ∧[␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬␈εα,␈αε0).␈αAn␈αalgorithm␈α
for␈αthis␈αcalculation␈αcan␈αbe␈αbased
␈β∧␈↓ ↓H␈εαon␈αthe␈αobservation␈αthat␈αan␈α␈y␈αcolumn␈αof␈↓ ε1␈ελA␈↓ εU␈εαmay␈αbe␈αm␈α␈ultiplied␈αby␈αa␈αnonzero␈αquan-
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαtity,␈α
and␈αan␈α␈y␈α
m␈α␈ultiple␈αof␈α
one␈αof␈α
its␈αcolumns␈α
may␈αbe␈α
added␈αto␈α
a␈αdi{eren␈α␈t␈α
column,
␈β∧Q␈↓ εz␈ε¬[1␈α↓]␈↓ π|␈ε¬[␈↓ λ∧␈εr␈↓ λ⊃␈ε¬]
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαwithout␈α
changing␈α∞the␈α
rank␈α∞or␈α
the␈α∞v␈α␈ectors␈↓ εh␈ελv␈↓ π→␈εα,␈↓ π)␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πY␈εα,␈↓ πi␈ελv␈↓ λ→␈εα.␈α≤(These␈α
transformations
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαamoun␈α␈t␈α
to␈α
replacing␈↓ ∧∀␈ελA␈↓ ∧:␈εαby␈↓ ∧o␈ελA␈↓ ¬π␈ελB␈↓ ¬∨␈εα,␈α
where␈↓ ε ␈ελB␈↓ εE␈εαis␈α
a␈α∞nonsigular␈α
matrix.)␈α≠The␈α
follo␈α␈wing
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαw␈α␈ell-kno␈α␈wn␈α\triangularization"␈αprocedure␈αmay␈αtherefore␈αbe␈αused.
␈βε␈↓ ↓H␈ε∩Algorithm␈α
N␈εα␈α(␈ε∂Null␈α
space␈αalgorithm␈εα)␈ε∩.␈εα␈α⊗Let␈↓ εV␈ελA␈↓ εy␈εαbe␈α
an␈↓ πX␈ελn␈↓ πt␈ε⊗α␈↓ λ≡␈ελn␈↓ λ>␈εαmatrix,␈αwhose␈α
elemen␈α␈ts
␈βε,␈↓ ↓H␈ελa␈↓ ↓y␈εαbelong␈α	to␈αλa␈αλ|eld␈α	and␈αλhav␈α␈e␈αλsubscripts␈α	in␈αλthe␈αλrange␈αλ0␈ε⊗␈α
∀␈↓ λ5␈ελi␈↓ λC␈εα,␈↓ λS␈ελj␈↓ λn␈εα<␈↓ 	≤␈ελn␈↓ 	1␈εα.␈αThis␈αλalgorithm
␈βε9␈↓ ↓X␈εi␈↓ ↓d␈εj
␈βεR␈↓ βr␈ε¬[1]␈↓ ∧⎇␈ε¬[␈↓ ¬¬␈εr␈↓ ¬∩␈ε¬]
␈βεW␈↓ ↓H␈εαoutputs␈↓ αJ␈ελr␈↓ αe␈εαv␈α␈ectors␈↓ β←␈ελv␈↓ ∧⊂␈εα,␈↓ ∧%␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧U␈εα,␈↓ ∧j␈ελv␈↓ ¬~␈εα,␈αwhich␈α
are␈αlinearly␈αindependen␈α␈t␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈α|eld␈α
and
␈βε⎇␈↓ αL␈ε¬[␈↓ αT␈εj␈↓ αb␈ε¬]
␈βπα␈↓ ↓H␈εαsatisfy␈↓ α:␈ελv␈↓ αj␈ελA␈↓ β␈εα=␈α
(0,␈↓ βh␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧_␈εα,␈αε0),␈αwhere␈↓ ¬D␈ελn␈↓ ¬a␈ε⊗␈␈↓ ε
␈ελr␈↓ ε)␈εαis␈αthe␈αrank␈αof␈↓ λ	␈ελA␈↓ λ!␈εα.
␈βπC␈↓ ↓H␈ε∩N1.␈↓ α␈εα[Initialize.]␈α⊃Set␈↓ β⎇␈ελc␈↓ ∧#␈ε⊗ ␈↓ ∧Q␈ελc␈↓ ∧v␈ε⊗ ␈↓ ¬$␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬X␈ε⊗ ␈↓ εε␈ελc␈↓ εZ␈ε⊗ ␈α
␈␈εα1,␈↓ πQ␈ελr␈↓ πk␈ε⊗ ␈εα␈α
0.␈α⊃(During␈αλthe␈αλcalculation
␈βπP␈↓ ∧
␈ε¬0␈↓ ∧↑␈ε¬1␈↓ ε∪␈εn␈↓ ε%␈ε→␈␈ε¬1
␈βπn␈↓ α␈εαw␈α␈e␈α	will␈α	hav␈α␈e␈↓ βQ␈ελc␈↓ βu␈ε⊗∃␈εα␈α
0␈α	only␈α	if␈↓ ¬*␈ελa␈↓ ¬h␈εα=␈ε⊗␈α
␈␈εα1␈α	and␈α	all␈α	other␈α	en␈α␈tries␈α	of␈α	ro␈α␈w␈↓ 	z␈ελc␈↓ 
≡␈εαare␈αλzero.)
␈βπ{␈↓ β↑␈εj␈↓ ¬:␈εc␈↓ ¬Q␈εj␈↓ 
π␈εj
␈βλ∧␈↓ ¬F␈ε
j
␈βλ/␈↓ ↓H␈ε∩N2.␈↓ α␈εα[Loop␈α
on␈↓ β&␈ελk␈↓ β8␈εα.]␈α~Do␈α
step␈α
N3␈α
for␈↓ ¬b␈ελk␈↓ ¬␈␈εα=␈α0,␈α
1,␈↓ π↓␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π1␈εα,␈↓ πH␈ελn␈↓ πf␈ε⊗␈␈εα␈α	1,␈α
and␈α
then␈α
terminate␈αthe
␈βλZ␈↓ α␈εαalgorithm.
␈β	≠␈↓ ↓H␈ε∩N3.␈↓ α␈εα[Scan␈αro␈α␈w␈αfor␈α
dependence.]␈α→If␈αthere␈α
is␈αsome␈↓ πJ␈ελj␈↓ πf␈εαin␈α
the␈αrange␈α0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	|␈ελj␈↓ 
⊗␈εα<␈↓ 
E␈ελn␈↓ 
f␈εαsuch
␈β	F␈↓ α␈εαthat␈↓ αZ␈ελa␈↓ β⊃␈ε⊗≤␈εα␈α0␈αand␈↓ ∧$␈ελc␈↓ ∧I␈εα<␈α0,␈αthen␈αdo␈α
the␈αfollo␈α␈wing:␈α
Multiply␈αcolumn␈↓ 
→␈ελj␈↓ 
6␈εαof␈↓ 
`␈ελA␈↓ ∧␈εαby
␈β	S␈↓ αk␈εk␈↓ αz␈εj␈↓ ∧1␈εj
␈β	q␈↓ α␈ε⊗␈␈εα1/␈↓ αT␈ελa␈↓ β
␈εα(so␈α
that␈↓ ∧∀␈ελa␈↓ ∧M␈εαbecomes␈α
equal␈α
to␈ε⊗␈α␈␈εα1);␈α
then␈αadd␈↓ λY␈ελa␈↓ 	⊂␈εαtimes␈α
column␈↓ 
p␈ελj␈↓ ␈εαto
␈β	}␈↓ αe␈εk␈↓ αs␈εj␈↓ ∧%␈εk␈↓ ∧4␈εj␈↓ λj␈εk␈↓ λx␈εi
␈β
≤␈↓ α␈εαcolumn␈↓ β␈ελi␈↓ β&␈εαfor␈α
all␈↓ ∧∩␈ελi␈↓ ∧,␈ε⊗≤␈↓ ∧[␈ελj␈↓ ∧l␈εα;␈α
|nally␈α
set␈↓ ε+␈ελc␈↓ εQ␈ε⊗ ␈↓ π↓␈ελk␈↓ π∩␈εα.␈α≠(Since␈α
it␈α
is␈α
not␈α
di}cult␈α
to␈α
sho␈α␈w
␈β
*␈↓ ε8␈εj
␈β
G␈↓ α␈εαthat␈↓ αZ␈ελa␈↓ β∞␈εα=␈α
0␈αfor␈αall␈↓ ∧B␈ελs␈↓ ∧[␈εα<␈↓ ¬	␈ελk␈↓ ¬≠␈εα,␈αthese␈αoperations␈αhav␈α␈e␈αno␈αe{ect␈αon␈αro␈α␈ws␈α0,␈α1,␈↓ 
r␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ "␈εα,
␈β
U␈↓ αj␈εs␈↓ αw␈εj
␈β
s␈↓ α␈ελk␈↓ α&␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αof␈↓ β~␈ελA␈↓ β2␈εα.)
␈β!␈↓ αP␈εαOn␈α∞the␈α
other␈α∞hand,␈α
if␈α∞there␈α
is␈α∞no␈↓ εl␈ελj␈↓ π
␈εαin␈α
the␈α∞range␈α
0␈ε⊗␈α
∀␈↓ 	'␈ελj␈↓ 	D␈εα<␈↓ 	t␈ελn␈↓ 
↔␈εαsuch␈α
that
␈βL␈↓ α␈ελa␈↓ αC␈ε⊗≤␈εα␈α
0␈αand␈↓ βU␈ελc␈↓ βy␈εα<␈α
0,␈αthen␈αset␈↓ ¬Y␈ελr␈↓ ¬s␈ε⊗ ␈↓ ε!␈ελr␈↓ ε8␈εα+␈αλ1␈αand␈αoutput␈αthe␈αv␈α␈ector
␈βY␈↓ α≥␈εk␈↓ α+␈εj␈↓ βb␈εj
␈β(␈↓ ¬:␈ε¬[␈↓ ¬B␈εr␈↓ ¬P␈ε¬]
␈β.␈↓ ¬(␈ελv␈↓ ¬b␈εα=␈α
(␈↓ ε≤␈ελv␈↓ ε:␈εα,␈↓ εJ␈ελv␈↓ εh␈εα,␈↓ εx␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ π(␈εα,␈↓ π8␈ελv␈↓ λ¬␈εα)
␈β;␈↓ ε+␈ε¬0␈↓ εZ␈ε¬1␈↓ πH␈εn␈↓ πZ␈ε→␈␈ε¬1
␈β
␈↓ α␈εαde|ned␈αby␈αthe␈αrule
␈β
I␈↓ ¬ε␈ε↓8
␈β
i␈↓ ¬≡␈ελa␈↓ ¬J␈εα,␈↓ ε≤␈εαif␈↓ ε>␈ελc␈↓ εa␈εα=␈↓ π∂␈ελj␈↓ π*␈ε⊗∃␈εα␈α
0;
␈β
j␈↓ ¬ε␈ε↓<
␈β
v␈↓ ¬/␈εk␈↓ ¬=␈εs␈↓ εK␈εs
␈β∞∀␈↓ ∧1␈ελv␈↓ ∧X␈εα=␈↓ ¬≡␈εα1,␈↓ ε≤␈εαif␈↓ ε>␈ελj␈↓ εX␈εα=␈↓ πε␈ελk␈↓ π_␈εα;␈↓ 
p␈εα(18)
␈β∞!␈↓ ∧A␈εj
␈β∞*␈↓ ¬ε␈ε↓:
␈β∞?␈↓ ¬≡␈εα0,␈↓ ε≤␈εαotherwise.
␈β∞D␈↓ λq␈∧∞Dλq≠∂
␈β∂D␈↓ α␈εαAn␈α	example␈αλwill␈α	rev␈α␈eal␈α	the␈α	mechanism␈αλof␈α	this␈α	algorithm.␈αLet␈↓ 	:␈ελA␈↓ 	[␈εαbe␈α	the␈αλmatrix
␈β∂o␈↓ ↓H␈ελQ␈↓ ↓j␈ε⊗␈␈↓ α↔␈ελI␈↓ α4␈εαof␈α(17)␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α|eld␈α
of␈α
in␈α␈tegers␈α
modulo␈α13.␈α∞When␈↓ λY␈ελk␈↓ λv␈εα=␈α0,␈α
w␈α␈e␈α
output␈αthe
␈β⊂∃␈↓ αH␈ε¬[1␈α↓]
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ector␈↓ α6␈ελv␈↓ αs␈εα=␈α(1,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0,␈αε0).␈α⊂When␈↓ ε=␈ελk␈↓ εZ␈εα=␈α1,␈α
w␈α␈e␈α∞may␈α
tak␈α␈e␈↓ 	␈ελj␈↓ 	(␈εαin␈α
step␈α
N3␈α
to␈α
be
␈β⊂F␈↓ ↓H␈εαeither␈α
0,␈α
2,␈α∞3,␈α∞4,␈α
5,␈α∞6,␈α
or␈α∞7;␈α
the␈α∞choice␈α
here␈α
is␈α
completely␈α∞arbitrary,␈α
although␈α
it
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εαa{ects␈α
the␈αparticular␈α
v␈α␈ectors␈αthat␈α
are␈αchosen␈α
to␈αbe␈α
output␈αby␈α
the␈αalgorithm.␈αFor
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εαhand␈α∂calculation,␈α∂it␈α∂is␈α∂most␈α∂con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α⊂to␈α∂pick␈↓ πH␈ελj␈↓ πg␈εα=␈α∂5,␈α⊂since␈↓ 	!␈ελa␈↓ 	]␈εα=␈α∂12␈α∂=␈ε⊗␈α∂␈␈εα1
␈β⊃)␈↓ 	2␈ε¬15
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα414␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαalready;␈αthe␈αcolumn␈αoperations␈αof␈αstep␈αN3␈αthen␈αchange␈↓ λ6␈ελA␈↓ λZ␈εαto␈αthe␈αmatrix
␈βαU␈↓ ∧	␈ε↓0␈↓ λI␈ε↓1
␈βαy␈↓ ∧9␈εα0␈↓ ¬↓␈εα0␈↓ ¬I␈εα0␈↓ ε⊃␈εα0␈↓ εY␈εα0␈↓ π!␈εα0␈↓ πi␈εα0␈↓ λ1␈εα0
␈ββ
␈↓ π∞␈ε↓a
␈ββ⊗␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈ββ$␈↓ ∧9␈εα0␈↓ ¬↓␈εα0␈↓ ¬I␈εα0␈↓ ε⊃␈εα0␈↓ εY␈εα0␈↓ π∂␈εα12␈↓ πi␈εα0␈↓ λ1␈εα0
␈ββ,␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈ββA␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈ββO␈↓ ∧'␈εα11␈↓ ¬↓␈εα6␈↓ ¬I␈εα5␈↓ ε⊃␈εα8␈↓ εY␈εα1␈↓ π!␈εα4␈↓ πi␈εα1␈↓ λ1␈εα7
␈ββW␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈ββm␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈ββz␈↓ ∧9␈εα3␈↓ ¬↓␈εα3␈↓ ¬I␈εα9␈↓ ε⊃␈εα5␈↓ εY␈εα9␈↓ π!␈εα6␈↓ πi␈εα6␈↓ λ1␈εα4
␈β∧α␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈β∧␈↓ λa␈εα.
␈β∧_␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈β∧%␈↓ ∧9␈εα4␈↓ ∧o␈εα11␈↓ ¬I␈εα2␈↓ ε⊃␈εα6␈↓ εG␈εα12␈↓ π!␈εα1␈↓ πi␈εα8␈↓ λ1␈εα9
␈β∧-␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈β∧C␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈β∧Q␈↓ ∧9␈εα5␈↓ ∧o␈εα11␈↓ ¬7␈εα11␈↓ ε⊃␈εα7␈↓ εG␈εα10␈↓ π!␈εα6␈↓ πi␈εα1␈↓ λ∨␈εα10
␈β∧Y␈↓ ∧	␈ε↓B␈↓ λI␈ε↓C
␈β∧n␈↓ ∧	␈ε↓@␈↓ λI␈ε↓A
␈β∧|␈↓ ∧9␈εα1␈↓ ∧o␈εα11␈↓ ¬I␈εα6␈↓ ε⊃␈εα1␈↓ εY␈εα6␈↓ π∂␈εα11␈↓ πi␈εα9␈↓ λ1␈εα3
␈β¬'␈↓ ∧'␈εα12␈↓ ¬↓␈εα3␈↓ ¬7␈εα11␈↓ ε⊃␈εα9␈↓ εY␈εα6␈↓ π∂␈εα11␈↓ πW␈εα12␈↓ λ1␈εα2
␈β¬r␈↓ ↓H␈εα(The␈αcircled␈αelemen␈α␈t␈αin␈αcolumn␈α
\5",␈αro␈α␈w␈α\1",␈αis␈α
used␈αhere␈αto␈αindicate␈αthat␈↓ 
c␈ελc␈↓ λ␈εα=
␈βε␈↓ 
p␈ε¬5
␈βε≡␈↓ ↓H␈εα1.␈α∪Remem␈α␈ber␈α∞that␈α∂Algorithm␈α∞N␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∞the␈α∞ro␈α␈ws␈α∂and␈α∞columns␈α∂of␈α∞the␈α∞matrix
␈βεI␈↓ ↓H␈εαstarting␈α
with␈α∞0,␈α∞not␈α∞1.)␈α≤When␈↓ ¬=␈ελk␈↓ ¬\␈εα=␈α
2,␈α∞w␈α␈e␈α∞may␈α
choose␈↓ λ3␈ελj␈↓ λQ␈εα=␈α4␈α∞and␈α∞proceed␈α∞in␈α
a
␈βεt␈↓ ↓H␈εαsimilar␈α	way,␈αobtaining␈α	the␈α
follo␈α␈wing␈α
matrices,␈α
which␈α
all␈α	hav␈α␈e␈α
the␈α
same␈α
n␈α␈ull␈α	space
␈βπ∨␈↓ ↓H␈εαas␈↓ ↓t␈ελQ␈↓ α⊗␈ε⊗␈␈↓ αB␈ελI␈↓ αR␈εα:
␈βπg␈↓ βJ␈ελk␈↓ βf␈εα=␈α
2␈↓ λO␈ελk␈↓ λj␈εα=␈α
3
␈βλα␈↓ ↓L␈ε↓0␈↓ ε␈ε↓1␈↓ εP␈ε↓0␈↓ ⊂␈ε↓1
␈βλ%␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈βλ6␈↓ ∧Q␈ε↓a␈↓ 	U␈ε↓a
␈βλC␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈βλP␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧R␈εα12␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	V␈εα12␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈βλX␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈βλa␈↓ ∧	␈ε↓a␈↓ 	
␈ε↓a
␈βλn␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈βλ{␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧
␈εα12␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	∞␈εα12␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β	∧␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	
␈↓ π5␈ε↓a
␈β	→␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	'␈↓ ↓|␈εα8␈↓ αD␈εα1␈↓ β␈εα3␈↓ βB␈εα11␈↓ ∧≤␈εα4␈↓ ∧d␈εα9␈↓ ¬~␈εα10␈↓ ¬t␈εα6␈↓ π␈εα0␈↓ π6␈εα12␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β	/␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	D␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	R␈↓ ↓|␈εα2␈↓ αD␈εα4␈↓ β␈εα7␈↓ βT␈εα1␈↓ ∧≤␈εα1␈↓ ∧d␈εα5␈↓ ¬,␈εα9␈↓ ¬t␈εα3␈↓ π␈εα9␈↓ πH␈εα9␈↓ λ⊂␈εα8␈↓ λX␈εα9␈↓ 	∞␈εα11␈↓ 	h␈εα8␈↓ 
0␈εα8␈↓ 
x␈εα5
␈β	Z␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	p␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β	⎇␈↓ ↓j␈εα12␈↓ αD␈εα3␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα5␈↓ ∧≤␈εα3␈↓ ∧d␈εα5␈↓ ¬,␈εα4␈↓ ¬t␈εα5␈↓ π␈εα1␈↓ π6␈εα10␈↓ λ⊂␈εα4␈↓ λF␈εα11␈↓ 	 ␈εα4␈↓ 	h␈εα4␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β
¬␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
≠␈↓ ↓L␈ε↓@␈↓ ε␈ε↓A␈↓ εP␈ε↓@␈↓ ⊂␈ε↓A
␈β
(␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα1␈↓ β␈εα2␈↓ βT␈εα5␈↓ ∧≤␈εα7␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα3␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα5␈↓ π6␈εα12␈↓ π}␈εα12␈↓ λX␈εα7␈↓ 	 ␈εα3␈↓ 	h␈εα4␈↓ 
0␈εα6␈↓ 
x␈εα7
␈β
S␈↓ ↓j␈εα11␈↓ αD␈εα6␈↓ β␈εα7␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα7␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα6␈↓ ¬b␈εα12␈↓ π␈εα2␈↓ πH␈εα7␈↓ λ⊂␈εα2␈↓ λF␈εα12␈↓ 	 ␈εα9␈↓ 	V␈εα11␈↓ 
≡␈εα11␈↓ 
x␈εα2
␈βD␈↓ βJ␈ελk␈↓ βf␈εα=␈α
4␈↓ λO␈ελk␈↓ λj␈εα=␈α
5
␈β`␈↓ ↓L␈ε↓0␈↓ ε␈ε↓1␈↓ εP␈ε↓0␈↓ ⊂␈ε↓1
␈ββ␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β∀␈↓ ∧Q␈ε↓a␈↓ 	U␈ε↓a
␈β ␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β.␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧R␈εα12␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	V␈εα12␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β6␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β?␈↓ ∧	␈ε↓a␈↓ 	
␈ε↓a
␈βL␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈βY␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧
␈εα12␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	∞␈εα12␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈βa␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈βj␈↓ α1␈ε↓a␈↓ π5␈ε↓a
␈βw␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
∧␈↓ ↓|␈εα0␈↓ α2␈εα12␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ π␈εα0␈↓ π6␈εα12␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β
␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
⊗␈↓ ¬a␈ε↓a␈↓ 
e␈ε↓a
␈β
"␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
0␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬b␈εα12␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
f␈εα12
␈β
8␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
A␈↓ εm␈ε↓a
␈β
M␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
[␈↓ ↓|␈εα1␈↓ α2␈εα10␈↓ β␈εα4␈↓ βB␈εα11␈↓ ∧≤␈εα4␈↓ ∧d␈εα4␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ εn␈εα12␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β
c␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β
x␈↓ ↓L␈ε↓@␈↓ ε␈ε↓A␈↓ εP␈ε↓@␈↓ ⊂␈ε↓A
␈β∞ε␈↓ ↓|␈εα8␈↓ αD␈εα2␈↓ β␈εα6␈↓ βB␈εα10␈↓ ∧
␈εα11␈↓ ∧R␈εα11␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα9␈↓ π␈εα5␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα5␈↓ 	h␈εα5␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα9
␈β∞1␈↓ ↓|␈εα1␈↓ αD␈εα6␈↓ β␈εα4␈↓ βB␈εα11␈↓ ∧≤␈εα2␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬b␈εα10␈↓ εn␈εα12␈↓ πH␈εα9␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	∞␈εα11␈↓ 	h␈εα9␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
f␈εα10
␈β∞{␈↓ ↓H␈εαNo␈α␈w␈αev␈α␈ery␈α
column␈α
that␈αhas␈α
no␈α
circled␈α
en␈α␈try␈αis␈α
completely␈α
zero;␈α
so␈α
when␈↓ 
N␈ελk␈↓ 
k␈εα=␈α6
␈β∂&␈↓ ↓H␈εαand␈↓ α∞␈ελk␈↓ α)␈εα=␈α
7␈αthe␈αalgorithm␈αoutputs␈αt␈α␈w␈α␈o␈αmore␈αv␈α␈ectors,␈αnamely
␈β∂o␈↓ β␈ε¬[2]␈↓ εY␈ε¬[3]
␈β∂u␈↓ αm␈ελv␈↓ β(␈εα=␈α
(0,␈αε5,␈αε5,␈αε0,␈αε9,␈αε5,␈αε1,␈αε0),␈↓ εF␈ελv␈↓ π↓␈εα=␈α
(0,␈αε9,␈αε11,␈αε9,␈αε10,␈αε12,␈αε0,␈αε1).
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαFrom␈α
the␈α
form␈α
of␈α
matrix␈↓ ∧b␈ελA␈↓ ¬π␈εαafter␈↓ ¬↑␈ελk␈↓ ¬|␈εα=␈α5,␈α∞it␈α
is␈α
eviden␈α␈t␈α
that␈α
these␈αv␈α␈ectors␈α
satisfy
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαthe␈α
equation␈↓ β∃␈ελv␈↓ β(␈ελA␈↓ βJ␈εα=␈α
(0,␈↓ ∧&␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧V␈εα,␈αε0).␈αSince␈αthe␈α
computation␈αhas␈α
produced␈αthree␈α
linearly
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαindependen␈α␈t␈αv␈α␈ectors,␈↓ ∧_␈ελu␈↓ ∧-␈εα(␈↓ ∧9␈ελx␈↓ ∧L␈εα)␈αm␈α␈ust␈αhav␈α␈e␈αexactly␈αthree␈αirreducible␈αfactors.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα415
␈βα(␈↓ α␈εαFinally␈αw␈α␈e␈αcan␈αgo␈αto␈α
step␈αB4␈αof␈αthe␈αfactoring␈αprocedure.␈αThe␈αcalculation␈αof
␈βα4␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ βq␈ε↓↓
␈βαN␈↓ αu␈ε¬[2]␈↓ π1␈ε¬[2]␈↓ λE␈ε¬6␈↓ 	≤␈ε¬5␈↓ 	t␈ε¬4␈↓ 
K␈ε¬2
␈βαS␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελu␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα),␈↓ αb␈ελv␈↓ β∪␈εα(␈↓ β∨␈ελx␈↓ β2␈εα)␈ε⊗␈␈↓ βb␈ελs␈↓ ∧¬␈εαfor␈↓ ∧8␈ελs␈↓ ∧Q␈εα=␈α
0,␈απ1,␈↓ ¬E␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬u␈εα,␈απ12,␈αλwhere␈↓ π≡␈ελv␈↓ πO␈εα(␈↓ π[␈ελx␈↓ πn␈εα)␈α
=␈↓ λ2␈ελx␈↓ λS␈εα+5␈↓ 		␈ελx␈↓ 	+␈εα+9␈↓ 	a␈ελx␈↓ 
α␈εα+5␈↓ 
8␈ελx␈↓ 
Z␈εα+5␈↓ ⊂␈ελx␈↓ "␈εα,
␈βαy␈↓ α3␈ε¬5␈↓ β~␈ε¬4␈↓ ∧↓␈ε¬3␈↓ 	π␈ε¬3␈↓ 	n␈ε¬2
␈βα}␈↓ ↓H␈εαgiv␈α␈es␈↓ α!␈ελx␈↓ αJ␈εα+␈απ5␈↓ βπ␈ελx␈↓ β0␈εα+␈αλ9␈↓ βn␈ελx␈↓ ∧↔␈εα+␈αλ5␈↓ ∧U␈ελx␈↓ ∧p␈εα+␈αλ5␈αas␈αthe␈αansw␈α␈er␈αwhen␈↓ πx␈ελs␈↓ λ⊃␈εα=␈α
0,␈↓ λt␈ελx␈↓ 	≥␈εα+␈αλ8␈↓ 	[␈ελx␈↓ 
∧␈εα+␈αλ4␈↓ 
B␈ελx␈↓ 
]␈εα+␈απ12
␈ββ%␈↓ 	↓␈ε¬[2]
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαwhen␈↓ α*␈ελs␈↓ αI␈εα=␈α⊂2,␈α⊃and␈α⊂unity␈α⊂for␈α⊂other␈α⊂values␈α⊂of␈↓ π∃␈ελs␈↓ π$␈εα.␈α_Therefore␈↓ λn␈ελv␈↓ 	∨␈εα(␈↓ 	+␈ελx␈↓ 	>␈εα)␈α⊂giv␈α␈es␈α⊂us␈α∂only
␈ββ5␈↓ εA␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈ββP␈↓ εb␈ε¬[3]␈↓ λ↔␈ε¬5␈↓ λ␈␈ε¬4␈↓ 	f␈ε¬3
␈ββU␈↓ ↓H␈εαt␈α␈w␈α␈o␈αof␈αthe␈α
three␈αfactors.␈α
Turning␈αto␈↓ ε␈εαgcd␈↓ εO␈ελv␈↓ π␈εα(␈↓ π␈ελx␈↓ π∨␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ π←␈ελs␈↓ πn␈εα,␈↓ λ∧␈ελx␈↓ λ.␈εα+␈αλ5␈↓ λl␈ελx␈↓ 	∃␈εα+␈α	9␈↓ 	T␈ελx␈↓ 	⎇␈εα+␈αλ5␈↓ 
;␈ελx␈↓ 
V␈εα+␈αλ5␈↓ "␈εα,
␈β∧␈↓ αH␈ε¬[3]␈↓ βm␈ε¬7␈↓ ∧m␈ε¬5␈↓ ¬m␈ε¬4␈↓ ε[␈ε¬3␈↓ π[␈ε¬2
␈β∧¬␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α5␈ελv␈↓ αf␈εα(␈↓ αr␈ελx␈↓ β¬␈εα)␈α∩=␈↓ βZ␈ελx␈↓ ∧π␈εα+␈α12␈↓ ∧Z␈ελx␈↓ ¬π␈εα+␈α10␈↓ ¬Z␈ελx␈↓ επ␈εα+␈α9␈↓ εH␈ελx␈↓ εu␈εα+␈α11␈↓ πI␈ελx␈↓ πu␈εα+␈α9␈↓ λ7␈ελx␈↓ λI␈εα,␈α∪w␈α␈e␈α⊃obtain␈α⊃the␈α⊃value
␈β∧+␈↓ ↓Z␈ε¬4␈↓ αA␈ε¬3␈↓ β'␈ε¬2
␈β∧0␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓p␈εα+␈αλ2␈↓ α.␈ελx␈↓ αW␈εα+␈αλ3␈↓ β∃␈ελx␈↓ β>␈εα+␈απ4␈↓ β{␈ελx␈↓ ∧⊗␈εα+␈απ6␈αwhen␈↓ ¬=␈ελs␈↓ ¬V␈εα=␈α
6,␈↓ ε8␈ελx␈↓ εS␈εα+␈αλ3␈αwhen␈↓ πz␈ελs␈↓ λ∪␈εα=␈α
8,␈αand␈αunity␈αotherwise.
␈β∧[␈↓ ↓H␈εαTh␈α␈us␈αthe␈αcomplete␈αfactorization␈αis
␈β¬#␈↓ β\␈ε¬4␈↓ ∧C␈ε¬3␈↓ ¬*␈ε¬2␈↓ πα␈ε¬3␈↓ πi␈ε¬2
␈β¬)␈↓ αE␈ελu␈↓ αZ␈εα(␈↓ αf␈ελx␈↓ αy␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ βI␈ελx␈↓ βr␈εα+␈αλ2␈↓ ∧0␈ελx␈↓ ∧Y␈εα+␈αλ3␈↓ ¬↔␈ελx␈↓ ¬A␈εα+␈αλ4␈↓ ¬␈␈ελx␈↓ ε→␈εα+␈αλ6)(␈↓ εo␈ελx␈↓ π→␈εα+␈αλ8␈↓ πW␈ελx␈↓ λ␈εα+␈αλ4␈↓ λ>␈ελx␈↓ λY␈εα+␈αλ12)(␈↓ 	A␈ελx␈↓ 	[␈εα+␈αλ3).␈↓ 
p␈εα(19)
␈β¬w␈↓ α␈εαLet␈αus␈αno␈α␈w␈αestimate␈αthe␈αrunning␈αtime␈αof␈αBerlekamp's␈αmethod␈αwhen␈αan␈↓ 
u␈ελn␈↓ 
␈εαth
␈βε"␈↓ ↓H␈εαdegree␈αpolynomial␈αis␈αfactored␈α
modulo␈↓ ε#␈ελp␈↓ ε5␈εα.␈α
First␈αassume␈αthat␈↓ λn␈ελp␈↓ 	
␈εαis␈αrelativ␈α␈ely␈αsmall,
␈βεN␈↓ ↓H␈εαso␈α⊂that␈α⊂the␈α⊂four␈α⊂arithmetic␈α⊂operations␈α⊂can␈α⊂be␈α⊃done␈α⊂modulo␈↓ 	→␈ελp␈↓ 	;␈εαin␈α⊂essen␈α␈tially␈α⊂a
␈βεy␈↓ ↓H␈εα|x␈α␈ed␈α∂length␈α⊂of␈α⊂time.␈α (Division␈α⊂modulo␈↓ εT␈ελp␈↓ εv␈εαcan␈α⊂be␈α⊂con␈α␈v␈α␈erted␈α⊂to␈α∂m␈α␈ultiplication,
␈βπ!␈↓ 	r␈ε¬1␈↓ 
k␈ε¬1
␈βπ$␈↓ ↓H␈εαby␈αstoring␈α
a␈α
table␈αof␈α
reciprocals;␈α
modulo␈α13,␈α
for␈α
example,␈αw␈α␈e␈α
hav␈α␈e␈↓ 
∂␈εα=␈α7,␈↓ λ␈εα=
␈βπ4␈↓ 	r␈∧π4	rα∂␈↓ 
k␈∧π4
kα∂
␈βπ7␈↓ 	r␈ε¬2␈↓ 
k␈ε¬3
␈βπJ␈↓ πC␈ε¬2
␈βπO␈↓ ↓H␈εα9,␈α∂etc.)␈α≥The␈α∂computation␈α∞in␈α∞step␈α∂B1␈α∞tak␈α␈es␈↓ πλ␈ελO␈↓ π"␈εα(␈↓ π.␈ελn␈↓ πR␈εα)␈α∞units␈α∂of␈α∞time;␈α⊂step␈α∞B2␈α∞tak␈α␈es
␈βπu␈↓ α⊗␈ε¬2␈↓ 	∞␈ε¬3
␈βπz␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓b␈εα(␈↓ ↓n␈ελp␈↓ α␈ελn␈↓ α$␈εα).␈α∞For␈αstep␈α
B3␈α
w␈α␈e␈αuse␈α
Algorithm␈αN␈↓ εL␈εα,␈α
which␈αrequires␈↓ λR␈ελO␈↓ λl␈εα(␈↓ λx␈ελn␈↓ 	≤␈εα)␈α
units␈αof␈α
time␈αat
␈βλε␈↓ 
	␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βλ&␈↓ ↓H␈εαmost.␈α⊂Finally,␈α
in␈α∞step␈α
B4␈α
w␈α␈e␈α∞can␈α
observ␈α␈e␈α
that␈α∞the␈α
calculation␈α
of␈↓ 	S␈εαgcd␈↓ 
↔␈ελf␈↓ 
(␈εα(␈↓ 
4␈ελx␈↓ 
G␈εα),␈↓ 
c␈ελg␈↓ 
t␈εα(␈↓ ␈ελx␈↓ ∩␈εα)
␈βλ1␈↓ ¬~␈ε↓␈␈↓ εm␈ε↓↓
␈βλQ␈↓ ↓H␈εαby␈αEuclid's␈α
algorithm␈αtak␈α␈es␈↓ ¬␈ελO␈↓ ¬(␈εαdeg␈↓ ¬↑␈εα(␈↓ ¬j␈ελf␈↓ ¬|␈εα)␈↓ ε∞␈εαdeg␈↓ εD␈εα(␈↓ εP␈ελg␈↓ εa␈εα)␈↓ πε␈εαunits␈α
of␈αtime;␈αhence␈αthe␈α
calculation
␈βλa␈↓ α&␈ε↓␈␈↓ ∧)␈ε↓↓
␈βλ|␈↓ αG␈ε¬[␈↓ αO␈εj␈↓ α\␈ε¬]
␈β	↓␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓p␈εαgcd␈↓ α4␈ελv␈↓ αd␈εα(␈↓ αp␈ελx␈↓ ββ␈εα)␈ε⊗␈αε␈␈↓ β>␈ελs␈↓ βM␈εα,␈↓ βc␈ελw␈↓ β}␈εα(␈↓ ∧
␈ελx␈↓ ∧≥␈εα)␈↓ ∧A␈εαfor␈α|x␈α␈ed␈↓ ¬M␈ελj␈↓ ¬h␈εαand␈↓ ε,␈ελs␈↓ εF␈εαand␈α
for␈α
all␈αfactors␈↓ λe␈ελw␈↓ 	␈εα(␈↓ 	␈ελx␈↓ 	∨␈εα)␈α
of␈↓ 	]␈ελu␈↓ 	s␈εα(␈↓ 	␈␈ελx␈↓ 
∩␈εα)␈α
found␈α
so
␈β	'␈↓ β→␈ε¬2␈↓ λ,␈ε¬2
␈β	,␈↓ ↓H␈εαfar␈αtak␈α␈es␈↓ α↑␈ελO␈↓ αx␈εα(␈↓ β∧␈ελn␈↓ β(␈εα)␈αunits.␈α∞Step␈αB4␈α
therefore␈αrequires␈↓ πN␈ελO␈↓ πh␈εα(␈↓ πt␈ελp␈↓ λε␈ελr␈↓ λ⊗␈ελn␈↓ λ:␈εα)␈αunits␈α
of␈αtime␈α
at␈αmost.
␈β	W␈↓ ↓H␈ε∂Berlekamp's␈α∞procedure␈α∞factors␈α∞an␈α∞arbitrary␈α∞polynomial␈α∞of␈α∞degree␈↓ 	`␈ελn␈↓ 	v␈εα,␈α∞modulo␈↓ ⊂␈ελp␈↓ "␈εα,
␈β	⎇␈↓ α/␈ε¬3␈↓ β,␈ε¬2
␈β
α␈↓ ↓H␈ε∂in␈↓ ↓t␈ελO␈↓ α∞␈εα(␈↓ α~␈ελn␈↓ αG␈εα+␈↓ αt␈ελp␈↓ βπ␈ελr␈↓ β⊗␈ελn␈↓ β:␈εα)␈ε∂␈α∞steps␈εα,␈α∂when␈↓ ¬~␈ελp␈↓ ¬;␈εαis␈α∞a␈α
small␈α∞prime;␈α∂and␈α∞ex␈α␈ercise␈α∞5␈α∞sho␈α␈ws␈α∞that␈α
the
␈β
.␈↓ ↓H␈εαav␈α␈erage␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αfactors,␈↓ ∧t␈ελr␈↓ ¬β␈εα,␈αis␈αappro␈α␈ximately␈↓ π*␈εαln␈↓ πN␈ελn␈↓ πd␈εα.␈αTh␈α␈us␈αthe␈αalgorithm␈αis␈αm␈α␈uch
␈β
Y␈↓ ↓H␈εαfaster␈α	than␈α	an␈α␈y␈α
kno␈α␈wn␈α	methods␈α
of␈α	factoring␈↓ εw␈ελn␈↓ π
␈εα-digit␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α
in␈α	the␈↓ 	[␈ελp␈↓ 	m␈εα-ary␈α	n␈α␈um␈α␈ber
␈β∧␈↓ ↓H␈εαsystem.
␈β/␈↓ α␈εαWhen␈↓ αr␈ελp␈↓ β∂␈εαis␈α
large,␈α
a␈α
di{eren␈α␈t␈α
implemen␈α␈tation␈α
of␈α
Berlekamp's␈α
procedure␈α
w␈α␈ould
␈βZ␈↓ ↓H␈εαbe␈α⊃used␈α⊃for␈α⊃the␈α⊃calculations.␈α≠Division␈α⊃modulo␈↓ πI␈ελp␈↓ πl␈εαw␈α␈ould␈α⊃not␈α⊃be␈α⊃done␈α⊃with␈α⊃an
␈βε␈↓ ↓H␈εαauxiliary␈απtable␈αλof␈αλreciprocals;␈α	instead␈απthe␈αλmethod␈αλof␈αλex␈α␈ercise␈απ4.5.2↑15,␈α	which␈απtak␈α␈es
␈β⊃␈↓ ↓b␈ε↓␈␈↓ α]␈ε↓↓␈↓ 
␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈β,␈↓ αN␈ε¬2␈↓ 
#␈ε¬2␈↓ ⊂␈ε¬2
␈β1␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓p␈εα(␈↓ ↓|␈εαlog␈↓ α0␈ελp␈↓ αB␈εα)␈↓ αt␈εαsteps,␈α
w␈α␈ould␈α	probably␈α
be␈α	used.␈αThen␈α
step␈α	B1␈α
w␈α␈ould␈α	tak␈α␈e␈↓ 	e␈ελO␈↓ 
∞␈ελn␈↓ 
2␈εα(␈↓ 
>␈εαlog␈↓ 
r␈ελp␈↓ ∧␈εα)
␈β<␈↓ εW␈ε↓␈␈↓ πv␈ε↓↓
␈βW␈↓ ε{␈ε¬3␈↓ πg␈ε¬2
␈β\␈↓ ↓H␈εαunits␈α∂of␈α∂time;␈α⊃similarly,␈α∂step␈α⊂B3␈α∂tak␈α␈es␈↓ ε=␈ελO␈↓ εe␈ελn␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈εαlog␈↓ πI␈ελp␈↓ π[␈εα)␈↓ λ∧␈εα.␈α∃In␈α∂step␈α∂B2,␈α⊂w␈α␈e␈α∂can␈α∂form
␈β
α␈↓ ↓Z␈εp
␈β
π␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓p␈εαmod␈↓ α:␈ελu␈↓ αO␈εα(␈↓ α[␈ελx␈↓ αn␈εα)␈α∩in␈α⊃a␈α∩more␈α⊃e}cien␈α␈t␈α∩way␈α⊃than␈α∩(16)␈α⊃when␈↓ λ%␈ελp␈↓ λH␈εαis␈α∩large:␈α↔Section␈α⊃4.6.3
␈β
2␈↓ ↓H␈εαsho␈α␈ws␈αthat␈αthis␈αvalue␈αcan␈αessen␈α␈tially␈αbe␈αobtained␈αby␈αusing␈↓ λ↑␈ελO␈↓ λx␈εα(␈↓ 	∧␈εαlog␈↓ 	8␈ελp␈↓ 	J␈εα)␈αoperations␈αof
␈β
Y␈↓ ε0␈εk␈↓ λ~␈ε¬2␈↓ λ)␈εk
␈β
↑␈↓ ↓H␈εα\squaring␈↓ αp␈εαmod␈↓ β:␈ελu␈↓ βP␈εα(␈↓ β\␈ελx␈↓ βn␈εα),"␈α
i.e.,␈αgoing␈αfrom␈↓ ε≥␈ελx␈↓ εE␈εαmod␈↓ π∂␈ελu␈↓ π$␈εα(␈↓ π0␈ελx␈↓ πC␈εα)␈αto␈↓ λπ␈ελx␈↓ λ=␈εαmod␈↓ 	π␈ελu␈↓ 	≥␈εα(␈↓ 	)␈ελx␈↓ 	<␈εα).␈αThe␈αsquaring
␈β∞	␈↓ ↓H␈εαoperation␈α⊂is␈α⊃relativ␈α␈ely␈α⊂easy␈α⊃to␈α⊃perform␈α⊂if␈α⊃w␈α␈e␈α⊂|rst␈α⊃mak␈α␈e␈α⊃an␈α⊂auxiliary␈α⊃table␈α⊂of
␈β∞/␈↓ ↓Z␈εm
␈β∞4␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓z␈εαmod␈↓ αD␈ελu␈↓ αZ␈εα(␈↓ αf␈ελx␈↓ αy␈εα)␈αfor␈↓ βI␈ελm␈↓ βr␈εα=␈↓ ∧ ␈ελn␈↓ ∧6␈εα,␈↓ ∧L␈ελn␈↓ ∧j␈εα+␈αλ1,␈↓ ¬>␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ¬n␈εα,␈α2␈↓ ε⊗␈ελn␈↓ ε3␈ε⊗␈␈εα␈αλ2;␈αif
␈β∞|␈↓ β}␈εk␈↓ ε2␈εn␈↓ εD␈ε→␈␈ε¬1
␈β∂α␈↓ βk␈ελx␈↓ ∧∪␈εαmod␈↓ ∧]␈ελu␈↓ ∧r␈εα(␈↓ ∧}␈ελx␈↓ ¬⊃␈εα)␈α
=␈↓ ¬U␈ελc␈↓ ε∨␈ελx␈↓ εw␈εα+␈↓ π#␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πU␈εα+␈↓ λ↓␈ελc␈↓ λ≥␈ελx␈↓ λ7␈εα+␈↓ λc␈ελc␈↓ λ␈␈εα,
␈β∂∂␈↓ ¬b␈εn␈↓ ¬t␈ε→␈␈ε¬1␈↓ λ∞␈ε¬1␈↓ λp␈ε¬0
␈β∂P␈↓ ↓H␈εαthen
␈β∂}␈↓ ∧,␈ε↓␈␈↓ 	∩␈ε↓↓
␈β⊂_␈↓ αF␈ε¬2␈↓ αU␈εk␈↓ ∧H␈ε¬2␈↓ ¬_␈ε¬2␈↓ ¬&␈εn␈↓ ¬8␈ε→␈␈ε¬2␈↓ 	∧␈ε¬2
␈β⊂≡␈↓ α4␈ελx␈↓ αi␈εαmod␈↓ β3␈ελu␈↓ βI␈εα(␈↓ βU␈ελx␈↓ βh␈εα)␈α
=␈↓ ∧:␈ελc␈↓ ¬¬␈ελx␈↓ ¬k␈εα+␈↓ ε↔␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εI␈εα+␈αλ(␈↓ π↓␈ελc␈↓ π≥␈ελc␈↓ π@␈εα+␈↓ πl␈ελc␈↓ λπ␈ελc␈↓ λ#␈εα)␈↓ λ/␈ελx␈↓ λJ␈εα+␈↓ λv␈ελc␈↓ 	,␈εαmod␈↓ 	v␈ελu␈↓ 
␈εα(␈↓ 
_␈ελx␈↓ 
+␈εα),
␈β⊂+␈↓ π∞␈ε¬1␈↓ π*␈ε¬0␈↓ πy␈ε¬1␈↓ λ∀␈ε¬0
␈β⊂0␈↓ ∧H␈εn␈↓ ∧Z␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	∧␈ε¬0
␈β⊂f␈↓ αA␈ε¬2␈↓ αP␈εn␈↓ αb␈ε→␈␈ε¬2␈↓ βz␈εn
␈β⊂k␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελx␈↓ β
␈εα,␈↓ β"␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βR␈εα,␈↓ βg␈ελx␈↓ ∧↔␈εαcan␈αbe␈αreplaced␈αby␈αpolynomials␈αin␈αthe␈αauxiliary␈αtable.␈αThe
␈β⊂w␈↓ εz␈ε↓␈␈↓ λ→␈ε↓↓
␈β⊃∩␈↓ ∧"␈εp␈↓ π≥␈ε¬2␈↓ λ
␈ε¬3
␈β⊃↔␈↓ ↓H␈εαnet␈α
time␈αto␈α
compute␈↓ ∧⊂␈ελx␈↓ ∧8␈εαmod␈↓ ¬α␈ελu␈↓ ¬↔␈εα(␈↓ ¬#␈ελx␈↓ ¬6␈εα)␈αcomes␈α
to␈↓ ε`␈ελO␈↓ πλ␈ελn␈↓ π,␈εα(␈↓ π8␈εαlog␈↓ πl␈ελp␈↓ π}␈εα)␈↓ λ1␈εαunits,␈αand␈α
w␈α␈e␈αobtain␈α
the
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα416␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα!␈↓ λ≥␈ε¬2␈↓ λ+␈εp␈↓ 	t␈ε¬3␈↓ 
β␈εp
␈βα&␈↓ ↓H␈εαsecond␈αro␈α␈w␈α
of␈↓ β-␈ελQ␈↓ βG␈εα.␈α∞To␈αget␈α
further␈α
ro␈α␈ws␈αof␈↓ εM␈ελQ␈↓ εg␈εα,␈α
w␈α␈e␈αform␈↓ λ
␈ελx␈↓ λ@␈εαmod␈↓ 	
␈ελu␈↓ 	 ␈εα(␈↓ 	,␈ελx␈↓ 	?␈εα),␈↓ 	b␈ελx␈↓ 
_␈εαmod␈↓ 
b␈ελu␈↓ 
x␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ⊗␈εα),
␈βαL␈↓ εf␈εp
␈βαQ␈↓ ↓H␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ↓␈␈εαsimply␈α
by␈α∞m␈α␈ultiplying␈α
repeatedly␈α
by␈↓ εS␈ελx␈↓ ε{␈εαmod␈↓ πE␈ελu␈↓ πZ␈εα(␈↓ πf␈ελx␈↓ πy␈εα),␈α∞in␈α
a␈α∞fashion␈α
analogous␈α
to
␈βα]␈↓ π-␈ε↓␈␈↓ 
∃␈ε↓↓
␈βαx␈↓ πQ␈ε¬2␈↓ λ=␈ε¬3␈↓ 	→␈ε¬3␈↓ 
ε␈ε¬2
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαsquaring␈α∂mod␈↓ β-␈ελu␈↓ βC␈εα(␈↓ βO␈ελx␈↓ βb␈εα);␈α⊂step␈α∂B2␈α∂is␈α∂completed␈α∂in␈↓ π∪␈ελO␈↓ π;␈ελn␈↓ π←␈εα(␈↓ πk␈εαlog␈↓ λ∨␈ελp␈↓ λ1␈εα)␈↓ λV␈εα+␈↓ 	∧␈ελn␈↓ 	(␈εα(␈↓ 	4␈εαlog␈↓ 	h␈ελp␈↓ 	z␈εα)␈↓ 
2␈εαunits␈α∞of
␈ββ(␈↓ ↓H␈εαtime.␈α
The␈αsame␈αupper␈α
bound␈αapplies␈αto␈α
steps␈αB1,␈αB2,␈α
and␈αB3␈αtak␈α␈en␈α
as␈αa␈αwhole;
␈ββS␈↓ ↓H␈εαthese␈αthree␈αsteps␈αtell␈αus␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αfactors␈αof␈↓ πP␈ελu␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∧␈εα).
␈ββ}␈↓ α␈εαBut␈αλwhen␈↓ β)␈ελp␈↓ βD␈εαis␈αλlarge␈αλand␈α	w␈α␈e␈αλget␈αλto␈α	step␈αλB4,␈α	w␈α␈e␈α	are␈αλask␈α␈ed␈αλto␈α	calculate␈αλa␈αλgreatest
␈β∧)␈↓ ↓H␈εαcommon␈αdivisor␈αfor␈↓ ∧∧␈ελp␈↓ ∧"␈εαdi{eren␈α␈t␈αvalues␈αof␈↓ εG␈ελs␈↓ εV␈εα,␈αand␈αthat␈αis␈αout␈αof␈αthe␈αquestion␈αif␈↓ 
w␈ελp␈↓ ∀␈εαis
␈β∧U␈↓ ↓H␈εαv␈α␈ery␈α
large.␈αThis␈α
h␈α␈urdle␈α
was␈αsurmoun␈α␈ted␈α
by␈α
Hans␈α
Zassenhaus␈α
[␈ε∂J.␈α
Num␈α␈ber␈α
Theory
␈β¬␈↓ ↓H␈ε∩1␈εα␈α∞(1969),␈α∂291↑311],␈α∂who␈α∞sho␈α␈w␈α␈ed␈α∞ho␈α␈w␈α∞to␈α∂determine␈α∞all␈α∞the␈α∂\useful"␈α∞values␈α∞of␈↓ ∪␈ελs␈↓ "␈εα.
␈β¬∂␈↓ π¬␈ε↓Q
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαLet␈↓ α	␈ελv␈↓ α≤␈εα(␈↓ α(␈ελx␈↓ α:␈εα)␈αbe␈αa␈αsolution␈αto␈α(8),␈αand␈αlet␈↓ ελ␈ελw␈↓ ε"␈εα(␈↓ ε.␈ελx␈↓ εA␈εα)␈α
=␈↓ π'␈εα(␈↓ π3␈ελx␈↓ πM␈ε⊗␈␈↓ πx␈ελs␈↓ λπ␈εα)␈αwhere␈αthe␈αproduct␈αis␈αo␈α␈v␈α␈er
␈β¬7␈↓ ¬ε␈ε↓␈␈↓ εl␈ε↓↓
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαall␈α0␈ε⊗␈α∀␈↓ αG␈ελs␈↓ αa␈εα<␈↓ β⊂␈ελp␈↓ β/␈εαsuch␈αthat␈↓ ∧P␈εαgcd␈↓ ¬∀␈ελu␈↓ ¬*␈εα(␈↓ ¬6␈ελx␈↓ ¬I␈εα),␈↓ ¬k␈ελv␈↓ ¬⎇␈εα(␈↓ ε	␈ελx␈↓ ε≤␈εα)␈ε⊗␈α	␈␈↓ ε]␈ελs␈↓ π¬␈ε⊗≤␈εα␈α1.␈α∞By␈α
(14),␈α
this␈α
quan␈α␈tity␈↓ 
B␈ελw␈↓ 
]␈εα(␈↓ 
i␈ελx␈↓ 
|␈εα)␈αis
␈β¬b␈↓ λ1␈ε↓␈␈↓ λ⎇␈ε↓↓
␈βε↓␈↓ ↓H␈εαthe␈αpolynomial␈αof␈αleast␈α
degree␈αsuch␈αthat␈↓ εP␈ελu␈↓ εe␈εα(␈↓ εq␈ελx␈↓ π∧␈εα)␈αdivides␈↓ λ↔␈ελw␈↓ λ?␈ελv␈↓ λR␈εα(␈↓ λ↑␈ελx␈↓ λq␈εα)␈↓ 	␈εα.␈α
Algorithm␈αN␈αcan
␈βε-␈↓ ↓H␈εαtherefore␈α	be␈α	adapted␈α
to␈α	|nd␈α
the␈α	coe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ π⊗␈ελw␈↓ π1␈εα:␈αLet␈↓ λ¬␈ελA␈↓ λ&␈εαbe␈α
the␈α	(␈↓ 	≠␈ελr␈↓ 	0␈εα+␈α∧1)␈ε⊗␈α¬α␈↓ 
#␈ελn␈↓ 
B␈εαmatrix
␈βεS␈↓ π!␈εk
␈βεX␈↓ ↓H␈εαwhose␈↓ α2␈ελk␈↓ αD␈εαth␈αro␈α␈w␈α
con␈α␈tains␈αthe␈α
coe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ εc␈ελv␈↓ εv␈εα(␈↓ πα␈ελx␈↓ π∃␈εα)␈↓ π5␈εαmod␈↓ π␈␈ελu␈↓ λ∃␈εα(␈↓ λ!␈ελx␈↓ λ4␈εα),␈αfor␈α
0␈ε⊗␈α∀␈↓ 	Z␈ελk␈↓ 	w␈ε⊗∀␈↓ 
%␈ελr␈↓ 
5␈εα.␈α
Apply
␈βπβ␈↓ ↓H␈εαthe␈αmethod␈αof␈αAlgorithm␈αN␈αun␈α␈til␈αthe␈α|rst␈αdependence␈αis␈αfound␈αin␈αstep␈αN3;␈αthen
␈βπ)␈↓ λf␈εk
␈βπ.␈↓ ↓H␈εαthe␈αalgorithm␈αterminates␈αwith␈↓ ¬*␈ελw␈↓ ¬E␈εα(␈↓ ¬Q␈ελx␈↓ ¬d␈εα)␈α
=␈↓ ε(␈ελv␈↓ εL␈εα+␈↓ εw␈ελv␈↓ π∃␈ελx␈↓ π/␈εα+␈↓ πZ␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈εα+␈↓ λ5␈ελv␈↓ λT␈ελx␈↓ λu␈εα,␈αwhere␈↓ 	q␈ελv␈↓ 
→␈εαis␈αde|ned
␈βπ<␈↓ ε7␈ε¬0␈↓ ππ␈ε¬1␈↓ λE␈εk␈↓ 
↓␈εj
␈βπY␈↓ ↓H␈εαin␈α
(18).␈α≥(An␈α∞example␈α
is␈α∞w␈α␈ork␈α␈ed␈α∞out␈α∞belo␈α␈w.)␈α≤At␈α∞this␈α∞poin␈α␈t␈α∞2␈ε⊗␈α∀␈↓ 	J␈ελk␈↓ 	i␈ε⊗∀␈↓ 
~␈ελr␈↓ 
*␈εα;␈α∂in␈α
rare
␈βλ¬␈↓ ↓H␈εαcircumstances␈αw␈α␈e␈αmay␈αhav␈α␈e␈↓ ¬λ␈ελk␈↓ ¬#␈εα=␈↓ ¬Q␈ελn␈↓ ¬g␈εα.
␈βλ0␈↓ α␈εαIt␈α∂remains␈α∂to␈α∂|nd␈α⊂the␈α∂factors␈α∂of␈↓ ε ␈ελw␈↓ ε;␈εα(␈↓ εG␈ελx␈↓ εZ␈εα)␈α∂modulo␈α∂a␈α∂large␈α∂prime␈↓ 	]␈ελp␈↓ 	o␈εα,␈α⊂when␈↓ 
k␈ελw␈↓ ∀␈εαis
␈βλ[␈↓ ↓H␈εαkno␈α␈wn␈α
to␈α
split␈α∞in␈α␈to␈α
linear␈α
factors.␈α⊂Suppose␈↓ ε{␈ελw␈↓ π⊗␈εα(␈↓ π"␈ελx␈↓ π5␈εα)␈α=␈α(␈↓ λ	␈ελx␈↓ λ%␈ε⊗␈␈↓ λR␈ελs␈↓ λl␈εα)␈↓ λ}␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	.␈εα(␈↓ 	:␈ελx␈↓ 	V␈ε⊗␈␈↓ 
β␈ελs␈↓ 
≥␈εα);␈α∞then␈α
it
␈βλh␈↓ λ↑␈ε¬1␈↓ 
∂␈εk
␈β	↓␈↓ ¬r␈εp␈↓ π.␈ε¬(␈↓ π8␈εp␈↓ πG␈ε→␈␈ε¬1)/2␈↓ 	ε␈ε¬(␈↓ 	⊂␈εp␈↓ 	∨␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β	ε␈↓ ↓H␈εαdivides␈↓ α@␈ελx␈↓ αS␈εα(␈↓ α←␈ελx␈↓ αx␈ε⊗␈␈εα␈απ1)␈↓ βG␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βw␈εα(␈↓ ∧β␈ελx␈↓ ∧≤␈ε⊗␈␈↓ ∧F␈ελp␈↓ ∧←␈εα+␈αε1)␈α
=␈↓ ¬←␈ελx␈↓ ελ␈ε⊗␈␈↓ ε2␈ελx␈↓ εO␈εα=␈↓ ε⎇␈ελx␈↓ π⊂␈εα(␈↓ π≤␈ελx␈↓ λ∨␈ε⊗␈␈εα␈απ1)(␈↓ λt␈ελx␈↓ 	w␈εα+␈αε1),␈αhence
␈β	1␈↓ ↓H␈εαthe␈αiden␈α␈tity
␈β	X␈↓ α{␈ε↓␈␈↓ ∧z␈ε↓␈␈↓ λ5␈ε↓␈
␈β	r␈↓ εC␈ε¬(␈↓ εL␈εp␈↓ ε[␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈α␈/␈α↓2␈↓ 	⎇␈ε¬(␈↓ 
π␈εp␈↓ 
⊗␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β	x␈↓ ↓H␈ελw␈↓ ↓b␈εα(␈↓ ↓n␈ελx␈↓ α↓␈εα)␈α
=␈↓ αE␈εαgcd␈↓ β	␈ελw␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελx␈↓ βC␈εα),␈↓ βe␈ελx␈↓ βy␈εα+␈↓ ∧≡␈ελt␈↓ ∧+␈εα)␈ε⊗␈αα↓␈↓ ∧D␈εαgcd␈↓ ¬λ␈ελw␈↓ ¬#␈εα(␈↓ ¬/␈ελx␈↓ ¬B␈εα),␈α(␈↓ ¬p␈ελx␈↓ ε∧␈εα+␈↓ ε*␈ελt␈↓ ε7␈εα)␈↓ π/␈ε⊗␈␈εα␈α↓1)␈ε⊗␈α↓↓␈↓ π␈␈εαgcd␈↓ λC␈ελw␈↓ λ↑␈εα(␈↓ λj␈ελx␈↓ λ|␈εα),␈α(␈↓ 	*␈ελx␈↓ 	?␈εα+␈↓ 	d␈ελt␈↓ 	q␈εα)␈↓ 
i␈εα+␈α↓1)
␈β
#␈↓ 
p␈εα(20)
␈β
N␈↓ ↓H␈εαholds␈αλfor␈αλall␈αλin␈α␈tegers␈↓ ∧ε␈ελt␈↓ ∧∪␈εα.␈αZassenhaus's␈αλprocedure␈αλfor␈αλfactoring␈↓ λc␈ελw␈↓ 	ε␈εαis␈αλto␈αλtry␈αλcomputing
␈β
Z␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ ¬
␈ε↓↓
␈β
t␈↓ βV␈ε¬(␈↓ β`␈εp␈↓ βo␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β
z␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελw␈↓ α&␈εα(␈↓ α2␈ελx␈↓ αE␈εα),␈α(␈↓ αs␈ελx␈↓ β⊂␈εα+␈↓ β=␈ελt␈↓ βJ␈εα)␈↓ ∧J␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈↓ ¬'␈εαfor␈↓ ¬a␈ελt␈↓ ¬|␈εα=␈α∂0,␈α∂1,␈α∂2,␈↓ π0␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ πi␈εαun␈α␈til␈↓ λ@␈ελw␈↓ λi␈εαhas␈α∂been␈α∞completely
␈β%␈↓ ↓H␈εαsplit.␈αAt␈α|rst␈αglance␈αthis␈αmay␈αappear␈αto␈αbe␈αan␈αine}cien␈α␈t␈αtrial-and-error␈αmethod,
␈βP␈↓ ↓H␈εαbut␈α	actually␈α
it␈α
|nds␈α
the␈α	factors␈α
v␈α␈ery␈α
rapidly,␈α
since␈α
the␈α	probability␈α
of␈α
a␈α	non␈α␈trivial
␈βv␈↓ ¬p␈ε→␈␈↓ ε
␈εk
␈β{␈↓ ↓H␈εαgcd␈α
in␈α∞(20)␈α
is␈α
appro␈α␈ximately␈α∞1␈ε⊗␈α	␈␈↓ ¬↑␈εα2␈↓ ε(␈εαwhen␈↓ πλ␈ελt␈↓ π"␈εαis␈α∞chosen␈α
at␈α∞random.␈α⊂The␈α
reason
␈β!␈↓ ¬π␈ε¬(␈↓ ¬⊃␈εp␈↓ ¬ ␈ε→␈␈ε¬1)/2␈↓ 	␈ε¬(␈↓ 	∃␈εp␈↓ 	$␈ε→␈␈ε¬1␈α↓)␈α␈/␈α↓2
␈β&␈↓ ↓H␈εαis␈αthat␈↓ α9␈ελx␈↓ αT␈ε⊗␈␈↓ α␈␈ελs␈↓ β"␈εαdivides␈α(␈↓ ∧(␈ελx␈↓ ∧C␈εα+␈↓ ∧n␈ελt␈↓ ∧{␈εα)␈↓ ¬y␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈αif␈αand␈αonly␈αif␈α(␈↓ λ(␈ελs␈↓ λG␈εα+␈↓ λs␈ελt␈↓ 	␈εα)␈↓ 	|␈εαmod␈↓ 
F␈ελp␈↓ 
b␈εα=␈α
1,
␈β4␈↓ β␈εi␈↓ λ4␈εi
␈βR␈↓ ↓H␈εαand␈αthis␈αoccurs␈α
for␈αabout␈αhalf␈αof␈αall␈αvalues␈↓ εh␈ελt␈↓ εu␈εα.␈α↔(Ex␈α␈ercise␈α14␈αgiv␈α␈es␈αa␈αrigorous␈α
proof
␈β]␈↓ αN␈ε↓␈␈↓ ¬T␈ε↓↓
␈βx␈↓ ∧ ␈ε¬(␈↓ ∧*␈εp␈↓ ∧9␈ε→␈␈ε¬1)/2␈↓ 
I␈ε→␈␈ε¬1
␈βy␈↓ 	G␈ε¬1
␈β⎇␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α_␈εαgcd␈↓ α\␈ελw␈↓ αw␈εα(␈↓ ββ␈ελx␈↓ β⊗␈εα),␈αε(␈↓ β>␈ελx␈↓ βZ␈εα+␈↓ ∧π␈ελt␈↓ ∧∀␈εα)␈↓ ¬∀␈ε⊗␈␈εα␈α
1␈↓ ¬p␈εαwill␈α∂be␈α∞non␈α␈trivial␈α∞more␈α∂than␈↓ 	c␈εα+␈↓ 
⊂␈ελO␈↓ 
+␈εα(␈↓ 
7␈ελp␈↓ 
t␈εα)␈α∞of
␈β

␈↓ 	G␈∧

	Gα∂
␈β
⊂␈↓ 	G␈ε¬2
␈β
(␈↓ ↓H␈εαthe␈αtime␈αwhen␈↓ β3␈ελt␈↓ βK␈εαis␈αchosen␈αat␈αrandom.␈αTherefore␈αthe␈αexpected␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αtrials␈αis
␈β
S␈↓ ↓H␈εαroughly␈α2,␈αand␈αw␈α␈e␈α\nev␈α␈er"␈αwill␈αhav␈α␈e␈αto␈αwait␈αlong.)
␈β
y␈↓ πj␈ε¬[3␈α↓]␈↓ λ␈␈ε¬7␈↓ 	x␈ε¬5␈↓ 
r␈ε¬4
␈β
}␈↓ α␈εαFor␈αexample,␈α
let's␈αreconsider␈αthe␈αpolynomial␈↓ πW␈ελv␈↓ λ	␈εα(␈↓ λ∃␈ελx␈↓ λ'␈εα)␈α=␈↓ λl␈ελx␈↓ 	∃␈εα+␈α	12␈↓ 	f␈ελx␈↓ 
∂␈εα+␈αλ10␈↓ 
←␈ελx␈↓ λ␈εα+
␈β∞$␈↓ ↓l␈ε¬3␈↓ α[␈ε¬2
␈β∞*␈↓ ↓H␈εα9␈↓ ↓Z␈ελx␈↓ ↓⎇␈εα+␈αβ11␈↓ αH␈ελx␈↓ αl␈εα+␈αα9␈↓ β$␈ελx␈↓ β?␈εαmen␈α␈tioned␈αλearlier,␈α	and␈απlet's␈αλpretend␈αλthat␈αλ13␈αλis␈αλa␈αλlarge␈αλprime.␈α
Then
␈β∞h␈↓ β0␈εαMatrix␈↓ ∧(␈ελA␈↓ πg␈εαis␈αtransformed␈αin␈α␈to
␈β∂∧␈↓ ↓L␈ε↓0␈↓ ε␈ε↓1␈↓ εP␈ε↓0␈↓ ⊂␈ε↓1
␈β∂
␈↓ εm␈ε↓a
␈β∂'␈↓ ↓|␈εα1␈↓ αD␈εα0␈↓ β␈εα0␈↓ βT␈εα0␈↓ ∧≤␈εα0␈↓ ∧d␈εα0␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα0␈↓ εn␈εα12␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β∂8␈↓ 	U␈ε↓a
␈β∂E␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β∂R␈↓ ↓|␈εα0␈↓ αD␈εα9␈↓ αz␈εα11␈↓ βT␈εα9␈↓ ∧
␈εα10␈↓ ∧R␈εα12␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα1␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	V␈εα12␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β∂Z␈↓ ↓L␈ε↓B␈↓ ε␈ε↓C␈↓ εP␈ε↓B␈↓ ⊂␈ε↓C
␈β∂c␈↓ 
≥␈ε↓a
␈β∂p␈↓ ↓L␈ε↓@␈↓ ε␈ε↓A␈↓ εP␈ε↓@␈↓ ⊂␈ε↓A
␈β∂⎇␈↓ ↓|␈εα4␈↓ αD␈εα4␈↓ β␈εα6␈↓ βT␈εα9␈↓ ∧≤␈εα1␈↓ ∧d␈εα7␈↓ ¬~␈εα12␈↓ ¬t␈εα1␈↓ π␈εα0␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα0␈↓ 
≡␈εα12␈↓ 
x␈εα0
␈β⊂(␈↓ ↓|␈εα4␈↓ αD␈εα6␈↓ β␈εα3␈↓ βT␈εα6␈↓ ∧
␈εα11␈↓ ∧d␈εα8␈↓ ¬,␈εα0␈↓ ¬t␈εα5␈↓ π␈εα9␈↓ πH␈εα0␈↓ λ⊂␈εα0␈↓ λX␈εα0␈↓ 	 ␈εα0␈↓ 	h␈εα8␈↓ 
0␈εα0␈↓ 
x␈εα0
␈β⊂j␈↓ ¬S␈ε¬3
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαso␈α⊂w␈α␈e␈α⊂hav␈α␈e␈↓ β
␈ελw␈↓ β%␈εα(␈↓ β1␈ελx␈↓ βD␈εα)␈α⊃=␈α⊃9␈α+␈α8␈↓ ∧t␈ελx␈↓ ¬⊃␈εα+␈↓ ¬@␈ελx␈↓ ¬a␈εα.␈α→Setting␈↓ π∧␈ελt␈↓ π"␈εα=␈α⊃0␈α⊃in␈α⊂(20)␈α⊂produces␈α⊂the␈α⊂factor
␈β⊃∃␈↓ λ{␈ε¬2
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ελx␈↓ ↓b␈εα+␈α	1␈α
=␈↓ αY␈ελx␈↓ αt␈ε⊗␈␈εα␈αλ12,␈αand␈αw␈α␈e␈αreplace␈↓ ¬O␈ελw␈↓ ¬j␈εα(␈↓ ¬v␈ελx␈↓ ε	␈εα)␈αby␈↓ εU␈ελw␈↓ εp␈εα(␈↓ ε|␈ελx␈↓ π∂␈εα)/(␈↓ π9␈ελx␈↓ πS␈ε⊗␈␈εα␈α	12)␈α
=␈↓ λh␈ελx␈↓ 	⊃␈εα+␈αλ12␈↓ 	a␈ελx␈↓ 	|␈εα+␈αλ9.␈αWhen
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα417
␈βα(␈↓ ↓H␈ελt␈↓ ↓c␈εα=␈α∞1␈α∂w␈α␈e␈α∂get␈α∞the␈α∂other␈α∂factors␈↓ ¬F␈ελx␈↓ ¬c␈ε⊗␈␈εα␈α
6␈α∞and␈↓ εz␈ελx␈↓ π↔␈ε⊗␈␈εα␈α	8.␈α∀The␈α∂useful␈α∂values␈α∞of␈↓ 
I␈ελs␈↓ 
f␈εαwith
␈βαN␈↓ β␈ε¬[3␈α↓]
␈βαS␈↓ ↓H␈εαrespect␈αto␈↓ αn␈ελv␈↓ β∨␈εα(␈↓ β+␈ελx␈↓ β>␈εα)␈αare␈α6,␈α8,␈αand␈α12.
␈βα}␈↓ α␈εαIf␈αw␈α␈e␈α
assume␈α(as␈α
w␈α␈e␈αmay)␈α
that␈αa␈α
non␈α␈trivial␈αfactor␈α
of␈↓ λ=␈ελw␈↓ λX␈εα(␈↓ λd␈ελx␈↓ λv␈εα)␈αwill␈α
be␈αfound␈α
after
␈ββ*␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓b␈εα(1)␈α∞applications␈α∞of␈α∞(20),␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α∞giv␈α␈e␈α∞an␈α∂upper␈α∞bound␈α∞on␈α∞the␈α∞time␈α∞to␈α∞perform
␈ββ5␈↓ β≡␈ε↓␈␈↓ ∧[␈ε↓↓
␈ββP␈↓ β<␈ε¬2␈↓ β`␈ε¬2␈↓ ∧M␈ε¬2␈↓ 	∩␈ε¬[␈↓ 	~␈εj␈↓ 	'␈ε¬]
␈ββU␈↓ ↓H␈εαB4:␈α
It␈α
tak␈α␈es␈↓ β∧␈ελO␈↓ β,␈ελr␈↓ βJ␈ελn␈↓ βo␈εα(␈↓ β{␈εαlog␈↓ ∧/␈ελp␈↓ ∧A␈εα)␈↓ ∧s␈εαsteps␈α	to␈α	compute␈α
each␈↓ πR␈ελw␈↓ πw␈εα(␈↓ λβ␈ελx␈↓ λ⊗␈εα)␈α
from␈↓ λ␈␈ελv␈↓ 	/␈εα(␈↓ 	;␈ελx␈↓ 	N␈εα),␈α
plus␈α	at␈α	most
␈ββ`␈↓ ↓b␈ε↓␈␈↓ ∧0␈ε↓↓␈↓ 
H␈ε↓↓
␈ββb␈↓ πj␈εj
␈ββ{␈↓ α␈ε¬3␈↓ αl␈ε¬3␈↓ β5␈ε¬4␈↓ ∧!␈ε¬2␈↓ 	M␈ε¬3␈↓ 
:␈ε¬2
␈β∧␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓p␈ελr␈↓ α∞␈εα(␈↓ α~␈εαlog␈↓ αN␈ελp␈↓ α`␈εα)␈↓ α}␈εα+␈↓ β%␈ελr␈↓ βC␈εα(␈↓ βO␈εαlog␈↓ ∧β␈ελp␈↓ ∧∃␈εα)␈↓ ∧F␈εαsteps␈αλto␈α	|nd␈αλtheir␈αλroots,␈α	plus␈α	at␈αλmost␈↓ 	↓␈ελO␈↓ 	≤␈εα(␈↓ 	(␈ελr␈↓ 	7␈ελn␈↓ 	[␈εα(␈↓ 	g␈εαlog␈↓ 
≠␈ελp␈↓ 
.␈εα)␈↓ 
↑␈εαsteps
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαto␈α∞compute␈α∂gcd's␈α∂as␈α∞in␈α∂(14).␈α∀The␈α∂computation␈α∂will␈α∞usually␈α∂be␈α∂completed␈α∞ev␈α␈en
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαfaster,␈αand␈↓ αy␈ελr␈↓ β∀␈εαis␈αusually␈α
small␈αcompared␈αto␈↓ ε\␈ελn␈↓ εq␈εα.␈αTh␈α␈us,␈αstep␈αB4␈α
is␈αnot␈αthe␈α
bottleneck
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαafter␈αall,␈αwhen␈αw␈α␈e␈αuse␈αZassenhaus's␈αsuggestions.
␈β¬-␈↓ α␈εαFor␈απdiscussion,␈αλsee␈απE.␈απR.␈αεBerlekamp,␈ε∂␈αλMath.␈απComp.␈ε∩␈απ24␈εα␈απ(1970),␈αλ713↑735;␈αλRobert
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαT.␈αMoenck,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α31␈εα␈α(1977),␈α235↑250.
␈βε∩␈↓ ↓H␈ε∩Distinct␈α∞degree␈α∞factorization.␈εα␈α≡A␈α∞somewhat␈α∂simpler␈α∞method␈α∂that␈α∞often␈α∞obtains
␈βε=␈↓ ↓H␈εαfactors␈αmodulo␈↓ β<␈ελp␈↓ βY␈εαcan␈αbe␈αbased␈αon␈αthe␈αfact␈αthat␈αan␈αirreducible␈αpolynomial␈↓ 
I␈ελq␈↓ 
Y␈εα(␈↓ 
e␈ελx␈↓ 
w␈εα)␈αof
␈βε`␈↓ ∧]␈ε
d␈↓ λw␈ε
c
␈βεd␈↓ ∧N␈εp␈↓ λh␈εp
␈βεi␈↓ ↓H␈εαdegree␈↓ α8␈ελd␈↓ αX␈εαis␈αa␈α
divisor␈αof␈↓ ∧;␈ελx␈↓ ∧s␈ε⊗␈␈↓ ¬∨␈ελx␈↓ ¬2␈εα,␈αand␈αit␈αis␈α
not␈αa␈αdivisor␈αof␈↓ λU␈ελx␈↓ 	
␈ε⊗␈␈↓ 	6␈ελx␈↓ 	U␈εαfor␈↓ 

␈ελc␈↓ 
&␈εα<␈↓ 
T␈ελd␈↓ 
h␈εα;␈αsee
␈βπ∀␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α16.␈αWe␈αproceed␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈βπG␈↓ ↓P␈ε∩S1.␈↓ α␈εαRule␈αout␈αsquared␈αfactors␈αand␈α|nd␈αthe␈αmatrix␈↓ π[␈ελQ␈↓ πu␈εα,␈αas␈αin␈αBerlekamp's␈αmethod.
␈βπr␈↓ α␈εαAlso␈α∂set␈↓ β≠␈ελv␈↓ β.␈εα(␈↓ β:␈ελx␈↓ βM␈εα)␈ε⊗␈α∂ ␈↓ ∧≤␈ελu␈↓ ∧2␈εα(␈↓ ∧>␈ελx␈↓ ∧P␈εα),␈↓ ∧w␈ελw␈↓ ¬∩␈εα(␈↓ ¬≡␈ελx␈↓ ¬0␈εα)␈ε⊗␈α⊂ ␈↓ ε␈εα\␈↓ ε∩␈ελx␈↓ ε%␈εα"␈↓ ε7␈εα,␈α⊂and␈↓ π~␈ελd␈↓ π>␈ε⊗ ␈εα␈α⊂0.␈α∨(Here␈↓ 	⊃␈ελv␈↓ 	$␈εα(␈↓ 	0␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈α∂and␈↓ 
'␈ελw␈↓ 
B␈εα(␈↓ 
N␈ελx␈↓ 
a␈εα)␈α∂are
␈βλ≥␈↓ α␈εαvariables␈αthat␈αhav␈α␈e␈αpolynomials␈αas␈αvalues.)
␈βλ0␈↓ λk␈ε↓␈
␈βλK␈↓ π$␈εp
␈βλP␈↓ ↓P␈ε∩S2.␈↓ α␈εαIncrease␈↓ β_␈ελd␈↓ β:␈εαby␈α∞1␈α∂and␈α∞replace␈↓ ¬U␈ελw␈↓ ¬p␈εα(␈↓ ¬|␈ελx␈↓ ε∞␈εα)␈α∞by␈↓ ε↑␈ελw␈↓ εy␈εα(␈↓ π¬␈ελx␈↓ π_␈εα)␈↓ π9␈εαmod␈↓ λβ␈ελu␈↓ λ→␈εα(␈↓ λ%␈ελx␈↓ λ8␈εα).␈↓ λy␈εαIn␈α∞other␈α∞w␈α␈ords,␈α∞the
␈βλ{␈↓ α␈εαcoe}cien␈α␈ts␈α∂(␈↓ βP␈ελw␈↓ βv␈εα,␈↓ ∧ε␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧6␈εα,␈↓ ∧F␈ελw␈↓ ¬≠␈εα)␈α⊂are␈α∂replaced␈α∂by␈α∂(␈↓ πJ␈ελw␈↓ πp␈εα,␈↓ λ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ0␈εα,␈↓ λ@␈ελw␈↓ 	∃␈εα)␈↓ 	!␈ελQ␈↓ 	;␈εα.␈α⊗At␈α∂this␈α∂poin␈α␈t
␈β	ε␈↓ ∧T␈ε↓↓
␈β	λ␈↓ βh␈ε¬0␈↓ ∧↑␈εn␈↓ ∧p␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πb␈ε¬0␈↓ λX␈εn␈↓ λj␈ε→␈␈ε¬1
␈β	≡␈↓ β,␈ε
d
␈β	!␈↓ β≤␈εp
␈β	&␈↓ α␈ελw␈↓ α'␈εα(␈↓ α3␈ελx␈↓ αF␈εα)␈α
=␈↓ β
␈ελx␈↓ β?␈εαmod␈↓ ∧	␈ελu␈↓ ∧∨␈εα(␈↓ ∧+␈ελx␈↓ ∧>␈εα).
␈β	9␈↓ ∧␈ε↓␈␈↓ ¬t␈ε↓↓␈↓ ε%␈ε↓␈
␈β	Y␈↓ ↓P␈ε∩S3.␈↓ α␈εαFind␈↓ αb␈ελg␈↓ αs␈εα(␈↓ α␈␈ελx␈↓ β∩␈εα)␈α
=␈↓ βV␈εαgcd␈↓ ∧~␈ελw␈↓ ∧5␈εα(␈↓ ∧A␈ελx␈↓ ∧S␈εα)␈ε⊗␈αλ␈␈↓ ¬∪␈ελx␈↓ ¬&␈εα,␈↓ ¬6␈ελv␈↓ ¬I␈εα(␈↓ ¬U␈ελx␈↓ ¬h␈εα)␈↓ εα␈εα.␈↓ ε3␈εαThis␈αis␈αthe␈αproduct␈αof␈αall␈αthe␈αirreducible
␈β	d␈↓ ε∃␈ε↓↓
␈β
∧␈↓ α␈εαfactors␈αof␈↓ β,␈ελu␈↓ βB␈εα(␈↓ βN␈ελx␈↓ β`␈εα)␈αwhose␈αdegree␈αis␈↓ ¬v␈ελd␈↓ ε␈εα.␈↓ ε<␈εαReplace␈↓ πC␈ελv␈↓ πV␈εα(␈↓ πb␈ελx␈↓ πt␈εα)␈αby␈↓ λ@␈ελv␈↓ λS␈εα(␈↓ λ←␈ελx␈↓ λr␈εα)/␈↓ 	⊂␈ελg␈↓ 	!␈εα(␈↓ 	-␈ελx␈↓ 	@␈εα).
␈β
3␈↓ α⎇␈ε¬1
␈β
7␈↓ ↓P␈ε∩S4.␈↓ α␈εαIf␈↓ α,␈ελd␈↓ αK␈εα<␈↓ β∂␈εαdeg␈↓ βE␈εα(␈↓ βQ␈ελv␈↓ βd␈εα),␈α	return␈αλto␈αλS2.␈αOtherwise␈↓ εw␈ελv␈↓ π	␈εα(␈↓ π∃␈ελx␈↓ π(␈εα)␈αλis␈α	irreducible,␈α	and␈αλthe␈αλprocedure
␈β
G␈↓ α⎇␈∧
Gα⎇α∂
␈β
I␈↓ α⎇␈ε¬2
␈β
b␈↓ α␈εαterminates.
␈β
g␈↓ βd␈∧
gβd≠∂
␈β≤␈↓ α␈εαThis␈αprocedure␈αdetermines␈αthe␈αproduct␈αof␈αall␈αirreducible␈αfactors␈αof␈αeach␈αde-
␈βG␈↓ ↓H␈εαgree␈↓ α→␈ελd␈↓ α-␈εα,␈α∪and␈α⊃therefore␈α∩it␈α⊃tells␈α⊃us␈α∩ho␈α␈w␈α⊃man␈α␈y␈α∩factors␈α⊃there␈α⊃are␈α∩of␈α⊃each␈α⊃degree.
␈βr␈↓ ↓H␈εαSince␈α∞the␈α∂three␈α∞factors␈α∂of␈α∂our␈α∞example␈α∂polynomial␈α∂(19)␈α∞hav␈α␈e␈α∂di{eren␈α␈t␈α∞degrees,
␈β≡␈↓ ↓H␈εαthey␈α⊂w␈α␈ould␈α⊃all␈α⊃be␈α⊂disco␈α␈v␈α␈ered.␈α~The␈α⊃total␈α⊃running␈α⊂time,␈α∩analyzed␈α⊃as␈α⊃abo␈α␈v␈α␈e,␈α⊃is
␈β)␈↓ ↓b␈ε↓␈␈↓ ∧E␈ε↓↓
␈βD␈↓ α¬␈ε¬3␈↓ αr␈ε¬2␈↓ βJ␈ε¬2␈↓ ∧7␈ε¬3
␈βI␈↓ ↓H␈ελO␈↓ ↓p␈ελn␈↓ α∀␈εα(␈↓ α ␈εαlog␈↓ αT␈ελp␈↓ αf␈εα)␈↓ β	␈εα+␈↓ β5␈ελn␈↓ βY␈εα(␈↓ βe␈εαlog␈↓ ∧→␈ελp␈↓ ∧+␈εα)␈↓ ∧S␈εα.
␈βt␈↓ α␈εαThe␈α
distinct␈αdegree␈α
factorization␈α
technique␈αwas␈α
kno␈α␈wn␈α
to␈αsev␈α␈eral␈α
people␈αin
␈β
∨␈↓ ↓H␈εα1960␈αλ[cf.␈απS.␈αλW.␈αλGolom␈α␈b,␈α	L.␈αλR.␈αλWelch,␈αλA.␈αλHales,␈α	\On␈αλthe␈αλfactorization␈αλof␈απtrinomials
␈β
J␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈α	GF(2),"␈α
Jet␈α
Propulsion␈α	Laboratory␈α
memo␈α
20↑189␈α	(July␈α
14,␈α
1959)],␈α
but␈α	there
␈β
m␈↓ ∂␈εα⊂
␈β
v␈↓ ↓H␈εαseem␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂no␈α⊂references␈α⊂to␈α⊂it␈α⊂in␈α⊃the␈α⊂\open␈α⊂literature."␈α_Previous␈α⊂w␈α␈ork␈α⊂by␈↓ ∞␈εαS␈↓ "␈εα.
␈β∞!␈↓ ↓H␈εαSch␈α␈warz,␈ε∂␈α	Quart.␈α
J.␈α	Math.␈εα,␈α
Oxford␈α	(2)␈ε∩␈α	7␈εα␈α	(1956),␈α
110↑124,␈α
had␈α	sho␈α␈wn␈α	ho␈α␈w␈α	to␈α	deter-
␈β∞L␈↓ ↓H␈εαmine␈α∂the␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α∂irreducible␈α∂factors␈α⊂of␈α∂each␈α∂degree,␈α⊂but␈α⊂not␈α∂their␈α∂product,
␈β∞w␈↓ ↓H␈εαusing␈αthe␈αmatrix␈↓ βZ␈ελQ␈↓ βt␈εα.
␈β∂"␈↓ α␈εαIf␈α∂the␈α⊂distinct␈α∂degree␈α∂factorization␈α∂procedure␈α∂doesn't␈α⊂|nd␈α∂a␈α∂complete␈α∂fac-
␈β∂N␈↓ ↓H␈εαtorization,␈αit␈αis␈αnot␈αnecessary␈αto␈αabandon␈αhope:␈αThere␈αis␈αstill␈αa␈αgood␈αchance␈αthat
␈β∂Y␈↓ εp␈ε↓␈␈↓ 	y␈ε↓↓
␈β∂p␈↓ λT␈ε
d
␈β∂t␈↓ λ;␈ε¬(␈↓ λE␈εp␈↓ λb␈ε→␈␈ε¬1)/2
␈β∂y␈↓ ↓H␈εαthe␈αfactors␈αcan␈αbe␈αfound␈αby␈αcomputing␈↓ ε:␈εαgcd␈↓ ε}␈ελg␈↓ π∂␈εα(␈↓ π≠␈ελx␈↓ π-␈εα),␈α(␈↓ π[␈ελx␈↓ πv␈εα+␈↓ λ"␈ελt␈↓ λ/␈εα)␈↓ 	;␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ 
∪␈εαfor␈↓ 
K␈ελt␈↓ 
b␈εα=␈α
0,
␈β⊂$␈↓ ↓H␈εα1,␈↓ ↓s␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ α#␈εα,␈↓ α<␈ελp␈↓ αX␈ε⊗␈␈εα␈α
1,␈α∂when␈↓ ∧∩␈ελp␈↓ ∧3␈εαis␈α∂odd␈α∞and␈α∂all␈α∂irreducible␈α∞factors␈α∂of␈↓ λz␈ελg␈↓ 	␈εα(␈↓ 	↔␈ελx␈↓ 	)␈εα)␈α∂hav␈α␈e␈α∂degree␈↓ ∞␈ελd␈↓ "␈εα.
␈β⊂G␈↓ βs␈ε
d
␈β⊂J␈↓ βc␈εp
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εαEv␈α␈ery␈αdivisor␈αof␈↓ βQ␈ελx␈↓ ∧λ␈ε⊗␈␈↓ ∧4␈ελx␈↓ ∧S␈εαalso␈αdivides
␈β⊂w␈↓ ¬U␈ε↓␈␈↓ λ
␈ε↓↓␈↓ λ≠␈ε↓␈␈↓ 
S␈ε↓↓
␈β⊃
␈↓ β∧␈ε
d␈↓ εh␈ε
d␈↓ 	.␈ε
d
␈β⊃⊃␈↓ αu␈εp␈↓ εO␈ε¬(␈↓ εY␈εp␈↓ εv␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈α↓)␈α␈/␈α↓2␈↓ 	∃␈ε¬(␈↓ 	∨␈εp␈↓ 	<␈ε→␈␈ε¬␈α␈1␈α↓)␈α␈/␈α↓2
␈β⊃↔␈↓ α	␈εα(␈↓ α∃␈ελx␈↓ α0␈εα+␈↓ α\␈ελt␈↓ αi␈εα)␈↓ β~␈ε⊗␈␈εα␈αλ(␈↓ βR␈ελx␈↓ βl␈εα+␈↓ ∧_␈ελt␈↓ ∧%␈εα)␈α
=␈α
(␈↓ ∧u␈ελx␈↓ ¬⊂␈εα+␈↓ ¬<␈ελt␈↓ ¬I␈εα)␈↓ ¬c␈εα(␈↓ ¬o␈ελx␈↓ ε
␈εα+␈↓ ε6␈ελt␈↓ εC␈εα)␈↓ πO␈ε⊗␈␈εα␈αλ1␈↓ λ)␈εα(␈↓ λ5␈ελx␈↓ λP␈εα+␈↓ λ|␈ελt␈↓ 		␈εα)␈↓ 
∃␈εα+␈αλ1␈↓ 
a␈εα,
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα418␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα&␈↓ ↓H␈εαso␈αw␈α␈e␈αcan␈αargue␈αas␈αin␈α(20).␈αIf␈↓ ¬_␈ελd␈↓ ¬7␈εα=␈α
1,␈αall␈αthe␈αlinear␈αfactors␈αwill␈αbe␈αfound␈αquickly,
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαev␈α␈en␈α⊂when␈↓ β↓␈ελp␈↓ β#␈εαis␈α⊂large.␈α_If␈↓ ∧a␈ελd␈↓ ¬ε␈εα>␈α⊃1,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂migh␈α␈t␈α⊂not␈α⊂split␈↓ λ$␈ελg␈↓ λ5␈εα(␈↓ λA␈ελx␈↓ λS␈εα)␈α⊂completely,␈α⊃but␈α⊂the
␈βα⎇␈↓ ↓H␈εαprospects␈αare␈αgood,␈ε∂␈αespecially␈εα␈αif␈↓ ¬F␈ελp␈↓ ¬d␈εαis␈αlarge.
␈ββ)␈↓ α␈εαFor␈α	example,␈α	there␈αλare␈α	eigh␈α␈t␈αλirreducible␈α	polynomials␈↓ λ<␈ελf␈↓ λM␈εα(␈↓ λY␈ελx␈↓ λl␈εα)␈αλof␈α	degree␈αλ3,␈α	modulo
␈ββ4␈↓ λ3␈ε↓␈␈↓ 
e␈ε↓↓
␈ββO␈↓ 
↓␈ε¬13
␈ββT␈↓ ↓H␈εα3,␈α
and␈α
they␈α∞will␈α
all␈α
be␈α
distinguished␈α∞by␈α
calculating␈↓ π⎇␈εαgcd␈↓ λA␈ελf␈↓ λR␈εα(␈↓ λ↑␈ελx␈↓ λq␈εα),␈α(␈↓ 	∨␈ελx␈↓ 	;␈εα+␈↓ 	h␈ελt␈↓ 	u␈εα)␈↓ 
&␈ε⊗␈␈εα␈α	1␈↓ ␈εαfor
␈ββ␈␈↓ ↓H␈εα0␈ε⊗␈α
∀␈↓ α∩␈ελt␈↓ α)␈εα<␈α
3:
␈β∧S␈↓ ∧8␈ελf␈↓ ∧I␈εα(␈↓ ∧U␈ελx␈↓ ∧h␈εα)␈↓ ε'␈ελt␈↓ ε>␈εα=␈α
0␈↓ πF␈ελt␈↓ π↑␈εα=␈α
1␈↓ λf␈ελt␈↓ λ⎇␈εα=␈α
2
␈β¬π␈↓ βJ␈ε¬3
␈β¬␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧u␈εα2␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈αλ1␈↓ εJ␈εα1␈↓ πi␈εα1␈↓ 	λ␈εα1
␈β¬2␈↓ βJ␈ε¬3
␈β¬7␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧u␈εα2␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈αλ2␈↓ ε5␈ελf␈↓ εF␈εα(␈↓ εR␈ελx␈↓ εe␈εα)␈↓ πT␈ελf␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∧␈εα)␈↓ λs␈ελf␈↓ 	∧␈εα(␈↓ 	⊂␈ελx␈↓ 	#␈εα)
␈β¬]␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈β¬c␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ¬M␈εα2␈↓ ε5␈ελf␈↓ εF␈εα(␈↓ εR␈ελx␈↓ εe␈εα)␈↓ πT␈ελf␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∧␈εα)␈↓ 	λ␈εα1
␈βε	␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈βε∞␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈αλ2␈↓ ε5␈ελf␈↓ εF␈εα(␈↓ εR␈ελx␈↓ εe␈εα)␈↓ πi␈εα1␈↓ λs␈ελf␈↓ 	∧␈εα(␈↓ 	⊂␈ελx␈↓ 	#␈εα)
␈βε4␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈βε9␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ∧u␈εα2␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈αλ1␈↓ εJ␈εα1␈↓ πT␈ελf␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∧␈εα)␈↓ λs␈ελf␈↓ 	∧␈εα(␈↓ 	⊂␈ελx␈↓ 	#␈εα)
␈βε←␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈βεd␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧
␈εα2␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ¬M␈εα1␈↓ εJ␈εα1␈↓ πT␈ελf␈↓ πe␈εα(␈↓ πq␈ελx␈↓ λ∧␈εα)␈↓ 	λ␈εα1
␈βπ
␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈βπ∂␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧
␈εα2␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ¬π␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈αλ1␈↓ εJ␈εα1␈↓ πi␈εα1␈↓ λs␈ελf␈↓ 	∧␈εα(␈↓ 	⊂␈ελx␈↓ 	#␈εα)
␈βπ5␈↓ βJ␈ε¬3␈↓ ∧1␈ε¬2
␈βπ;␈↓ β8␈ελx␈↓ βa␈εα+␈↓ ∧
␈εα2␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧H␈εα+␈↓ ∧t␈εα2␈↓ ¬ε␈ελx␈↓ ¬!␈εα+␈↓ ¬M␈ελx␈↓ ε5␈ελf␈↓ εF␈εα(␈↓ εR␈ελx␈↓ εe␈εα)␈↓ πi␈εα1␈↓ 	λ␈εα1
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εαOn␈α⊂the␈α⊃other␈α⊃hand,␈α⊃when␈α⊃the␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂of␈α⊃irreducible␈α⊂polynomials␈α⊃of␈α⊃degree␈↓ _␈ελd
␈βλ:␈↓ αV␈εp
␈βλ?␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ceeds␈↓ αD␈εα2␈↓ αf␈εα,␈αλit␈αλis␈απclear␈αλthat␈αλthere␈απwill␈αλexist␈αλirreducibles␈απthat␈αλcannot␈αλbe␈απdistinguished
␈βλj␈↓ ↓H␈εαby␈αthis␈αmethod.␈α_M.␈αO.␈αRabin␈αhas␈αsho␈α␈wn␈αho␈α␈w␈αto␈αextend␈αthe␈αdistinct-degree␈αfac-
␈β	∃␈↓ ↓H␈εαtorization␈α
technique␈αto␈αa␈αcomplete␈αfactorization␈α
in␈αall␈αcases,␈αby␈αdoing␈α
arithmetic
␈β	;␈↓ βB␈εn
␈β	@␈↓ ↓H␈εαin␈αa␈α|eld␈αwith␈↓ β0␈ελp␈↓ β`␈εαelemen␈α␈ts␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α31).
␈β
π␈↓ ↓H␈ε∩Factoring␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
in␈α␈tegers.␈εα␈α≠It␈α
is␈αsomewhat␈α
more␈α
di}cult␈α
to␈α
|nd␈α
the␈αcomplete
␈β
2␈↓ ↓H␈εαfactorization␈α∞of␈α∞polynomials␈α∞with␈α∂in␈α␈teger␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∞when␈α∂w␈α␈e␈α∞are␈ε∂␈α∞not␈εα␈α∞w␈α␈orking
␈β
↑␈↓ ↓H␈εαmodulo␈↓ αH␈ελp␈↓ αZ␈εα,␈αbut␈αsome␈αreasonably␈αe}cien␈α␈t␈αmethods␈αare␈αavailable␈αfor␈αthis␈αpurpose.
␈β
␈↓ α␈εαIsaac␈α∩Newton␈α∩gav␈α␈e␈α⊃a␈α∩method␈α∩for␈α∩|nding␈α⊃linear␈α∩and␈α∩quadratic␈α∩factors␈α⊃of
␈β5␈↓ ↓H␈εαpolynomials␈αwith␈αin␈α␈teger␈αcoe}cien␈α␈ts␈αin␈αhis␈ε∂␈αArithmetica␈α
Univ␈α␈ersalis␈↓ 	p␈εα(1707).␈αThis
␈β`␈↓ ↓H␈εαmethod␈αwas␈αextended␈αby␈αan␈αastronomer␈αnamed␈αFriedrich␈αv␈α␈on␈αSch␈α␈ubert␈αin␈α1793,
␈β␈↓ ↓H␈εαwho␈α
sho␈α␈w␈α␈ed␈α∞ho␈α␈w␈α
to␈α
|nd␈α∞all␈α
factors␈α∞of␈α
degree␈↓ π≡␈ελn␈↓ πA␈εαin␈α
a␈α∞|nite␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of␈α
steps;␈α∞see
␈β6␈↓ ↓H␈εαM.␈α⊂Can␈α␈tor,␈ε∂␈α⊃Geschich␈α␈te␈α⊂der␈α⊂Mathematik␈ε∩␈α⊃4␈εα␈α⊂(Leipzig:␈α∀Teubner,␈α⊃1908),␈α⊃136↑137.
␈βb␈↓ ↓H␈εαL.␈αKroneck␈α␈er␈αredisco␈α␈v␈α␈ered␈αv␈α␈on␈αSch␈α␈ubert's␈αmethod␈αindependen␈α␈tly␈αabout␈α90␈αy␈α␈ears
␈β

␈↓ ↓H␈εαlater;␈α∂but␈α∞unfortunately␈α∞the␈α∂method␈α∞is␈α∞v␈α␈ery␈α∞ine}cien␈α␈t␈α∂when␈↓ 	↔␈ελn␈↓ 	;␈εαis␈α∞|v␈α␈e␈α∞or␈α∞more.
␈β
8␈↓ ↓H␈εαMuch␈αbetter␈αresults␈αcan␈αbe␈αobtained␈αwith␈αthe␈αhelp␈αof␈αthe␈α\mod␈↓ 	6␈ελp␈↓ 	H␈εα"␈αfactorization
␈β
c␈↓ ↓H␈εαmethods␈αpresen␈α␈ted␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈β∞∂␈↓ α␈εαSuppose␈αthat␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈α|nd␈αthe␈αirreducible␈αfactors␈αof␈αa␈αgiv␈α␈en␈αpolynomial
␈β∞b␈↓ ∧[␈εn␈↓ εε␈εn␈↓ ε_␈ε→␈␈ε¬1
␈β∞h␈↓ β*␈ελu␈↓ β?␈εα(␈↓ βK␈ελx␈↓ β↑␈εα)␈α
=␈↓ ∧"␈ελu␈↓ ∧I␈ελx␈↓ ∧u␈εα+␈↓ ¬!␈ελu␈↓ ¬s␈ελx␈↓ εK␈εα+␈↓ εw␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π)␈εα+␈↓ πU␈ελu␈↓ πx␈εα,␈↓ λP␈ελu␈↓ 	␈ε⊗≤␈εα␈α
0,
␈β∞v␈↓ ∧7␈εn␈↓ ¬6␈εn␈↓ ¬H␈ε→␈␈ε¬1␈↓ πi␈ε¬0␈↓ λd␈εn
␈β∂A␈↓ ↓H␈εαo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers.␈αAs␈αa␈α|rst␈αstep,␈αw␈α␈e␈αcan␈αdivide␈αby␈αthe␈αgreatest␈αcommon␈αdivisor
␈β∂m␈↓ ↓H␈εαof␈αthe␈αcoe}cien␈α␈ts,␈αand␈αthis␈αleav␈α␈es␈αus␈αwith␈αa␈ε∂␈αprimitiv␈α␈e␈εα␈αpolynomial.␈αWe␈αmay␈αalso
␈β∂x␈↓ πl␈ε↓␈␈↓ 	∩␈ε↓↓
␈β⊂∪␈↓ λ`␈ε→0
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εαassume␈αthat␈↓ β∩␈ελu␈↓ β'␈εα(␈↓ β3␈ελx␈↓ βF␈εα)␈αis␈αsquarefree,␈αby␈αdividing␈αout␈↓ π6␈εαgcd␈↓ πz␈ελu␈↓ λ⊂␈εα(␈↓ λ≤␈ελx␈↓ λ/␈εα),␈↓ λK␈ελu␈↓ λg␈εα(␈↓ λs␈ελx␈↓ 	ε␈εα)␈↓ 	,␈εαas␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈β⊂D␈↓ α␈εαNo␈α␈w␈α∞if␈↓ β¬␈ελu␈↓ β≠␈εα(␈↓ β'␈ελx␈↓ β:␈εα)␈α
=␈↓ ∧∧␈ελv␈↓ ∧↔␈εα(␈↓ ∧#␈ελx␈↓ ∧6␈εα)␈↓ ∧B␈ελw␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ∧i␈ελx␈↓ ∧|␈εα),␈α∞where␈α∞all␈α∞of␈α∞these␈α∞polynomials␈α∞hav␈α␈e␈α∞in␈α␈teger␈α∞coef-
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εα|cien␈α␈ts,␈αw␈α␈e␈αobviously␈αhav␈α␈e␈↓ ∧s␈ελu␈↓ ¬	␈εα(␈↓ ¬∃␈ελx␈↓ ¬(␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈↓ ¬l␈ελv␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ ε␈ελx␈↓ ε≥␈εα)␈↓ ε)␈ελw␈↓ εD␈εα(␈↓ εP␈ελx␈↓ εc␈εα)␈α
(modulo␈↓ λ¬␈ελp␈↓ λ↔␈εα)␈αfor␈αall␈αprimes␈↓ 

␈ελp␈↓ 
≤␈εα,␈αso␈αthere
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαis␈α
a␈αnon␈α␈trivial␈αfactorization␈αmodulo␈↓ ¬z␈ελp␈↓ ε_␈εαunless␈↓ π␈ελp␈↓ π≡␈εαdivides␈↓ λ⊗␈ελ#␈↓ λ%␈εα(␈↓ λ1␈ελu␈↓ λG␈εα).␈αBerlekamp's␈α
e}cien␈α␈t
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα419
␈βα&␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈α∞for␈α∂factoring␈↓ ∧D␈ελu␈↓ ∧Z␈εα(␈↓ ∧f␈ελx␈↓ ∧x␈εα)␈α∂modulo␈↓ ε⊗␈ελp␈↓ ε7␈εαcan␈α∂therefore␈α∂be␈α∞used␈α∂in␈α∂an␈α∂attempt␈α∞to
␈βαQ␈↓ ↓H␈εαreconstruct␈αpossible␈αfactorizations␈αof␈↓ ε∀␈ελu␈↓ ε)␈εα(␈↓ ε5␈ελx␈↓ εH␈εα)␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers.
␈βα⎇␈↓ α␈εαFor␈αexample,␈αlet
␈ββN␈↓ ∧←␈ε¬8␈↓ ¬4␈ε¬6␈↓ ε≠␈ε¬4␈↓ πα␈ε¬3␈↓ πi␈ε¬2
␈ββT␈↓ βS␈ελu␈↓ βi␈εα(␈↓ βu␈ελx␈↓ ∧λ␈εα)␈α
=␈↓ ∧L␈ελx␈↓ ∧u␈εα+␈↓ ¬!␈ελx␈↓ ¬J␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ ελ␈ελx␈↓ ε1␈ε⊗␈␈εα␈αλ3␈↓ εo␈ελx␈↓ π→␈εα+␈αλ8␈↓ πW␈ελx␈↓ λ␈εα+␈αλ2␈↓ λ>␈ελx␈↓ λY␈ε⊗␈␈εα␈αλ5.␈↓ 
p␈εα(21)
␈β∧*␈↓ ↓H␈εαWe␈αhav␈α␈e␈αseen␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αin␈α(19)␈αthat
␈β∧{␈↓ α←␈ε¬4␈↓ βA␈ε¬3␈↓ ∧"␈ε¬2␈↓ ¬o␈ε¬3␈↓ εQ␈ε¬2
␈β¬↓␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈εα␈α
(␈↓ αL␈ελx␈↓ αs␈εα+␈α¬2␈↓ β.␈ελx␈↓ βT␈εα+␈α¬3␈↓ ∧∂␈ελx␈↓ ∧6␈εα+␈α¬4␈↓ ∧q␈ελx␈↓ ¬	␈εα+␈α¬6)(␈↓ ¬\␈ελx␈↓ εβ␈εα+␈α¬8␈↓ ε>␈ελx␈↓ εe␈εα+␈α¬4␈↓ π ␈ελx␈↓ π8␈εα+␈α¬12)(␈↓ λ≥␈ελx␈↓ λ5␈εα+␈α¬3)␈α
(modulo␈α13);␈↓ 
p␈εα(22)
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαand␈α∂the␈α∞complete␈α∂factorization␈α∂of␈↓ ¬n␈ελu␈↓ ε∧␈εα(␈↓ ε⊂␈ελx␈↓ ε"␈εα)␈α∂modulo␈α∂2␈α∂sho␈α␈ws␈α∂one␈α∂factor␈α∂of␈α∂degree␈α∞6
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαand␈αanother␈αof␈αdegree␈α2␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α10).␈αFrom␈α(22)␈αw␈α␈e␈αcan␈αsee␈αthat␈↓ 	{␈ελu␈↓ 
⊃␈εα(␈↓ 
≥␈ελx␈↓ 
0␈εα)␈αhas␈αno
␈βε/␈↓ ↓H␈εαfactor␈αof␈αdegree␈α2,␈αso␈αit␈αm␈α␈ust␈αbe␈αirreducible␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers.
␈βεZ␈↓ α␈εαThis␈α	particular␈α
example␈α	was␈α	perhaps␈α	too␈α
simple;␈α
experience␈α	sho␈α␈ws␈α	that␈α	most
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαirreducible␈α⊂polynomials␈α⊂can␈α⊂be␈α⊂recognized␈α⊂as␈α⊂such␈α⊂by␈α⊂examining␈α⊂their␈α⊂factors
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαmodulo␈α
a␈αfew␈αprimes,␈αbut␈αit␈αis␈ε∂␈αnot␈εα␈αalways␈α
so␈αeasy␈αto␈αestablish␈αirreducibility.␈αFor
␈βπ\␈↓ ↓H␈εαexample,␈α∞there␈α
are␈α∞polynomials␈α∞that␈α
can␈α∞be␈α∞properly␈α
factored␈α∞modulo␈↓ 
-␈ελp␈↓ 
M␈εαfor␈α
all
␈βλπ␈↓ ↓H␈εαprimes␈↓ α:␈ελp␈↓ αL␈εα,␈αwith␈αconsisten␈α␈t␈α
degrees␈αof␈α
the␈α
factors,␈αy␈α␈et␈αthey␈α
are␈αirreducible␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the
␈βλ2␈↓ ↓H␈εαin␈α␈tegers␈α(see␈αex␈α␈ercise␈α12).
␈βλ]␈↓ α␈εαAlmost␈α
all␈α	polynomials␈α
are␈α	irreducible␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α	the␈α
in␈α␈tegers,␈α
as␈α	sho␈α␈wn␈α
in␈α	ex␈α␈ercise
␈β	λ␈↓ ↓H␈εα27.␈αBut␈αλw␈α␈e␈α	usually␈α	aren't␈α	trying␈α	to␈αλfactor␈α	a␈α	random␈α	polynomial;␈α
there␈α	is␈αλprobably
␈β	4␈↓ ↓H␈εαsome␈αreason␈αto␈αexpect␈αa␈αnon␈α␈trivial␈αfactor␈αor␈αelse␈αthe␈αcalculation␈αw␈α␈ould␈αnot␈αhav␈α␈e
␈β	←␈↓ ↓H␈εαbeen␈α
attempted␈α
in␈α
the␈α
|rst␈αplace.␈αWe␈α
need␈α
a␈αmethod␈α
that␈α
iden␈α␈ti|es␈α
factors␈α
when
␈β

␈↓ ↓H␈εαthey␈αare␈αthere.
␈β
5␈↓ α␈εαIn␈α∞general␈α∞if␈α∞w␈α␈e␈α∞try␈α∞to␈α∞|nd␈α∂the␈α∞factors␈α∞of␈↓ π.␈ελu␈↓ πC␈εα(␈↓ πO␈ελx␈↓ πb␈εα)␈α∞by␈α∞considering␈α∞its␈α∞behavior
␈β
a␈↓ ↓H␈εαmodulo␈α∞di{eren␈α␈t␈α∞primes,␈α∂the␈α∞results␈α∂will␈α∞not␈α∞be␈α∞easy␈α∂to␈α∞com␈α␈bine;␈α∂for␈α∞example,
␈β␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓k␈ελu␈↓ α␈εα(␈↓ α␈ελx␈↓ α∨␈εα)␈α
actually␈α∞is␈α
the␈α
product␈α
of␈α
four␈α
quadratic␈α
polynomials,␈α∞it␈α
will␈α
be␈α
hard␈α
to
␈β7␈↓ ↓H␈εαmatch␈α∞up␈α∂their␈α∂images␈α∂with␈α∂respect␈α∂to␈α∂di{eren␈α␈t␈α∞prime␈α∂moduli.␈α∃Therefore␈α∂it␈α∞is
␈βb␈↓ ↓H␈εαdesirable␈αto␈αstick␈αto␈αa␈αsingle␈αprime␈αand␈αto␈αsee␈αho␈α␈w␈αm␈α␈uch␈αmileage␈αw␈α␈e␈αcan␈αget␈αout
␈β
␈↓ ↓H␈εαof␈αit,␈αonce␈αw␈α␈e␈αfeel␈αthat␈αthe␈αfactors␈αmodulo␈αthis␈αprime␈αhav␈α␈e␈αthe␈αrigh␈α␈t␈αdegrees.
␈β9␈↓ α␈εαOne␈α∂idea␈α∞is␈α∂to␈α∞w␈α␈ork␈α∂modulo␈α∞a␈α∂v␈α␈ery␈ε∂␈α∞large␈εα␈α∞prime␈↓ λ∪␈ελp␈↓ λ%␈εα,␈α∂big␈α∂enough␈α∞so␈α∂that␈α∞the
␈βd␈↓ ↓H␈εαcoe}cien␈α␈ts␈αin␈αan␈α␈y␈αtrue␈α
factorization␈↓ ε␈ελu␈↓ ε!␈εα(␈↓ ε-␈ελx␈↓ ε?␈εα)␈α=␈↓ π∧␈ελv␈↓ π↔␈εα(␈↓ π#␈ελx␈↓ π6␈εα)␈↓ πB␈ελw␈↓ π\␈εα(␈↓ πh␈ελx␈↓ π{␈εα)␈αo␈α␈v␈α␈er␈α
the␈αin␈α␈tegers␈αm␈α␈ust␈αac-
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαtually␈αlie␈αbet␈α␈w␈α␈een␈ε⊗␈α␈␈↓ ∧
␈ελp␈↓ ∧ ␈εα/2␈αand␈↓ ¬⊗␈ελp␈↓ ¬(␈εα/2.␈αThen␈αall␈αpossible␈αin␈α␈teger␈αfactors␈αcan␈αbe␈α\read
␈β
:␈↓ ↓H␈εαo{"␈αfrom␈αthe␈αmod␈↓ βr␈ελp␈↓ ∧⊂␈εαfactors␈αw␈α␈e␈αkno␈α␈w␈αho␈α␈w␈αto␈αcompute.
␈β
f␈↓ α␈εαEx␈α␈ercise␈α∂20␈α∞sho␈α␈ws␈α∂ho␈α␈w␈α∂to␈α∂obtain␈α∞fairly␈α∂good␈α∂bounds␈α∞on␈α∂the␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞of
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈εαpolynomial␈α∞factors.␈α⊃For␈α∞example,␈α∂if␈α∞(21)␈α∞w␈α␈ere␈α∞reducible␈α∞it␈α∞w␈α␈ould␈α∞hav␈α␈e␈α
a␈α∞factor
␈β∞<␈↓ ↓H␈ελv␈↓ ↓Z␈εα(␈↓ ↓f␈ελx␈↓ ↓y␈εα)␈α
of␈α	degree␈ε⊗␈α
∀␈εα␈α
4,␈α
and␈α	the␈α
coe}cien␈α␈ts␈α	of␈↓ εQ␈ελv␈↓ εm␈εαw␈α␈ould␈α	be␈α
at␈α	most␈α
67␈α	in␈α
magnitude␈α	by
␈β∞g␈↓ ↓H␈εαthe␈α	results␈α
of␈α	that␈α
ex␈α␈ercise.␈αSo␈α
all␈α	poten␈α␈tial␈α
factors␈α	of␈↓ λβ␈ελu␈↓ λ→␈εα(␈↓ λ%␈ελx␈↓ λ8␈εα)␈α	will␈α
be␈α	fairly␈α
eviden␈α␈t␈α	if
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈αw␈α␈ork␈αmodulo␈αan␈α␈y␈αprime␈↓ ∧}␈ελp␈↓ ¬≠␈εα>␈α
134.␈αIndeed,␈αthe␈αcomplete␈αfactorization␈αmodulo
␈β∂>␈↓ ↓H␈εα137␈αis
␈β⊂∞␈↓ αn␈ε¬3␈↓ βh␈ε¬2␈↓ ¬d␈ε¬5␈↓ ε]␈ε¬4␈↓ πV␈ε¬3␈↓ λ=␈ε¬2
␈β⊂∃␈↓ αP␈εα(␈↓ α\␈ελx␈↓ β¬␈εα+␈αλ32␈↓ βU␈ελx␈↓ β}␈εα+␈αλ21␈↓ ∧N␈ελx␈↓ ∧i␈εα+␈αλ56)(␈↓ ¬Q␈ελx␈↓ ¬z␈ε⊗␈␈εα␈αλ32␈↓ εJ␈ελx␈↓ εs␈εα+␈αλ45␈↓ πC␈ελx␈↓ πl␈ε⊗␈␈εα␈αλ2␈↓ λ*␈ελx␈↓ λT␈ε⊗␈␈εα␈αλ51␈↓ 	$␈ελx␈↓ 	>␈ε⊗␈␈εα␈αλ27),
␈β⊂f␈↓ ¬#␈ε¬3
␈β⊂k␈↓ ↓H␈εαand␈α
w␈α␈e␈α
see␈αimmediately␈α
that␈↓ ¬⊃␈ελx␈↓ ¬8␈εα+␈↓ ¬b␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε⊃␈εα+␈αε56␈αis␈α
not␈α
a␈αfactor␈α
since␈α56␈α
doesn't␈α
divide
␈β⊂w␈↓ αβ␈ε↓␈
␈β⊃↔␈↓ ↓H␈εα5.␈↓ α⊃␈εαInciden␈α␈tally,␈α⊂it␈α∂is␈α∂not␈α∂trivial␈α⊂to␈α∂obtain␈α∂good␈α∂bounds␈α⊂on␈α∂the␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∂of
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα420␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα(␈↓ ↓H␈εαpolynomial␈α∞factors,␈α∞since␈α∞a␈α∞lot␈α∞of␈α∞cancellation␈α∞can␈α∞occur␈α∞when␈α∞polynomials␈α∞are
␈βαN␈↓ λu␈εn
␈βαS␈↓ ↓H␈εαm␈α␈ultiplied.␈α
For␈αλexample,␈α	the␈αλinnocuous-looking␈αλpolynomial␈↓ λb␈ελx␈↓ 	
␈ε⊗␈␈εα␈αα1␈αλhas␈αλirreducible
␈βαy␈↓ ε'␈ε¬1/␈↓ εD␈ε¬lg␈↓ ε←␈ε¬lg␈↓ εz␈εn
␈βα}␈↓ ↓H␈εαfactors␈αwhose␈αcoe}cien␈α␈ts␈αex␈α␈ceed␈↓ ¬M␈εαexp␈↓ ε¬␈εα(␈↓ ε⊃␈ελn␈↓ π␈εα)␈αfor␈αin|nitely␈αman␈α␈y␈↓ 	U␈ελn␈↓ 	k␈εα.␈α_[See␈αR.␈αC.
␈ββ%␈↓ 
5␈εn
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαVaughan,␈ε∂␈αMichigan␈αMath.␈α
J.␈ε∩␈α21␈εα␈α(1974),␈α289↑295].␈α↔The␈α
factorization␈αof␈↓ 
"␈ελx␈↓ 
M␈ε⊗␈␈εα␈απ1␈α
is
␈ββ5␈↓ ∧A␈ε↓↓
␈ββU␈↓ ↓H␈εαdiscussed␈αin␈αex␈α␈ercise␈α32.
␈β∧␈↓ α␈εαInstead␈α∂of␈α∂using␈α∂a␈α∂large␈α∞prime␈↓ ¬␈␈ελp␈↓ ε∩␈εα,␈α∂which␈α∂migh␈α␈t␈α∂hav␈α␈e␈α∂to␈α∂be␈α∂truly␈α∞enormous
␈β∧+␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓l␈ελu␈↓ αα␈εα(␈↓ α∞␈ελx␈↓ α!␈εα)␈α∂has␈α∂large␈α∞degree␈α∂or␈α∂large␈α∂coe}cien␈α␈ts,␈α∂w␈α␈e␈α∂can␈α∂also␈α∂mak␈α␈e␈α∂use␈α∞of␈α∂small␈↓ ⊂␈ελp␈↓ "␈εα,
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαpro␈α␈vided␈απthat␈↓ β!␈ελu␈↓ β7␈εα(␈↓ βC␈ελx␈↓ βV␈εα)␈απis␈αλsquarefree␈απmod␈↓ ¬y␈ελp␈↓ ε␈εα.␈α
For␈αλin␈απthis␈απcase,␈α	an␈απimportan␈α␈t␈απconstruction
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαin␈α␈troduced␈α
by␈α∞K.␈α
Hensel␈α∞[␈ε∂Theorie␈α∞der␈α
Algebraischen␈α∞Zahlen␈εα␈α
(Leipzig:␈α∂Teubner,
␈β¬-␈↓ ↓H␈εα1908),␈α	Chapter␈α	4]␈α	can␈α	be␈α
used␈α	to␈α	extend␈α	a␈α	factorization␈α	modulo␈↓ 	≡␈ελp␈↓ 	9␈εαin␈α	a␈α	unique␈α	way
␈β¬S␈↓ ∧w␈εe
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαto␈αa␈αfactorization␈αmodulo␈↓ ∧d␈ελp␈↓ ¬∂␈εαfor␈αarbitrarily␈αhigh␈↓ πE␈ελe␈↓ πS␈εα.␈α
Hensel's␈αmethod␈αis␈αdescribed
␈βεβ␈↓ ↓H␈εαin␈α	ex␈α␈ercise␈α
22;␈αif␈α	w␈α␈e␈α
apply␈α
it␈α
to␈α	(22)␈α
with␈↓ ε@␈ελp␈↓ ε\␈εα=␈α
13␈α
and␈↓ π|␈ελe␈↓ λ∀␈εα=␈α
2,␈α
w␈α␈e␈α
obtain␈α
the␈α	unique
␈βε)␈↓ ¬'␈ε¬3␈↓ ε↔␈ε¬2␈↓ λ↓␈ε¬4␈↓ λq␈ε¬3␈↓ 	a␈ε¬2
␈βε.␈↓ ↓H␈εαfactorization␈↓ β⊗␈ελu␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βK␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈εα␈α
(␈↓ ∧≠␈ελx␈↓ ∧1␈ε⊗␈␈εα␈αβ36)(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬9␈ε⊗␈␈εα␈α∧18␈↓ ε¬␈ελx␈↓ ε)␈εα+␈α∧82␈↓ εu␈ελx␈↓ π␈ε⊗␈␈εα␈αβ66)(␈↓ πn␈ελx␈↓ λ∪␈εα+␈αβ54␈↓ λ↑␈ελx␈↓ 	β␈ε⊗␈␈εα␈α∧10␈↓ 	O␈ελx␈↓ 	s␈εα+␈α∧69␈↓ 
?␈ελx␈↓ 
U␈εα+␈αβ84)
␈βεZ␈↓ ↓H␈εα(modulo␈α169)␈α∞=␈↓ βV␈ελv␈↓ βt␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈↓ ∧∨␈ελv␈↓ ∧=␈εα(␈↓ ∧I␈ελx␈↓ ∧\␈εα)␈↓ ∧h␈ελv␈↓ ¬ε␈εα(␈↓ ¬∩␈ελx␈↓ ¬%␈εα),␈α∂say.␈α∪Clearly␈↓ π≡␈ελv␈↓ π<␈εα(␈↓ πH␈ελx␈↓ π[␈εα)␈α∞and␈↓ λ>␈ελv␈↓ λ\␈εα(␈↓ λh␈ελx␈↓ λ{␈εα)␈α∞are␈α∂not␈α∞factors␈α∞of
␈βεg␈↓ βf␈ε¬1␈↓ ∧/␈ε¬3␈↓ ∧x␈ε¬4␈↓ π-␈ε¬1␈↓ λM␈ε¬3
␈βπ¬␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α	the␈αλin␈α␈tegers;␈α
and␈α	neither␈α	is␈α	their␈αλproduct␈↓ πS␈ελv␈↓ πq␈εα(␈↓ π⎇␈ελx␈↓ λ⊂␈εα)␈↓ λ≤␈ελv␈↓ λ:␈εα(␈↓ λF␈ελx␈↓ λY␈εα)␈α	when␈α	the␈αλcoe}cien␈α␈ts
␈βπ∩␈↓ πc␈ε¬1␈↓ λ,␈ε¬3
␈βπ-␈↓ π ␈ε¬169␈↓ πc␈ε¬16␈α↓9
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαhav␈α␈e␈α	been␈αλreduced␈α	modulo␈α	169␈α	to␈α	the␈α	range␈α	(␈ε⊗␈␈↓ πO␈εα,␈↓ λ∩␈εα).␈αTh␈α␈us␈α	w␈α␈e␈α	hav␈α␈e␈αλexhausted
␈βπ@␈↓ π ␈∧π@π α,␈↓ πc␈∧π@πcα,
␈βπC␈↓ π.␈ε¬2␈↓ πq␈ε¬2
␈βπ[␈↓ ↓H␈εαall␈α∞possibilities,␈α∂pro␈α␈ving␈α∞once␈α∂again␈α∞that␈↓ εU␈ελu␈↓ εk␈εα(␈↓ εw␈ελx␈↓ π
␈εα)␈α∞is␈α∞irreducible␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α∞the␈α∞in␈α␈tegers←
␈βλε␈↓ ↓H␈εαthis␈αtime␈αusing␈αonly␈αits␈αfactorization␈αmodulo␈α13.
␈βλ2␈↓ α␈εαThe␈αexample␈αw␈α␈e␈αhav␈α␈e␈α
been␈αconsidering␈αis␈αatypical␈αin␈αone␈αimportan␈α␈t␈α
respect:
␈βλ]␈↓ ↓H␈εαWe␈αhav␈α␈e␈α
been␈α
factoring␈αthe␈ε∂␈α
monic␈εα␈αpolynomial␈↓ π/␈ελu␈↓ πE␈εα(␈↓ πQ␈ελx␈↓ πd␈εα)␈αin␈α
(21),␈α
so␈αw␈α␈e␈α
could␈αassume
␈β	λ␈↓ ↓H␈εαthat␈α
all␈α
its␈αfactors␈α
w␈α␈ere␈α
monic.␈αWhat␈α
should␈αw␈α␈e␈α
do␈α
if␈↓ λ¬␈ελu␈↓ λ5␈εα>␈α
1?␈αIn␈α
such␈α
a␈αcase,␈α
the
␈β	∃␈↓ λ→␈εn
␈β	3␈↓ ↓H␈εαleading␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈αall␈αbut␈αone␈αof␈αthe␈αpolynomial␈αfactors␈αcan␈αbe␈αvaried␈αalmost
␈β	Y␈↓ ∧β␈εe
␈β	↑␈↓ ↓H␈εαarbitrarily␈α	modulo␈↓ βp␈ελp␈↓ ∧∞␈εα;␈αw␈α␈e␈α	certainly␈α	don't␈α
wan␈α␈t␈α	to␈α	try␈α
all␈α	possibilities.␈αPerhaps␈α	the
␈β

␈↓ ↓H␈εαreader␈αhas␈αalready␈αnoticed␈αthis␈αproblem.␈αFortunately␈αthere␈αis␈αa␈αsimple␈αway␈αout:
␈β
5␈↓ ↓H␈εαthe␈α∂factorization␈↓ β↑␈ελu␈↓ βt␈εα(␈↓ ∧␈ελx␈↓ ∧∪␈εα)␈α∂=␈↓ ∧b␈ελv␈↓ ∧u␈εα(␈↓ ¬↓␈ελx␈↓ ¬∪␈εα)␈↓ ¬∨␈ελw␈↓ ¬:␈εα(␈↓ ¬F␈ελx␈↓ ¬Y␈εα)␈α∂implies␈α⊂a␈α∂factorization␈↓ λh␈ελu␈↓ 	∂␈ελu␈↓ 	%␈εα(␈↓ 	1␈ελx␈↓ 	C␈εα)␈α⊂=␈↓ 
∪␈ελv␈↓ 
1␈εα(␈↓ 
=␈ελx␈↓ 
O␈εα)␈↓ 
[␈ελw␈↓ α␈εα(␈↓ ∞␈ελx␈↓  ␈εα)
␈β
B␈↓ λ⎇␈εn␈↓ 
"␈ε¬1␈↓ 
s␈ε¬1
␈β
`␈↓ ↓H␈εαwhere␈↓ α/␈ελ#␈↓ α>␈εα(␈↓ αJ␈ελv␈↓ αh␈εα)␈α
=␈↓ β,␈ελ#␈↓ β;␈εα(␈↓ βG␈ελw␈↓ βm␈εα)␈α
=␈↓ ∧1␈ελu␈↓ ∧b␈εα=␈↓ ¬⊂␈ελ#␈↓ ¬∨␈εα(␈↓ ¬+␈ελu␈↓ ¬A␈εα).␈α↔(\Do␈αy␈α␈ou␈αmind␈αif␈αI␈αm␈α␈ultiply␈αy␈α␈our␈αpolynomial
␈β
m␈↓ αZ␈ε¬1␈↓ β←␈ε¬1␈↓ ∧F␈εn
␈β␈↓ ↓H␈εαby␈α∂its␈α∂leading␈α⊂coe}cien␈α␈t␈α∂before␈α∂factoring␈α⊂it?")␈α∨We␈α∂can␈α⊂proceed␈α∂essen␈α␈tially␈α∂as
␈β1␈↓ βw␈εe
␈β6␈↓ ↓H␈εαabo␈α␈v␈α␈e,␈α⊃but␈α⊂using␈↓ βe␈ελp␈↓ ∧∀␈ε⊗∃␈εα␈α⊂2␈↓ ∧Z␈ελB␈↓ ¬β␈εαwhere␈↓ ¬o␈ελB␈↓ ε↔␈εαno␈α␈w␈α⊂bounds␈α⊂the␈α⊂maxim␈α␈um␈α⊂coe}cien␈α␈t␈α⊂for
␈βb␈↓ ↓H␈εαfactors␈αof␈↓ αh␈ελu␈↓ β∞␈ελu␈↓ β$␈εα(␈↓ β0␈ελx␈↓ βC␈εα)␈αinstead␈αof␈↓ ¬↓␈ελu␈↓ ¬⊗␈εα(␈↓ ¬"␈ελx␈↓ ¬5␈εα).
␈βo␈↓ α|␈εn
␈β
␈↓ α␈εαPutting␈αthese␈αobservations␈αall␈αtogether␈αresults␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αprocedure:
␈β=␈↓ 
 ␈εe
␈βB␈↓ ↓L␈ε∩F1.␈↓ α␈εαFind␈α∞the␈α∂unique␈α∞factorization␈↓ ¬o␈ελu␈↓ ε¬␈εα(␈↓ ε⊃␈ελx␈↓ ε$␈εα)␈ε⊗␈α∞⊃␈↓ εp␈ελ#␈↓ ε␈␈εα(␈↓ π␈ελu␈↓ π!␈εα)␈↓ π-␈ελv␈↓ πK␈εα(␈↓ πW␈ελx␈↓ πj␈εα)␈↓ π|␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ,␈ελv␈↓ λI␈εα(␈↓ λU␈ελx␈↓ λg␈εα)␈α∞(modulo␈↓ 

␈ελp␈↓ 
+␈εα),␈α∂where
␈βO␈↓ π<␈ε¬1␈↓ λ;␈εr
␈βh␈↓ α≡␈εe
␈βm␈↓ α␈ελp␈↓ α9␈εαis␈α∂su}cien␈α␈tly␈α∂large␈α∂as␈α∂explained␈α∂abo␈α␈v␈α␈e,␈α∂and␈α∂where␈α∂the␈↓ 	/␈ελv␈↓ 	L␈εα(␈↓ 	X␈ελx␈↓ 	k␈εα)␈α∂are␈α∞monic.
␈βz␈↓ 	?␈εj
␈β
_␈↓ α␈εα(This␈αwill␈α
be␈αpossible␈α
for␈αall␈α
but␈αa␈α
few␈αprimes␈↓ πU␈ελp␈↓ πg␈εα,␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α
23.)␈α⊗Set␈↓ 
D␈ελd␈↓ 
b␈ε⊗ ␈εα␈α
1.
␈β
M␈↓ ↓L␈ε∩F2.␈↓ α␈εαFor␈α∩ev␈α␈ery␈α⊃com␈α␈bination␈α∩of␈α∩factors␈↓ ε:␈ελv␈↓ εM␈εα(␈↓ εY␈ελx␈↓ εl␈εα)␈α∀=␈↓ πC␈ελv␈↓ πg␈εα(␈↓ πs␈ελx␈↓ λε␈εα)␈↓ λ_␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λH␈ελv␈↓ λo␈εα(␈↓ λ{␈ελx␈↓ 	∞␈εα),␈α∪with␈↓ 
∂␈ελi␈↓ 
;␈εα=␈α∀1␈α⊃if
␈β
Z␈↓ πS␈εi␈↓ λX␈εi␈↓ 
→␈ε¬1
␈β
c␈↓ π\␈επ1␈↓ λb␈ε
d
␈β
s␈↓ 
'␈εe
␈β
u␈↓ αj␈ε¬1
␈β
x␈↓ α␈ελd␈↓ α1␈εα=␈↓ α|␈ελr␈↓ β␈εα,␈α⊃form␈α⊂the␈α⊂unique␈α⊃polynomial␈↓ εz␈εα∩␈↓ εz␈ελv␈↓ π␈εα(␈↓ π_␈ελx␈↓ π+␈εα)␈ε⊗␈α⊃⊃␈↓ π⎇␈ελ#␈↓ λ␈εα(␈↓ λ_␈ελu␈↓ λ.␈εα)␈↓ λ:␈ελv␈↓ λM␈εα(␈↓ λY␈ελx␈↓ λk␈εα)␈α⊃(modulo␈↓ 
∀␈ελp␈↓ 
2␈εα)␈α⊂whose
␈β∞	␈↓ αj␈∧∞	αjα∂
␈β∞␈↓ αj␈ε¬2
␈β∞≡␈↓ ε\␈εe␈↓ π!␈εe
␈β∞ ␈↓ ε8␈ε¬1␈↓ ε|␈ε¬1
␈β∞#␈↓ α␈εαcoe}cien␈α␈ts␈α
all␈αlie␈α
in␈α
the␈α
in␈α␈terval␈α[␈ε⊗␈␈↓ εJ␈ελp␈↓ εh␈εα,␈↓ π∂␈ελp␈↓ π-␈εα).␈αIf␈↓ πp␈ελv␈↓ λβ␈εα(␈↓ λ∂␈ελx␈↓ λ"␈εα)␈α
divides␈↓ 	1␈ελ#␈↓ 	@␈εα(␈↓ 	L␈ελu␈↓ 	a␈εα)␈↓ 	m␈ελu␈↓ 
β␈εα(␈↓ 
∂␈ελx␈↓ 
"␈εα),␈α
output
␈β∞/␈↓ βU␈ε↓␈␈↓ ∧ ␈ε↓↓
␈β∞4␈↓ ε8␈∧∞4ε8α∂␈↓ ε|␈∧∞4ε|α∂
␈β∞6␈↓ ε8␈ε¬2␈↓ ε|␈ε¬2
␈β∞O␈↓ α␈εαthe␈α	factor␈α
pp␈↓ βc␈ελv␈↓ βv␈εα(␈↓ ∧α␈ελx␈↓ ∧∀␈εα)␈↓ ∧.␈εα,␈α
divide␈↓ ¬,␈ελu␈↓ ¬A␈εα(␈↓ ¬M␈ελx␈↓ ¬`␈εα)␈α
by␈α	this␈α	factor,␈α
and␈α
remo␈α␈v␈α␈e␈α	the␈α	corresponding
␈β∞u␈↓ ε]␈εe
␈β∞z␈↓ α␈ελv␈↓ α'␈εα(␈↓ α3␈ελx␈↓ αF␈εα)␈αfrom␈αthe␈αlist␈αof␈αfactors␈αmodulo␈↓ εJ␈ελp␈↓ εh␈εα;␈αdecrease␈↓ λ␈ελr␈↓ λ'␈εαby␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αfactors
␈β∂π␈↓ α≤␈εi
␈β∂"␈↓ πd␈ε¬1
␈β∂%␈↓ α␈εαremo␈α␈v␈α␈ed,␈αand␈αterminate␈αthe␈αalgorithm␈αif␈↓ π∀␈ελd␈↓ π2␈εα>␈↓ πw␈ελr␈↓ λε␈εα.
␈β∂5␈↓ πd␈∧∂5πdα∂
␈β∂8␈↓ πd␈ε¬2
␈β∂W␈↓ π~␈ε¬1
␈β∂Z␈↓ ↓L␈ε∩F3.␈↓ α␈εαIncrease␈↓ β⊗␈ελd␈↓ β6␈εαby␈α1,␈αand␈αreturn␈αto␈αF2␈αif␈↓ εJ␈ελd␈↓ εh␈εα>␈↓ π-␈ελr␈↓ π<␈εα.
␈β∂←␈↓ πn␈∧∂←πn≠∂
␈β∂j␈↓ π~␈∧∂jπ~α∂
␈β∂m␈↓ π~␈ε¬2
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαAt␈α
the␈α∞conclusion␈α
of␈α∞this␈α
process,␈α∞the␈α∞curren␈α␈t␈α
value␈α∞of␈↓ λ2␈ελu␈↓ λH␈εα(␈↓ λT␈ελx␈↓ λg␈εα)␈α
will␈α∞be␈α
the␈α∞|nal␈α
ir-
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαreducible␈α
factor␈α∞of␈α
the␈α∞originally␈α
giv␈α␈en␈α
polynomial.␈α⊃Note␈α
that␈α∞if␈ε⊗␈α
j␈↓ 	X␈ελu␈↓ 	{␈ε⊗j␈εα␈α
<␈ε⊗␈αj␈↓ 
L␈ελu␈↓ 
s␈ε⊗j␈εα,␈α
it
␈β⊂Q␈↓ 	m␈ε¬0␈↓ 
a␈εn
␈β⊂j␈↓ 	Z␈εn
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαis␈αpreferable␈αto␈αdo␈αall␈αof␈αthe␈αw␈α␈ork␈αwith␈αthe␈αrev␈α␈erse␈αpolynomial␈↓ 	$␈ελu␈↓ 	G␈ελx␈↓ 	s␈εα+␈↓ 
∨␈ε⊗↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
P␈εα+␈↓ 
|␈ελu␈↓ "␈εα,
␈β⊂|␈↓ 	9␈ε¬0␈↓ ⊃␈εn
␈β⊃~␈↓ ↓H␈εαwhose␈αfactors␈αare␈αthe␈αrev␈α␈erses␈αof␈αthe␈αfactors␈αof␈↓ π1␈ελu␈↓ πF␈εα(␈↓ πR␈ελx␈↓ πe␈εα).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα421
␈βα(␈↓ α␈εαThe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
algorithm␈αcon␈α␈tains␈α
an␈αobvious␈αbottleneck:␈α
We␈αmay␈α
hav␈α␈e␈αto␈αtest
␈βαN␈↓ β≡␈εr␈↓ β+␈ε→␈␈ε¬1␈↓ 	J␈εr
␈βαS␈↓ ↓H␈εαas␈α∂man␈α␈y␈α∂as␈↓ β␈εα2␈↓ βe␈εαpoten␈α␈tial␈α∂factors␈↓ ¬x␈ελv␈↓ ε␈εα(␈↓ ε↔␈ελx␈↓ ε*␈εα).␈α∃The␈α∂av␈α␈erage␈α∂value␈α∂of␈↓ 	8␈εα2␈↓ 	f␈εαin␈α∂a␈α∂random
␈βαy␈↓ ¬L␈ε¬1.5
␈βα}␈↓ ↓H␈εαsituation␈α	is␈α
about␈↓ β`␈ελn␈↓ βv␈εα,␈α
or␈α	perhaps␈↓ ¬6␈ελn␈↓ ¬z␈εα(see␈α
ex␈α␈ercise␈α	5),␈α
but␈α
in␈α	nonrandom␈α	situations
␈ββ*␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α
will␈αwan␈α␈t␈α
to␈αspeed␈α
up␈αthis␈α
part␈αof␈αthe␈α
routine␈αas␈α
m␈α␈uch␈αas␈α
w␈α␈e␈αcan.␈αOne␈αway␈α
to
␈ββU␈↓ ↓H␈εαrule␈αout␈αspurious␈α
factors␈αquickly␈α
is␈αto␈α
compute␈αthe␈αtrailing␈α
coe}cien␈α␈t␈↓ 
≠␈ελv␈↓ 
≤␈εα∩␈↓ 
.␈εα(0)␈α|rst,
␈β∧␈↓ ↓H␈εαcon␈α␈tin␈α␈uing␈αonly␈αif␈αthis␈αdivides␈↓ ¬*␈ελ#␈↓ ¬9␈εα(␈↓ ¬E␈ελu␈↓ ¬Z␈εα)␈↓ ¬f␈ελu␈↓ ¬|␈εα(0).
␈β∧+␈↓ α␈εαAnother␈α⊂importan␈α␈t␈α∂way␈α⊂to␈α∂speed␈α⊂up␈α∂the␈α⊂procedure␈α∂is␈α⊂to␈α∂reduce␈↓ 
≤␈ελr␈↓ 
;␈εαso␈α∂that
␈β∧V␈↓ ↓H␈εαit␈α
tends␈α
to␈α
re⎇ect␈α
the␈α∞true␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
factors.␈α⊂The␈α
distinct␈α
degree␈α
factorization
␈β¬α␈↓ ↓H␈εαalgorithm␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α∞can␈α
be␈α∞applied␈α∞for␈α
various␈α∞small␈α
primes␈↓ λX␈ελp␈↓ λv␈εα,␈α∞th␈α␈us␈α∞obtaining␈α
for
␈β¬∂␈↓ λi␈εj
␈β¬-␈↓ ↓H␈εαeach␈αprime␈αa␈αset␈↓ βS␈ελD␈↓ ∧∧␈εαof␈αpossible␈αdegrees␈αof␈αfactors␈αmodulo␈↓ λM␈ελp␈↓ λl␈εα;␈αsee␈αex␈α␈ercise␈α26.␈αWe
␈β¬:␈↓ βl␈εj␈↓ λ↑␈εj
␈β¬X␈↓ ↓H␈εαcan␈αrepresen␈α␈t␈↓ β&␈ελD␈↓ βY␈εαas␈α
a␈αstring␈α
of␈↓ ¬6␈ελn␈↓ ¬X␈εαbinary␈α
bits.␈α∞No␈α␈w␈αw␈α␈e␈α
compute␈α
the␈αin␈α␈tersection
␈β¬e␈↓ β?␈εj
␈β¬g␈↓ ↓H␈ε↓S
␈βεβ␈↓ ↓l␈ελD␈↓ α∩␈εα,␈αnamely␈α
the␈α
logical␈α\and"␈α
of␈α
these␈αbit␈α
strings,␈αand␈α
w␈α␈e␈α
perform␈αstep␈α
F2␈α
only
␈βε⊃␈↓ α¬␈εj
␈βε∩␈↓ αQ␈ε↓S
␈βε.␈↓ ↓H␈εαfor␈↓ αβ␈ελd␈↓ α&␈ε⊗2␈↓ αu␈ελD␈↓ β≠␈εα.␈α⊗Furthermore␈↓ ¬∩␈ελp␈↓ ¬3␈εαis␈α∂selected␈α⊂as␈α∂that␈↓ πd␈ελp␈↓ λ⊃␈εαhaving␈α∂the␈α∂smallest␈α∂value
␈βε<␈↓ β∞␈εj␈↓ πu␈εj
␈βεZ␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓p␈ελr␈↓ ↓␈␈εα.␈αThis␈α	technique␈α
is␈α
due␈α
to␈α
David␈α
R.␈α
Musser,␈α
whose␈α
experience␈α
suggests␈α	trying
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εαabout␈α∞|v␈α␈e␈α
primes␈↓ βj␈ελp␈↓ ∧⊗␈εα(see␈ε∂␈α∞JA␈α␈CM␈ε∩␈α∞25␈εα␈α∞(1978),␈α∞271↑282).␈α∩Of␈α∞course␈α∞w␈α␈e␈α∞w␈α␈ould␈α
stop
␈βπ∩␈↓ β{␈εj
␈βπ∀␈↓ ∧s␈ε↓S
␈βπ0␈↓ ↓H␈εαimmediately␈αif␈αthe␈αcurren␈α␈t␈↓ ¬↔␈ελD␈↓ ¬I␈εαsho␈α␈ws␈αthat␈↓ ε}␈ελu␈↓ π∀␈εα(␈↓ π ␈ελx␈↓ π2␈εα)␈αis␈αirreducible.
␈βπ=␈↓ ¬0␈εj
␈βπ[␈↓ α␈εαMusser␈αhas␈αgiv␈α␈en␈αa␈αcomplete␈αdiscussion␈αof␈αa␈αfactorization␈αmethod␈αsimilar␈αto
␈βλε␈↓ ↓H␈εαthe␈α
steps␈α
abo␈α␈v␈α␈e,␈αin␈ε∂␈α
JA␈α␈CM␈ε∩␈α22␈εα␈α
(1975),␈α291↑308.␈αThe␈αprocedure␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
incorporates
␈βλ2␈↓ ↓H␈εαan␈α∂impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α⊂suggested␈α∂in␈α⊂1978␈α⊂by␈α∂G.␈α⊂E.␈α⊂Collins,␈α⊂namely␈α⊂to␈α∂look␈α⊂for␈α∂trial
␈βλ]␈↓ ↓H␈εαdivisors␈αλby␈αλtaking␈αλcom␈α␈binations␈αλof␈↓ ¬a␈ελd␈↓ ¬⎇␈εαfactors␈αλat␈αλa␈αλtime␈αλrather␈αλthan␈αλcom␈α␈binations␈αλof
␈β	λ␈↓ ↓H␈εαtotal␈α	degree␈↓ βλ␈ελd␈↓ β≤␈εα.␈αThis␈α	impro␈α␈v␈α␈emen␈α␈t␈α	is␈α
importan␈α␈t␈α	because␈α	of␈α
the␈α	statistical␈α	behavior
␈β	3␈↓ ↓H␈εαof␈α
the␈α
modulo-␈↓ β,␈ελp␈↓ βH␈εαfactors␈α
of␈α
polynomials␈α
that␈α
are␈α
irreducible␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
rationals␈α
(cf.
␈β	↑␈↓ ↓H␈εαex␈α␈ercise␈α33).
␈β
≤␈↓ ↓H␈ε∩Greatest␈αcommon␈αdivisors.␈εα␈α↔Similar␈αtechniques␈αcan␈αbe␈αused␈αto␈αcalculate␈αgreatest
␈β
(␈↓ ε.␈ε↓␈␈↓ πJ␈ε↓↓
␈β
G␈↓ ↓H␈εαcommon␈αdivisors␈αof␈αpolynomials:␈αIf␈↓ ¬x␈εαgcd␈↓ ε<␈ελu␈↓ εQ␈εα(␈↓ ε]␈ελx␈↓ εp␈εα),␈↓ π␈ελv␈↓ π∨␈εα(␈↓ π+␈ελx␈↓ π>␈εα)␈↓ πb␈εα=␈↓ λ⊂␈ελd␈↓ λ$␈εα(␈↓ λ0␈ελx␈↓ λC␈εα)␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers,␈αand
␈β
S␈↓ α ␈ε↓␈␈↓ β<␈ε↓↓
␈β
s␈↓ ↓H␈εαif␈↓ ↓j␈εαgcd␈↓ α.␈ελu␈↓ αD␈εα(␈↓ αP␈ελx␈↓ αb␈εα),␈↓ α}␈ελv␈↓ β⊃␈εα(␈↓ β≥␈ελx␈↓ β0␈εα)␈↓ βU␈εα=␈↓ ∧β␈ελq␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧2␈εα)␈α(modulo␈↓ ¬U␈ελp␈↓ ¬g␈εα)␈α
where␈↓ εh␈ελq␈↓ εx␈εα(␈↓ π∧␈ελx␈↓ π↔␈εα)␈αis␈α
monic,␈αthen␈↓ 	~␈ελd␈↓ 	/␈εα(␈↓ 	;␈ελx␈↓ 	M␈εα)␈α
is␈αa␈αcommon
␈β≡␈↓ ↓H␈εαdivisor␈αof␈↓ αh␈ελu␈↓ α⎇␈εα(␈↓ β	␈ελx␈↓ β≤␈εα)␈αand␈↓ βz␈ελv␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ∧→␈ελx␈↓ ∧,␈εα)␈αmodulo␈↓ ¬D␈ελp␈↓ ¬V␈εα;␈αhence
␈βn␈↓ ∧1␈ελd␈↓ ∧E␈εα(␈↓ ∧Q␈ελx␈↓ ∧d␈εα)␈↓ ¬∀␈εαdivides␈↓ ε&␈ελq␈↓ ε6␈εα(␈↓ εB␈ελx␈↓ εU␈εα)␈α.(modulo␈↓ λ≠␈ελp␈↓ λ-␈εα).␈↓ 
p␈εα(23)
␈β=␈↓ ↓H␈εαIf␈↓ ↓i␈ελp␈↓ α¬␈εαdoes␈α
not␈α	divide␈α
the␈α	leading␈α
coe}cien␈α␈ts␈α	of␈α
both␈↓ π[␈ελu␈↓ πz␈εαand␈↓ λ=␈ελv␈↓ λP␈εα,␈α
it␈α
does␈α	not␈α
divide␈α	the
␈βi␈↓ ↓H␈εαleading␈αcoe}cien␈α␈t␈αof␈↓ ∧∃␈ελd␈↓ ∧)␈εα;␈αin␈αsuch␈α
a␈αcase␈↓ ε&␈εαdeg␈↓ ε\␈εα(␈↓ εh␈ελd␈↓ ε|␈εα)␈ε⊗␈α
∀␈↓ π@␈εαdeg␈↓ πv␈εα(␈↓ λα␈ελq␈↓ λ∩␈εα).␈α
When␈↓ 	≥␈ελq␈↓ 	-␈εα(␈↓ 	9␈ελx␈↓ 	L␈εα)␈α
=␈α
1␈αfor␈αsuch
␈βt␈↓ 	_␈ε↓␈␈↓ ∀␈ε↓↓
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαa␈α
prime␈↓ αI␈ελp␈↓ α[␈εα,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈α
therefore␈αhav␈α␈e␈α
deg(␈↓ ε'␈ελd␈↓ ε<␈εα)␈α
=␈α
0,␈α
and␈↓ πk␈ελd␈↓ π␈␈εα(␈↓ λ␈ελx␈↓ λ≡␈εα)␈α
=␈↓ λb␈εαgcd␈↓ 	&␈εαcon␈α␈t␈↓ 	i␈εα(␈↓ 	u␈ελu␈↓ 
␈εα),␈↓ 
'␈εαcon␈α␈t␈↓ 
j␈εα(␈↓ 
v␈ελv␈↓ λ␈εα)␈↓ "␈εα.
␈β
?␈↓ ↓H␈εαThis␈α
justi|es␈αthe␈α
remark␈α
made␈α
in␈α
Section␈α
4.6.1␈α
that␈α
the␈α
simple␈α
computation␈αof
␈β
K␈↓ ↓}␈ε↓␈␈↓ β~␈ε↓↓
␈β
j␈↓ ↓H␈εαgcd␈↓ α␈ελu␈↓ α!␈εα(␈↓ α-␈ελx␈↓ α@␈εα),␈↓ α\␈ελv␈↓ αo␈εα(␈↓ α{␈ελx␈↓ β∞␈εα)␈↓ β6␈εαmodulo␈α∞13␈α∞in␈α∂4.6.1↑6␈α∞is␈α∞enough␈α∞to␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α∂that␈↓ 	~␈ελu␈↓ 	/␈εα(␈↓ 	;␈ελx␈↓ 	N␈εα)␈α∞and␈↓ 
1␈ελv␈↓ 
C␈εα(␈↓ 
O␈ελx␈↓ 
b␈εα)␈α∞are
␈β∞∃␈↓ ↓H␈εαrelativ␈α␈ely␈α∂prime␈α∂o␈α␈v␈α␈er␈α⊂the␈α∂in␈α␈tegers;␈α⊃the␈α∂comparativ␈α␈ely␈α⊂laborious␈α∂calculations␈α∂of
␈β∞A␈↓ ↓H␈εαAlgorithm␈α
4.6.1E␈α
or␈α	Algorithm␈α
4.6.1C␈α
are␈α
unnecessary.␈αSince␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α	random␈α
primi-
␈β∞l␈↓ ↓H␈εαtiv␈α␈e␈αpolynomials␈αare␈αalmost␈αalways␈αrelativ␈α␈ely␈αprime␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αin␈α␈tegers,␈αand␈αsince
␈β∂↔␈↓ ↓H␈εαthey␈α
are␈αrelativ␈α␈ely␈α
prime␈αmodulo␈↓ ¬S␈ελp␈↓ ¬p␈εαwith␈αprobability␈α
1␈ε⊗␈αε␈␈εα␈αε1/␈↓ λ←␈ελp␈↓ λr␈εα,␈α
it␈αis␈α
usually␈αa␈α
good
␈β∂B␈↓ ↓H␈εαidea␈αto␈αdo␈αthe␈αcomputations␈αmodulo␈↓ ε⊂␈ελp␈↓ ε"␈εα.
␈β∂m␈↓ α␈εαAs␈αremark␈α␈ed␈αabo␈α␈v␈α␈e,␈αw␈α␈e␈αneed␈αgood␈αmethods␈αalso␈αfor␈αthe␈αnonrandom␈αpolyno-
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εαmials␈α∞that␈α∞arise␈α∂in␈α∞practice.␈α∀Therefore␈α∞w␈α␈e␈α∞wish␈α∂to␈α∞sharpen␈α∂our␈α∞techniques␈α∞and
␈β⊂$␈↓ ∧J␈ε↓␈␈↓ ¬f␈ε↓↓
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εαdisco␈α␈v␈α␈er␈αho␈α␈w␈α
to␈α
|nd␈↓ ∧∀␈εαgcd␈↓ ∧X␈ελu␈↓ ∧n␈εα(␈↓ ∧z␈ελx␈↓ ¬␈εα),␈↓ ¬(␈ελv␈↓ ¬;␈εα(␈↓ ¬G␈ελx␈↓ ¬Z␈εα)␈↓ ε↓␈εαin␈α
general,␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
the␈α
in␈α␈tegers,␈α
based␈αen␈α␈tirely
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εαon␈αinformation␈α
that␈αw␈α␈e␈α
obtain␈α
w␈α␈orking␈αmodulo␈α
primes␈↓ λ2␈ελp␈↓ λE␈εα.␈α∞We␈αmay␈α
assume␈αthat
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα)␈αand␈↓ αZ␈ελv␈↓ αm␈εα(␈↓ αy␈ελx␈↓ β␈εα)␈αare␈αprimitiv␈α␈e.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα422␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βαβ␈↓ ¬≠␈ε↓␈␈↓ ε7␈ε↓↓
␈βα#␈↓ α␈εαInstead␈α
of␈αcalculating␈↓ ∧e␈εαgcd␈↓ ¬)␈ελu␈↓ ¬?␈εα(␈↓ ¬K␈ελx␈↓ ¬]␈εα),␈↓ ¬y␈ελv␈↓ ε␈εα(␈↓ ε_␈ελx␈↓ ε+␈εα)␈↓ εO␈εαdirectly,␈αit␈α
will␈αbe␈α
con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α
to␈α
search
␈βαN␈↓ ↓H␈εαinstead␈αfor␈αthe␈αpolynomial
␈ββ¬␈↓ εK␈ε↓␈␈↓ πg␈ε↓↓
␈ββ≤␈↓ ∧w␈εα∩
␈ββ%␈↓ ∧v␈ελd␈↓ ¬
␈εα(␈↓ ¬⊗␈ελx␈↓ ¬(␈εα)␈α
=␈↓ ¬l␈ελc␈↓ εβ␈ε⊗↓␈↓ ε∃␈εαgcd␈↓ εY␈ελu␈↓ εn␈εα(␈↓ εz␈ελx␈↓ π
␈εα),␈↓ π)␈ελv␈↓ π<␈εα(␈↓ πH␈ελx␈↓ π[␈εα)␈↓ πu␈εα,␈↓ 
p␈εα(24)
␈ββ|␈↓ ↓H␈εαwhere␈αthe␈αconstan␈α␈t␈↓ β␈␈ελc␈↓ ∧→␈εαis␈αchosen␈αso␈αthat
␈β∧4␈↓ ε8␈ε↓␈␈↓ πM␈ε↓↓
␈β∧J␈↓ ¬+␈εα∩
␈β∧S␈↓ ¬∂␈ελ#␈↓ ¬≡␈εα(␈↓ ¬*␈ελd␈↓ ¬>␈εα)␈α
=␈↓ εα␈εαgcd␈↓ εF␈ελ#␈↓ εU␈εα(␈↓ εa␈ελu␈↓ εw␈εα),␈↓ π∪␈ελ#␈↓ π"␈εα(␈↓ π.␈ελv␈↓ πA␈εα)␈↓ π[␈εα.␈↓ 
p␈εα(25)
␈β¬+␈↓ ↓H␈εαThis␈α
condition␈αwill␈α
always␈αhold␈α
for␈αsuitable␈↓ εu␈ελc␈↓ πβ␈εα,␈αsince␈α
the␈αleading␈α
coe}cien␈α␈t␈αof␈α
an␈α␈y
␈β¬6␈↓ λ#␈ε↓␈␈↓ 	7␈ε↓↓
␈β¬M␈↓ 
3␈εα∩
␈β¬V␈↓ ↓H␈εαcommon␈απdivisor␈αλof␈↓ βk␈ελu␈↓ ∧↓␈εα(␈↓ ∧
␈ελx␈↓ ∧ ␈εα)␈απand␈↓ ∧u␈ελv␈↓ ¬λ␈εα(␈↓ ¬∀␈ελx␈↓ ¬'␈εα)␈αλm␈α␈ust␈απbe␈αλa␈αλdivisor␈αλof␈↓ πm␈εαgcd␈↓ λ1␈ελ#␈↓ λ@␈εα(␈↓ λL␈ελu␈↓ λa␈εα),␈↓ λ⎇␈ελ#␈↓ 	
␈εα(␈↓ 	→␈ελv␈↓ 	+␈εα)␈↓ 	E␈εα.␈αOnce␈↓ 
2␈ελd␈↓ 
F␈εα(␈↓ 
R␈ελx␈↓ 
e␈εα)␈απhas
␈β¬h␈↓ 	←␈ε↓␈␈↓ 
,␈ε↓↓
␈β¬␈␈↓ 	n␈εα∩
␈βελ␈↓ ↓H␈εαbeen␈αfound␈αsatisfying␈αthese␈αconditions,␈αw␈α␈e␈αcan␈αreadily␈αcompute␈αpp␈↓ 	m␈ελd␈↓ 
α␈εα(␈↓ 
∞␈ελx␈↓ 
 ␈εα)␈↓ 
:␈εα,␈αwhich
␈βε3␈↓ ↓H␈εαis␈α	the␈α	true␈α	greatest␈α	common␈α	divisor␈α	of␈↓ ε→␈ελu␈↓ ε/␈εα(␈↓ ε;␈ελx␈↓ εN␈εα)␈α	and␈↓ π&␈ελv␈↓ π8␈εα(␈↓ πD␈ελx␈↓ πW␈εα).␈αCondition␈α	(25)␈α	is␈α	con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t
␈βε↑␈↓ ↓H␈εαsince␈α
it␈α
av␈α␈oids␈α
the␈α
uncertain␈α␈ty␈α
of␈α
unit␈α
m␈α␈ultiples␈α
of␈α
the␈α
gcd;␈α
it␈α
is␈α
essen␈α␈tially␈α
the
␈βπ
␈↓ ↓H␈εαidea␈αw␈α␈e␈αused␈αto␈αcon␈α␈trol␈αleading␈αcoe}cien␈α␈ts␈αin␈αour␈αfactorization␈αroutine.
␈βπ5␈↓ α␈εαIf␈↓ α+␈ελp␈↓ αE␈εαis␈απa␈αλsu}cien␈α␈tly␈απlarge␈απprime,␈αλbased␈αλon␈απthe␈απbounds␈αλfor␈απcoe}cien␈α␈ts␈απin␈απex␈α␈ercise
␈βπW␈↓ ∧(␈εα∩␈↓ ¬←␈εα∩
␈βπ`␈↓ ↓H␈εα20␈α
applied␈α
either␈α
to␈↓ ∧␈ελ#␈↓ ∧≠␈εα(␈↓ ∧'␈ελd␈↓ ∧<␈εα)␈↓ ∧H␈ελu␈↓ ∧]␈εα(␈↓ ∧i␈ελx␈↓ ∧|␈εα)␈α
or␈↓ ¬B␈ελ#␈↓ ¬Q␈εα(␈↓ ¬]␈ελd␈↓ ¬r␈εα)␈↓ ¬}␈ελv␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ ε≤␈ελx␈↓ ε/␈εα),␈α∞let␈α
us␈α
compute␈α
the␈α
unique␈α
polynomial
␈βπl␈↓ 
V␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βλβ␈↓ α]␈εα∩
␈βλλ␈↓ λ>␈ε¬1␈↓ λw␈ε¬1
␈βλ␈↓ ↓G␈εα∩␈↓ ↓H␈ελq␈↓ ↓X␈εα(␈↓ ↓d␈ελx␈↓ ↓w␈εα)␈ε⊗␈α
⊃␈↓ αA␈ελ#␈↓ αP␈εα(␈↓ α\␈ελd␈↓ αp␈εα)␈↓ α|␈ελq␈↓ β
␈εα(␈↓ β→␈ελx␈↓ β+␈εα)␈α∞(modulo␈↓ ∧Q␈ελp␈↓ ∧c␈εα)␈α∞having␈α∞all␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α∞in␈α∞[␈ε⊗␈␈↓ λP␈ελp␈↓ λc␈εα,␈↓ 		␈ελp␈↓ 	≤␈εα).␈α∩When␈α∞pp␈↓ 
c␈εα∩␈↓ 
d␈ελq␈↓ 
t␈εα(␈↓ ␈ελx␈↓ ∩␈εα)
␈βλ↔␈↓ π
␈ε↓␈␈↓ λ&␈ε↓↓
␈βλ≤␈↓ λ>␈∧λ≤λ>α∂␈↓ λw␈∧λ≤λwα∂
␈βλ≡␈↓ λ>␈ε¬2␈↓ λw␈ε¬2
␈βλ7␈↓ ↓H␈εαdivides␈αboth␈↓ β∃␈ελu␈↓ β+␈εα(␈↓ β7␈ελx␈↓ βI␈εα)␈αand␈↓ ∧'␈ελv␈↓ ∧9␈εα(␈↓ ∧E␈ελx␈↓ ∧X␈εα),␈αit␈αm␈α␈ust␈αequal␈↓ εT␈εαgcd␈↓ π_␈ελu␈↓ π.␈εα(␈↓ π:␈ελx␈↓ πL␈εα),␈↓ πh␈ελv␈↓ π{␈εα(␈↓ λπ␈ελx␈↓ λ~␈εα)␈↓ λ@␈εαbecause␈αof␈α(23).␈αOn␈αthe
␈βλb␈↓ ↓H␈εαother␈α	hand␈α	if␈α	it␈α	does␈αλnot␈α	divide␈α	both␈↓ ¬⎇␈ελu␈↓ ε∪␈εα(␈↓ ε∨␈ελx␈↓ ε2␈εα)␈α	and␈↓ π
␈ελv␈↓ π≥␈εα(␈↓ π)␈ελx␈↓ π;␈εα)␈α	w␈α␈e␈α	m␈α␈ust␈α	hav␈α␈e␈α	deg(␈↓ 	l␈ελq␈↓ 	|␈εα)␈α
>␈↓ 
@␈εαdeg␈↓ 
v␈εα(␈↓ α␈ελd␈↓ ⊗␈εα).
␈β	
␈↓ ↓H␈εαA␈α	study␈α	of␈α	Algorithm␈α	4.6.1E␈α	rev␈α␈eals␈α	that␈α	this␈α	will␈α	be␈α
the␈α	case␈α	only␈α	if␈↓ 	h␈ελp␈↓ 
β␈εαdivides␈α	the
␈β	8␈↓ ↓H␈εαleading␈α
coe}cien␈α␈t␈αof␈α
one␈αof␈α
the␈αnonzero␈α
remainders␈αcomputed␈α
by␈αthat␈α
algorithm
␈β	d␈↓ ↓H␈εαwith␈αexact␈αin␈α␈teger␈αarithmetic;␈αotherwise␈αEuclid's␈αalgorithm␈αmodulo␈↓ 	o␈ελp␈↓ 

␈εαdeals␈αwith
␈β
∂␈↓ ↓H␈εαprecisely␈αthe␈αsame␈αsequence␈αof␈αpolynomials␈αas␈αAlgorithm␈α4.6.1E␈αex␈α␈cept␈αfor␈αnon-
␈β
:␈↓ ↓H␈εαzero␈α
constan␈α␈t␈α
m␈α␈ultiples␈α
(modulo␈↓ ¬E␈ελp␈↓ ¬W␈εα).␈αSo␈α
only␈α
a␈α
small␈αn␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
\unlucky"␈α
primes
␈β
e␈↓ ↓H␈εαcan␈αcause␈αus␈αto␈αmiss␈αthe␈αgcd,␈αand␈αw␈α␈e␈αwill␈αsoon␈α|nd␈αit␈αif␈αw␈α␈e␈αk␈α␈eep␈αtrying.
␈β⊃␈↓ α␈εαIf␈α⊃the␈α⊂bound␈α⊃on␈α⊂coe}cien␈α␈ts␈α⊃is␈α⊃so␈α⊂large␈α⊃that␈α⊂single-precision␈α⊃primes␈↓ 
Z␈ελp␈↓ 
|␈εαare
␈β3␈↓ ¬π␈εα∩
␈β<␈↓ ↓H␈εαinsu}cien␈α␈t,␈α
w␈α␈e␈α	can␈α
compute␈↓ ¬ε␈ελd␈↓ ¬~␈εα(␈↓ ¬&␈ελx␈↓ ¬9␈εα)␈α	modulo␈α
sev␈α␈eral␈α	primes␈↓ λ2␈ελp␈↓ λN␈εαun␈α␈til␈α	it␈α
has␈α	been␈α	deter-
␈βg␈↓ ↓H␈εαmined␈α⊂via␈α⊂the␈α⊃Chinese␈α⊂remainder␈α⊃algorithm␈α⊂in␈α⊂Section␈α⊃4.3.2.␈α→This␈α⊂approach,
␈β∩␈↓ ↓H␈εαwhich␈αis␈αdue␈αto␈αW.␈αS.␈αBro␈α␈wn␈αand␈α
G.␈αE.␈αCollins,␈αhas␈αbeen␈αdescribed␈αin␈αdetail␈αby
␈β=␈↓ ↓H␈εαBro␈α␈wn␈α
in␈ε∂␈α
JA␈α␈CM␈ε∩␈α
18␈εα␈α
(1971),␈α
478↑504.␈αAlternativ␈α␈ely,␈αas␈α
suggested␈α
by␈α
J.␈α	Moses␈α
and
␈βi␈↓ ↓H␈εαD.␈α	Y.␈α
Y.␈α
Yun␈α	[␈ε∂Proc.␈α
A␈α␈CM␈α
Conf.␈ε∩␈α
28␈εα␈α	(1973),␈α
159↑166],␈αw␈α␈e␈α	can␈α
use␈α
Hensel's␈α	method
␈β
␈↓ β→␈εα∩
␈β
∂␈↓ ∧q␈εe
␈β
∀␈↓ ↓H␈εαto␈α
determine␈↓ β_␈ελd␈↓ β,␈εα(␈↓ β8␈ελx␈↓ βJ␈εα)␈α
modulo␈↓ ∧↑␈ελp␈↓ ¬ε␈εαfor␈α
su}cien␈α␈tly␈α
large␈↓ πE␈ελe␈↓ πS␈εα.␈αHensel's␈α
construction␈α
is␈α	valid
␈β
?␈↓ ↓H␈εαdirectly␈αonly␈αwhen
␈β
w␈↓ β∂␈ε↓␈␈↓ ¬β␈ε↓↓␈↓ πG␈ε↓␈␈↓ 	9␈ε↓↓
␈β∞⊗␈↓ αY␈εαgcd␈↓ β≥␈ελd␈↓ β1␈εα(␈↓ β=␈ελx␈↓ βP␈εα),␈↓ βr␈ελu␈↓ ∧λ␈εα(␈↓ ∧∀␈ελx␈↓ ∧'␈εα)/␈↓ ∧E␈ελd␈↓ ∧Y␈εα(␈↓ ∧e␈ελx␈↓ ∧w␈εα)␈↓ ¬≠␈εα=␈α
1␈↓ ε#␈εαor␈↓ π⊃␈εαgcd␈↓ πU␈ελd␈↓ πj␈εα(␈↓ πv␈ελx␈↓ λλ␈εα),␈↓ λ*␈ελv␈↓ λ=␈εα(␈↓ λI␈ελx␈↓ λ\␈εα)/␈↓ λz␈ελd␈↓ 	∞␈εα(␈↓ 	~␈ελx␈↓ 	-␈εα)␈↓ 	Q␈εα=␈α
1,␈↓ 
p␈εα(26)
␈β∞m␈↓ ↓H␈εαsince␈α	the␈α	idea␈α
is␈α	to␈α	apply␈α
the␈α	techniques␈α	of␈α
ex␈α␈ercise␈α	22␈α	to␈α	one␈α
of␈α	the␈α	factorizations
␈β∂⊂␈↓ ↓d␈εα∩␈↓ ∧f␈εα∩
␈β∂→␈↓ ↓H␈ελ#␈↓ ↓W␈εα(␈↓ ↓c␈ελd␈↓ ↓w␈εα)␈↓ αβ␈ελu␈↓ α→␈εα(␈↓ α%␈ελx␈↓ α7␈εα)␈ε⊗␈α∂⊃␈↓ ββ␈εα∩␈↓ β∧␈ελq␈↓ β∀␈εα(␈↓ β ␈ελx␈↓ β3␈εα)␈↓ β?␈ελu␈↓ βb␈εα(␈↓ βn␈ελx␈↓ ∧↓␈εα)␈α∞or␈↓ ∧J␈ελ#␈↓ ∧Y␈εα(␈↓ ∧e␈ελd␈↓ ∧y␈εα)␈↓ ¬¬␈ελv␈↓ ¬_␈εα(␈↓ ¬$␈ελx␈↓ ¬7␈εα)␈ε⊗␈α∞⊃␈↓ εβ␈εα∩␈↓ ε∧␈ελq␈↓ ε∀␈εα(␈↓ ε ␈ελx␈↓ ε3␈εα)␈↓ ε?␈ελv␈↓ ε]␈εα(␈↓ εi␈ελx␈↓ ε|␈εα)␈α∞(modulo␈↓ λ"␈ελp␈↓ λ4␈εα).␈α∀In␈α∂the␈α∞comparativ␈α␈ely
␈β∂&␈↓ βT␈ε¬1␈↓ εN␈ε¬1
␈β∂D␈↓ ↓H␈εαrare␈α
cases␈α
when␈α
(26)␈α
fails,␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
still␈α
|nd␈α
the␈α
gcd␈α
by␈α
casting␈α
out␈α
squared␈α
factors
␈β∂o␈↓ ↓H␈εαin␈αan␈αappropriate␈αmanner,␈αas␈αsho␈α␈wn␈αin␈αex␈α␈ercise␈α29.␈αThe␈αcomplete␈αprocedure␈αhas
␈β⊂~␈↓ ↓H␈εαbeen␈α
discussed␈α
by␈α∞Miola␈α
and␈α∞Yun␈α
in␈ε∂␈α
SIGSAM␈α∞Bulletin␈ε∩␈α
8␈εα,␈α∞3␈α
(August␈α∞1974),␈α
46↑
␈β⊂E␈↓ ↓H␈εα54;␈α	it␈α	appears␈αλto␈α	be␈αλcomputationally␈α	superior␈αλto␈α	the␈αλChinese␈α	remainder␈αλapproach.
␈β⊂q␈↓ α␈εαThe␈απgcd␈απalgorithms␈απsk␈α␈etched␈αλhere␈απare␈απsigni|can␈α␈tly␈απfaster␈απthan␈απthose␈απof␈απSection
␈β⊃≤␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈αex␈α␈cept␈α
when␈αthe␈αpolynomial␈αremainder␈αsequence␈αis␈αv␈α␈ery␈αshort.␈αPerhaps␈α
the
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα423
␈βαβ␈↓ 
α␈ε↓␈␈↓ ≡␈ε↓↓
␈βα#␈↓ ↓H␈εαbest␈αλcom␈α␈bined␈αλapproach␈αλw␈α␈ould␈αλbe␈αλto␈αλstart␈αλwith␈αλthe␈αλcomputation␈αλof␈↓ 	L␈εαgcd␈↓ 
⊂␈ελu␈↓ 
&␈εα(␈↓ 
2␈ελx␈↓ 
E␈εα),␈↓ 
a␈ελv␈↓ 
t␈εα(␈↓ ␈ελx␈↓ ∩␈εα)
␈βαN␈↓ ↓H␈εαmodulo␈α
a␈αfairly␈α
small␈α
prime␈↓ ¬∞␈ελp␈↓ ¬ ␈εα,␈α
not␈α
a␈α
divisor␈α
of␈α
both␈↓ λ∞␈ελ#␈↓ λ≥␈εα(␈↓ λ)␈ελu␈↓ λ>␈εα)␈α
and␈↓ 	≡␈ελ#␈↓ 	-␈εα(␈↓ 	9␈ελv␈↓ 	L␈εα).␈α∂If␈α
the␈αresult
␈βαy␈↓ ↓H␈ελq␈↓ ↓X␈εα(␈↓ ↓d␈ελx␈↓ ↓w␈εα)␈α
is␈α
1,␈α∞w␈α␈e're␈α∞done;␈α∞if␈α
it␈α
has␈α∞high␈α
degree,␈α∞w␈α␈e␈α
use␈α∞Algorithm␈α
4.6.1C␈↓ 
␈εα;␈α∞otherwise
␈ββ$␈↓ ↓H␈εαw␈α␈e␈α∞use␈α∂one␈α∞of␈α∂the␈α∞abo␈α␈v␈α␈e␈α∞methods,␈α⊂|rst␈α∞computing␈α∂a␈α∞bound␈α∞for␈α∂the␈α∞coe}cien␈α␈ts
␈ββF␈↓ ↓s␈εα∩
␈ββO␈↓ ↓H␈εαof␈↓ ↓r␈ελd␈↓ απ␈εα(␈↓ α∪␈ελx␈↓ α%␈εα)␈α
based␈α
on␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈α
of␈↓ ¬u␈ελu␈↓ ε
␈εα(␈↓ ε⊗␈ελx␈↓ ε)␈εα),␈↓ εE␈ελv␈↓ εX␈εα(␈↓ εd␈ελx␈↓ εw␈εα),␈α
and␈αthe␈α
(small)␈α
degree␈α
of␈↓ 
1␈ελq␈↓ 
A␈εα(␈↓ 
M␈ελx␈↓ 
`␈εα).␈α∞As
␈ββ{␈↓ ↓H␈εαin␈α
the␈α
factorization␈α
problem,␈α∞w␈α␈e␈α
should␈α
apply␈α
this␈α∞procedure␈α
to␈α
the␈α
rev␈α␈erses␈α
of
␈β∧&␈↓ ↓H␈ελu␈↓ ↓]␈εα(␈↓ ↓i␈ελx␈↓ ↓|␈εα),␈↓ α_␈ελv␈↓ α+␈εα(␈↓ α7␈ελx␈↓ αJ␈εα)␈α
and␈α
rev␈α␈erse␈α
the␈α
result,␈α
if␈α
the␈α
trailing␈α
coe}cien␈α␈ts␈α
are␈α
simpler␈α
than␈α
the
␈β∧Q␈↓ ↓H␈εαleading␈αones.
␈β¬⊂␈↓ ↓H␈ε∩Multivariate␈αpolynomials.␈εα␈α~Similar␈α
techniques␈α
lead␈αto␈α
useful␈αalgorithms␈α
for␈αfac-
␈β¬;␈↓ ↓H␈εαtorization␈αεor␈αεgcd␈αεcalculations␈αεon␈απm␈α␈ultivariate␈αεpolynomials␈αεwith␈αεin␈α␈teger␈αεcoe}cien␈α␈ts.
␈β¬g␈↓ ↓H␈εαSuch␈α
a␈α∞polynomial␈↓ β⎇␈ελu␈↓ ∧∪␈εα(␈↓ ∧∨␈ελx␈↓ ∧=␈εα,␈↓ ∧M␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧⎇␈εα,␈↓ ¬
␈ελx␈↓ ¬)␈εα)␈α
can␈α∞be␈α∞dealt␈α
with␈α∞modulo␈α∞the␈α∞irreducible␈α
poly-
␈β¬t␈↓ ∧/␈ε¬1␈↓ ¬≡␈εt
␈βε∩␈↓ ↓H␈εαnomials␈↓ αK␈ελx␈↓ αq␈ε⊗␈␈↓ β≠␈ελa␈↓ β;␈εα,␈↓ βP␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ ∧␈εα,␈↓ ∧∃␈ελx␈↓ ∧7␈ε⊗␈␈↓ ∧b␈ελa␈↓ ∧⎇␈εα,␈αyielding␈αthe␈αunivariate␈αpolynomial␈↓ 	;␈ελu␈↓ 	Q␈εα(␈↓ 	]␈ελx␈↓ 	|␈εα,␈↓ 
␈ελa␈↓ 
+␈εα,␈↓ 
;␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 
k␈εα,␈↓ 
{␈ελa␈↓ ⊗␈εα);
␈βε≥␈↓ 
R␈ε↓␈
␈βε∨␈↓ α[␈ε¬2␈↓ β,␈ε¬2␈↓ ∧&␈εt␈↓ ∧s␈εt␈↓ 	n␈ε¬1␈↓ 
≥␈ε¬2␈↓ ␈εt
␈βε=␈↓ ↓H␈εαthese␈α
irreducible␈αpolynomials␈α
play␈α
the␈α
role␈α
of␈↓ π"␈ελp␈↓ πA␈εαin␈α
the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
discussion.␈↓ 
`␈εαNote
␈βεI␈↓ ¬¬␈ε↓↓
␈βεh␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∃␈ελv␈↓ α'␈εα(␈↓ α3␈ελx␈↓ αF␈εα)␈↓ αX␈εαmod␈↓ β"␈εα(␈↓ β.␈ελx␈↓ βH␈ε⊗␈␈↓ βs␈ελa␈↓ ∧∧␈εα)␈αis␈↓ ∧?␈ελv␈↓ ∧Q␈εα(␈↓ ∧]␈ελa␈↓ ∧o␈εα).␈↓ ¬*␈εαWhen␈αthe␈αin␈α␈tegers␈↓ πR␈ελa␈↓ πq␈εα,␈↓ λπ␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λ7␈εα,␈↓ λL␈ελa␈↓ λr␈εαhav␈α␈e␈αbeen␈αchosen␈αso
␈βεv␈↓ πc␈ε¬2␈↓ λ]␈εt
␈βπ∪␈↓ ↓H␈εαthat␈↓ α∃␈ελu␈↓ α*␈εα(␈↓ α6␈ελx␈↓ αU␈εα,␈↓ αe␈ελa␈↓ β¬␈εα,␈↓ β∃␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ βE␈εα,␈↓ βU␈ελa␈↓ βp␈εα)␈αhas␈αthe␈αsame␈αdegree␈αin␈↓ εt␈ελx␈↓ π≡␈εαas␈↓ πI␈ελu␈↓ π←␈εα(␈↓ πk␈ελx␈↓ λ
␈εα,␈↓ λ~␈ελx␈↓ λ9␈εα,␈↓ λI␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ λy␈εα,␈↓ 		␈ελx␈↓ 	$␈εα),␈αan␈αappropriate
␈βπ!␈↓ αG␈ε¬1␈↓ αv␈ε¬2␈↓ βe␈εt␈↓ π¬␈ε¬1␈↓ π|␈ε¬1␈↓ λ+␈ε¬2␈↓ 	~␈εt
␈βπ?␈↓ ↓H␈εαgeneralization␈α
of␈α	Hensel's␈α
construction␈α
will␈α
\lift"␈α
squarefree␈α
factorizations␈α
of␈α	this
␈βπe␈↓ λ1␈εn␈↓ 
"␈εn
␈βπj␈↓ ↓H␈εαunivariate␈α	polynomial␈α
to␈α	factorizations␈α
modulo␈α	(␈↓ π9␈ελx␈↓ π]␈ε⊗␈␈↓ λε␈ελa␈↓ λ%␈εα)␈↓ λN␈εα,␈↓ λb␈εα.␈αε.␈αε.␈↓ 	∩␈εα,␈α
(␈↓ 	2␈ελx␈↓ 	R␈ε⊗␈␈↓ 	z␈ελa␈↓ 
⊗␈εα)␈↓ 
<␈εα,␈α
where
␈βπm␈↓ λB␈επ2␈↓ 
3␈ε
t
␈βπw␈↓ πJ␈ε¬2␈↓ λ↔␈ε¬2␈↓ 	B␈εt␈↓ 
␈εt
␈βλ∃␈↓ ↓H␈ελn␈↓ ↓x␈εαis␈α∞the␈α∞degree␈α∞of␈↓ β⎇␈ελx␈↓ ∧)␈εαin␈↓ ∧U␈ελu␈↓ ∧k␈εα;␈α∂at␈α∞the␈α∞same␈α∂time␈α∞w␈α␈e␈α∞can␈α∞w␈α␈ork␈α∂also␈α∞modulo␈α∞an␈α∞ap-
␈βλ"␈↓ ↓\␈εj␈↓ ∧
␈εj
␈βλ@␈↓ ↓H␈εαpropriate␈αin␈α␈teger␈αprime␈↓ ∧A␈ελp␈↓ ∧S␈εα.␈α
As␈αman␈α␈y␈αas␈αpossible␈αof␈α
the␈↓ λ≤␈ελa␈↓ λF␈εαshould␈αbe␈αzero,␈αso␈αthat
␈βλN␈↓ λ,␈εj
␈βλk␈↓ ↓H␈εαsparseness␈α	of␈α
the␈α	in␈α␈termediate␈α
results␈α	is␈α
retained.␈αFor␈α	details,␈α
see␈α
P.␈α	S.␈α
Wang␈α	and
␈β	↔␈↓ ↓H␈εαL.␈αP.␈αRothschild,␈ε∂␈αMath.␈αComp.␈ε∩␈α29␈εα␈α(1975),␈α935↑950,␈αin␈αaddition␈αto␈αthe␈αpapers␈αby
␈β	B␈↓ ↓H␈εαMusser␈αand␈αby␈αMoses␈αand␈αYun␈αcited␈αearlier.
␈β
A␈↓ ↓H␈ε≥E␈α␈XERCI␈α↓SE␈α␈S
␈β
␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊃␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β8␈ε	p␈↓ βY␈εβb␈α␈e␈α⊂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.␈α→What␈α∂is␈α⊂th␈α␈e␈α⊂p␈α␈rob␈α␈ability␈α∂that␈α∂a␈α∂rand␈α␈om␈α∂po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈α⊂o␈α␈f
␈β9␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e␈↓ α/␈ε	n␈↓ αN␈εβh␈α␈as␈αa␈α
linea␈α␈r␈αfacto␈α␈r␈α(a␈α
f␈α↓a␈α␈ctor␈α
of␈αd␈α␈egree␈α
1),␈αwh␈α␈en␈↓ π{␈ε	n␈↓ λ_␈ε↔∃␈↓ λB␈ε	p␈↓ λS␈εβ?␈α→(Assu␈α␈me␈α
tha␈α␈t␈αeac␈α␈h␈αo␈α␈f
␈β\␈↓ α∩␈εn
␈β`␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ α↓␈ε	p␈↓ α-␈εβmon␈α␈ic␈αpoly␈α␈no␈α␈mials␈αmod␈α␈ulo␈↓ ¬?␈ε	p␈↓ ¬[␈εβis␈αequ␈α␈ally␈αp␈α␈rob␈α␈able.)
␈β∞␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∩␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(a)␈α⊃S␈α␈ho␈α␈w␈α⊃th␈α␈at␈α⊃an␈α␈y␈α⊂mon␈α␈i␈α↓c␈α⊃p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ π<␈ε	u␈↓ πP␈εβ(␈↓ π[␈ε	x␈↓ πl␈εβ),␈α∀o␈α}v␈α␈er␈α⊃a␈α⊃u␈α␈niqu␈α␈e␈α⊃facto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈β:␈↓ ↓H␈εβd␈α␈oma␈α␈in,␈αmay␈α
be␈αe␈α␈xp␈α␈ressed␈αu␈α␈niq␈α␈uely␈αin␈α
the␈αfor␈α␈m
␈β
␈↓ εc␈εε2
␈β
ε␈↓ ¬;␈ε	u␈↓ ¬O␈εβ(␈↓ ¬Z␈ε	x␈↓ ¬k␈εβ)␈α
=␈↓ ε*␈ε	v␈↓ ε<␈εβ(␈↓ εG␈ε	x␈↓ εX␈εβ)␈↓ εp␈ε	w␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∀␈ε	x␈↓ π%␈εβ),
␈β
N␈↓ 
∧␈εε2
␈β
O␈↓ ∧5␈εα(␈↓ 
⊃␈εα)
␈β
R␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α)␈ε	w␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	x␈↓ α↑␈εβ)␈αis␈αsq␈α␈ua␈α␈refree␈↓ ∧A␈εβh␈α␈as␈αn␈α␈o␈αfa␈α␈ctor␈αof␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αof␈αth␈α␈e␈αfo␈α␈rm␈↓ 	J␈ε	d␈↓ 	\␈εβ(␈↓ 	g␈ε	x␈↓ 	y␈εβ)␈↓ 
(␈εβand␈αb␈α␈oth
␈β
z␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α∞an␈α␈d␈↓ αR␈ε	w␈↓ αj␈εβ(␈↓ αv␈ε	x␈↓ βπ␈εβ)␈α∞a␈α␈re␈α∞mo␈α␈nic.␈α≡(b)␈α∞(E.␈α∞R.␈α∞Berlek␈α␈amp␈α␈.)␈α∨Ho␈α␈w␈α
man␈α}y␈α
mon␈α␈i␈α↓c␈α
po␈α␈lyn␈α␈omials␈α∞o␈α␈f
␈β∞!␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e␈↓ α/␈ε	n␈↓ αN␈εβare␈αsq␈α␈uare␈α␈free␈αmod␈α␈ulo␈↓ ¬~␈ε	p␈↓ ¬*␈εβ,␈αwh␈α␈en␈↓ ε⊗␈ε	p␈↓ ε2␈εβis␈αprime␈α␈?
␈β∞S␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β7␈ε	u␈↓ βW␈εβ(␈↓ βb␈ε	x␈↓ βs␈εβ),␈↓ ∧↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧\␈ε	u␈↓ ∧{␈εβ(␈↓ ¬ε␈ε	x␈↓ ¬_␈εβ)␈α∞be␈α∞p␈α␈olyn␈α␈omials␈α∞o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α∂a␈α∞|␈α␈eld␈↓ λS␈ε	S␈↓ λh␈εβ,␈α∂with␈↓ 	O␈ε	u␈↓ 	n␈εβ(␈↓ 	z␈ε	x␈↓ 
␈εβ)␈α∞relativ␈α␈ely
␈β∞↑␈↓ βJ␈εε1␈↓ ∧o␈εr␈↓ 	b␈εj
␈β∞{␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈αto␈↓ αN␈ε	u␈↓ αo␈εβ(␈↓ αz␈ε	x␈↓ β␈εβ)␈αfor␈αa␈α␈ll␈↓ ∧β␈ε	j␈↓ ∧≠␈ε↔≤␈↓ ∧E␈ε	k␈↓ ∧V␈εβ.␈αFor␈αa␈α␈n␈α␈y␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ πy␈ε	w␈↓ λ≠␈εβ(␈↓ λ&␈ε	x␈↓ λ8␈εβ),␈↓ λW␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	β␈εβ,␈↓ 	_␈ε	w␈↓ 	:␈εβ(␈↓ 	E␈ε	x␈↓ 	V␈εβ)␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈↓ 
4␈ε	S␈↓ 
I␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β∂¬␈↓ αa␈εk␈↓ λ∂␈εε1␈↓ 	.␈εr
␈β∂"␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈ere␈αis␈αa␈αu␈α␈niqu␈α␈e␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ ¬9␈ε	v␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬V␈ε	x␈↓ ¬g␈εβ)␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈↓ εE␈ε	S␈↓ εe␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at
␈β∂n␈↓ ∧H␈εβde␈α␈g␈↓ ∧z␈εβ(␈↓ ¬¬␈ε	v␈↓ ¬↔␈εβ)␈α	<␈↓ ¬V␈εβd␈α␈eg␈↓ επ␈εβ(␈↓ ε∪␈ε	u␈↓ ε2␈εβ)␈αλ+␈↓ εm␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π≤␈εβ+␈↓ πD␈εβdeg␈↓ πv␈εβ(␈↓ λ↓␈ε	u␈↓ λ!␈εβ)
␈β∂y␈↓ ε&␈εε1␈↓ λ∃␈εr
␈β⊂;␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd
␈β⊂←␈↓ ε;␈εα(␈↓ λ¬␈εα)
␈β⊂b␈↓ ∧d␈ε	v␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬⊃␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ ¬P␈ε	w␈↓ ¬r␈εβ(␈↓ ¬}␈ε	x␈↓ ε∂␈εβ)␈↓ εG␈εβmod␈α␈ulo␈↓ π>␈ε	u␈↓ π]␈εβ(␈↓ πh␈ε	x␈↓ πy␈εβ)
␈β⊂m␈↓ ¬f␈εj␈↓ πQ␈εj
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ α@␈ε	j␈↓ αX␈ε↔∀␈↓ ββ␈ε	r␈↓ β⊃␈εβ.␈α~(Co␈α␈mpa␈α␈re␈αwith␈αTh␈α␈eorem␈α4␈α␈.3.2C.)
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα424␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈28␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βN␈ε	a␈↓ ∧
␈εβb␈α␈e␈α⊂the␈α⊂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α⊂of␈α⊃m␈α␈on␈α␈i␈α↓c␈α⊂irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α⊂p␈α␈olyn␈α␈omials␈α⊂of␈α⊂deg␈α␈ree␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈βα4␈↓ 	7␈ε↓P
␈βα5␈↓ β↑␈εn␈↓ βn␈εp
␈βαN␈↓ 
.␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈αλa␈αλprime␈↓ β0␈ε	p␈↓ βA␈εβ.␈α
F␈α↓in␈α␈d␈αλa␈αλform␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈αλfo␈α␈r␈α	th␈α␈e␈αλgen␈α␈erating␈αλfu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ λ;␈ε	G␈↓ λ←␈εβ(␈↓ λj␈ε	z␈↓ λx␈εβ)␈α
=␈↓ 	s␈ε	a␈↓ 
!␈ε	z␈↓ 
?␈εβ.␈α∩[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:
␈βα[␈↓ λ;␈ε↓P
␈βα\␈↓ λQ␈εp␈↓ 
α␈εn␈↓ 
∪␈εp
␈βαd␈↓ 	]␈εn
␈βαu␈↓ 	A␈εj␈↓ 	x␈εt
␈βαy␈↓ ↓H␈εβPro␈α␈v␈α}e␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αide␈α␈n␈α␈tity␈αco␈α␈nn␈α␈ecting␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αseries:␈↓ πS␈ε	f␈↓ πb␈εβ(␈↓ πn␈ε	z␈↓ π{␈εβ)␈α
=␈↓ 	→␈ε	g␈↓ 	(␈εβ(␈↓ 	3␈ε	z␈↓ 	M␈εβ)/␈↓ 	i␈ε	j␈↓ 

␈εβif␈αa␈α␈nd␈αo␈α␈nly
␈ββ	␈↓ αO␈ε↓P
␈ββ␈↓ λa␈εj␈↓ λm␈ε~∃␈εε1
␈ββ#␈↓ ∧∃␈εn␈↓ ∧U␈εt␈↓ πL␈εn
␈ββ'␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	g␈↓ ↓w␈εβ(␈↓ αα␈ε	z␈↓ α⊂␈εβ)␈α	=␈↓ β0␈ε	⊗␈↓ βB␈εβ(␈↓ βN␈ε	n␈↓ βb␈εβ)␈↓ βm␈ε	f␈↓ β⎇␈εβ(␈↓ ∧λ␈ε	z␈↓ ∧&␈εβ)/␈↓ ∧A␈ε	n␈↓ ∧←␈εβ.]␈α~Wha␈α␈t␈αi␈α↓s␈↓ ε	␈εβlim␈↓ ε⎇␈ε	a␈↓ π*␈εβ/␈↓ π;␈ε	p␈↓ π\␈εβ?
␈ββ1␈↓ ε7␈εp␈↓ εE␈ε~!1␈↓ π␈εn␈↓ π≤␈εp
␈ββ9␈↓ αu␈εn␈↓ β¬␈ε~∃␈εε1
␈ββf␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βH␈ε	A␈↓ ∧ε␈εβbe␈α
the␈α
a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈α
facto␈α␈rs␈αo␈α␈f␈αa␈α
ra␈α␈nd␈α␈omly␈α
selecte␈α␈d␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈-
␈ββp␈↓ β↑␈εn␈↓ βn␈εp
␈β∧
␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
o␈α␈f␈α
d␈α␈eg␈α␈ree␈↓ β~␈ε	n␈↓ β.␈εβ,␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈αλa␈α	prime␈↓ ¬,␈ε	p␈↓ ¬<␈εβ.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈α	th␈α␈at␈↓ εl␈εβli␈α↓m␈↓ π`␈ε	A␈↓ λ≥␈εβ=␈↓ λG␈ε	H␈↓ λm␈εβ.␈α∀W␈α↓h␈α␈at␈α	is␈α	the␈α	limiting
␈β∧_␈↓ π~␈εp␈↓ π(␈ε~!␈α↓1␈↓ πv␈εn␈↓ λε␈εp␈↓ λ]␈εn
␈β∧1␈↓ βQ␈εr
␈β∧5␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ β@␈εβ2␈↓ β]␈εβ,␈αwh␈α␈en␈αth␈α␈ere␈αa␈α␈re␈↓ ¬U␈ε	r␈↓ ¬o␈εβfac␈α␈tors?
␈β∧l␈↓ 
9␈εp
␈β∧p␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(J.␈α
L.␈αLag␈α␈rang␈α␈e,␈α1␈α␈771␈α␈.␈α↓)␈α↔Pro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
con␈α␈gru␈α␈ence␈α
(9␈α␈)␈α↓.␈α↔[␈ε⊂Hi␈α↓n␈α}t:␈εβ␈αFacto␈α␈r␈↓ 
(␈ε	x␈↓ 
M␈ε↔␈␈↓ 
u␈ε	x␈↓ ⊃␈εβin
␈β¬↔␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α|␈α␈el␈α↓d␈α
of␈↓ αp␈ε	p␈↓ β␈εβeleme␈α␈n␈α␈ts.]
␈β¬R␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈αE␈α↓q␈α␈.␈α(1␈α␈4).
␈βε
␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈20␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Ho␈α␈w␈αc␈α␈an␈α
w␈α␈e␈αbe␈α
sur␈α␈e␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αv␈α}ectors␈α
ou␈α␈tpu␈α␈t␈αby␈α
Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αN␈α
are␈α
l␈α↓in␈α␈early
␈βε4␈↓ ↓H␈εβin␈α␈dep␈α␈en␈α␈den␈α}t?
␈βεo␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈in␈α∞ho␈α}w␈α∞to␈α∞co␈α␈nstru␈α␈ct␈α∞a␈α∞ta␈α␈ble␈α∞o␈α␈f␈α∂re␈α␈cipro␈α␈cals␈α∞mod␈α
10␈α␈1␈α∞in␈α∞a␈α
si␈α↓m␈α␈ple␈α∞way␈α␈,
␈βπ↔␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αt␈α␈hat␈α2␈α
i␈α↓s␈αa␈α
primitiv␈α␈e␈αro␈α␈ot␈αof␈α10␈α␈1.
␈βπN␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπR␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ[␈ε	21␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈α∞th␈α␈e␈α∂c␈α␈omp␈α␈lete␈α∞f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈α∞of␈α∞th␈α␈e␈α∂p␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ λU␈ε	u␈↓ λi␈εβ(␈↓ λt␈ε	x␈↓ 	¬␈εβ)␈α∂in␈α∞(21␈α␈),␈α⊂mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α∞2␈α␈,
␈βπy␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αBerlek␈α␈am␈α␈p's␈αpro␈α␈ced␈α␈ure.
␈βλ4␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ[␈ε	22␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈αth␈α␈e␈αco␈α␈mplete␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αth␈α␈e␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈↓ λ>␈ε	u␈↓ λR␈εβ(␈↓ λ]␈ε	x␈↓ λo␈εβ)␈αin␈α(2␈α␈1),␈αm␈α␈od␈α␈ulo␈α5.
␈βλk␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλo␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Use␈αBerlek␈α␈amp␈α␈'s␈αalgorith␈α␈m␈αto␈αd␈α␈etermin␈α␈e␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈α
fa␈α␈ctors␈αo␈α␈f␈↓ 
E␈ε	u␈↓ 
Y␈εβ(␈↓ 
d␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈β	∩␈↓ ↓Y␈εε4
␈β	⊗␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓o␈εβ+␈α
1␈α∞mod␈α␈ulo␈↓ β3␈ε	p␈↓ βD␈εβ,␈α∂for␈α∞all␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈es␈↓ ¬4␈ε	p␈↓ ¬D␈εβ.␈α [␈ε⊂␈α↓Hin␈α}t:␈εβ␈α∩Con␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈α∞the␈α∞ca␈α␈ses␈↓ λt␈ε	p␈↓ 	∀␈εβ=␈α∂2,␈↓ 	m␈ε	p␈↓ 

␈εβ=␈α∂8␈↓ 
N␈ε	k␈↓ 
h␈εβ+␈α
1␈α␈,
␈β	>␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓b␈εβ=␈α
8␈↓ α≡␈ε	k␈↓ α6␈εβ+␈απ3,␈↓ β∧␈ε	p␈↓ β≡␈εβ=␈α
8␈↓ βZ␈ε	k␈↓ βr␈εβ+␈αλ5␈α␈,␈↓ ∧@␈ε	p␈↓ ∧Z␈εβ=␈α
8␈↓ ¬⊗␈ε	k␈↓ ¬.␈εβ+␈αλ7␈αse␈α␈pa␈α␈rately;␈αwha␈α␈t␈αis␈αthe␈αma␈α␈trix␈↓ 	7␈ε	Q␈↓ 	O␈εβ?␈αYou␈α
need␈α
no␈α␈t
␈β	e␈↓ ↓H␈εβd␈α␈isco␈α␈v␈α}er␈αthe␈αfa␈α␈ctors;␈αjust␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αho␈α}w␈αman␈α}y␈αth␈α␈ere␈αare␈α␈.␈α↓]
␈β
≤␈↓ λ	␈εε4
␈β
 ␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α
a␈α␈n␈α
ex␈α␈plicit␈α∞fo␈α␈rm␈α␈ula␈α
fo␈α␈r␈α∞th␈α␈e␈α
facto␈α␈rs␈α
of␈↓ πw␈ε	x␈↓ λ≡␈εβ+␈α	1,␈α∞mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	i␈ε	p␈↓ 	y␈εβ,␈α∞f␈α↓o␈α␈r␈α
all␈α∞o␈α␈dd
␈β
B␈↓ ¬`␈∧
B¬`α2␈↓ εE␈∧
BεEα⊃␈↓ πλ␈∧
Bπλα2
␈β
C␈↓ ¬>␈ε↔p␈↓ ε#␈ε↔p␈↓ εg␈ε↔p
␈β
H␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rimes␈↓ α0␈ε	p␈↓ αA␈εβ,␈αλi␈α↓n␈απterm␈α␈s␈αλof␈αλth␈α␈e␈αλqu␈α␈an␈α}ti␈α↓ties␈↓ ¬`␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε∩␈εβ,␈↓ εE␈εβ2␈↓ εU␈εβ,␈↓ πλ␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ πB␈εβ(i␈α↓f␈αλsu␈α␈ch␈απqu␈α␈an␈α␈tities␈αλe␈α␈xist␈αλmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ π␈ε	p␈↓ _␈εβ).
␈ββ␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(M.␈αεO.␈απRab␈α␈i␈α↓n␈α␈.)␈α∞Let␈↓ ¬␈ε	w␈↓ ¬$␈εβ(␈↓ ¬/␈ε	x␈↓ ¬A␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε≡␈ε↔␈␈↓ ε@␈ε	s␈↓ εX␈εβ)␈↓ εi␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π∃␈εβ(␈↓ π ␈ε	x␈↓ π3␈ε↔␈␈↓ πV␈ε	s␈↓ πn␈εβ)␈απwh␈α␈ere␈απ0␈ε↔␈αλ∀␈↓ 	 ␈ε	s␈↓ 	A␈εβ<␈↓ 	l␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 
≤␈εβ<␈↓ 
F␈ε	s␈↓ 
h␈εβ<␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ,
␈β
␈↓ εK␈εε1␈↓ πa␈εk␈↓ 	+␈εε1␈↓ 
Q␈εk
␈β&␈↓ 
⊃␈εε(␈↓ 
→␈εp␈↓ 
'␈ε~␈␈εε1)/2
␈β'␈↓ λ[␈εα(␈↓  ␈εα)
␈β*␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓a␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈,␈απand␈↓ αh␈ε	p␈↓ α}␈εβi␈α↓s␈α¬prime␈α␈.␈α
Let␈↓ ∧7␈ε	P␈↓ ∧O␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	s␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬↓␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬-␈εβ,␈↓ ¬<␈ε	s␈↓ ¬T␈εβ)␈αεb␈α␈e␈αεth␈α␈e␈αεp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α¬tha␈α␈t␈↓ λ)␈εβgc␈α␈d␈↓ λg␈ε	w␈↓ 	␈εβ(␈↓ 	␈ε	x␈↓ 	≤␈εβ),␈α(␈↓ 	G␈ε	x␈↓ 	X␈εβ+␈↓ 	z␈ε	t␈↓ 
ε␈εβ)␈↓ 
n␈ε↔␈␈εβ␈α↓1
␈β5␈↓ ∧e␈εε1␈↓ ¬G␈εk
␈βR␈↓ ↓H␈εβis␈α
n␈α␈eithe␈α␈r␈α
1␈αnor␈↓ β7␈ε	w␈↓ βP␈εβ(␈↓ β[␈ε	x␈↓ βm␈εβ),␈α
whe␈α␈n␈↓ ∧g␈ε	t␈↓ ∧␈␈εβis␈α
an␈αin␈α␈teg␈α␈er␈α
se␈α␈l␈α↓ec␈α␈ted␈αat␈α
ra␈α␈nd␈α␈om,␈α
mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	g␈ε	p␈↓ 	x␈εβ.␈α⊂P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αtha␈α␈t
␈βy␈↓ ↓H␈ε	P␈↓ ↓←␈εβ(␈↓ ↓j␈ε	s␈↓ αα␈εβ,␈↓ α⊃␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ α=␈εβ,␈↓ αL␈ε	s␈↓ αd␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α	1/2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ1/(2␈↓ ∧B␈ε	p␈↓ ∧S␈εβ).
␈β∧␈↓ ↓u␈εε1␈↓ αW␈εk
␈β0␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β4␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβ[␈ε	M27␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Des␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈α∞an␈α∞algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α∞to␈α∂c␈α␈alcula␈α␈te␈α∂th␈α␈e␈α∂\␈α␈squ␈α␈are␈α∞root"␈α∞of␈α∞a␈α∞giv␈α␈en␈α∞in␈α␈te␈α␈ger␈↓ _␈ε	u
␈βX␈↓ λ"␈εε2
␈β\␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈απa␈απgiv␈α␈en␈αεprime␈↓ ∧↓␈ε	p␈↓ ∧∩␈εβ,␈αλi␈α↓.e.,␈αλto␈απ|n␈α␈d␈απan␈αεi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈↓ εX␈ε	U␈↓ εz␈εβsuch␈αεtha␈α␈t␈↓ λπ␈ε	U␈↓ λ8␈ε↔⊃␈↓ λb␈ε	u␈↓ 	␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 
↓␈ε	p␈↓ 
∩␈εβ)␈απw␈α↓h␈α␈en␈α␈ev␈α␈e␈α␈r
␈β
β␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈αa␈↓ α2␈ε	U␈↓ αY␈εβexists.␈α∂You␈α␈r␈αalgor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈αsho␈α␈uld␈αbe␈αe␈α␈}cien␈α␈t␈αev␈α}en␈αfor␈αv␈α␈e␈α␈ry␈αlarge␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈es␈↓ 
S␈ε	p␈↓ 
d␈εβ.␈α≤(A
␈β
+␈↓ ↓H␈εβso␈α␈lution␈α
to␈αth␈α␈i␈α↓s␈αp␈α␈rob␈α␈lem␈αlead␈α␈s␈αto␈αa␈α
pro␈α␈ced␈α␈ure␈αfo␈α␈r␈αsolving␈α
an␈α}y␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αq␈α␈ua␈α␈drat␈α␈i␈α↓c␈α
equ␈α␈ation
␈β
S␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ α>␈ε	p␈↓ αO␈εβ,␈αusing␈α
the␈αq␈α␈ua␈α␈drat␈α␈i␈α↓c␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αin␈α
the␈αu␈α␈sua␈α␈l␈αwa␈α␈y.)
␈β∞
␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈α	tha␈α␈t␈↓ ∧≤␈ε	f␈↓ ∧,␈εβ(␈↓ ∧7␈ε	x␈↓ ∧I␈εβ)␈α	is␈α	an␈α	irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α	p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
mo␈α␈du␈α␈lo␈α	a␈α	prime␈↓ 	a␈ε	p␈↓ 	r␈εβ,␈α	of␈α	deg␈α␈ree␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β∞1␈↓ β+␈εn
␈β∞5␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αλth␈α␈at␈αλth␈α␈e␈↓ β~␈ε	p␈↓ βC␈εβp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈αλof␈αλd␈α␈eg␈α␈ree␈αλless␈απtha␈α␈n␈↓ π∧␈ε	n␈↓ π∨␈εβf␈α↓o␈α␈rm␈αλa␈απ|␈α␈eld␈αλu␈α␈nd␈α␈er␈αλa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈απmod␈α␈ulo
␈β∞]␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ)␈αand␈↓ αM␈ε	p␈↓ α↑␈εβ.␈α≤(␈ε⊂Note:␈εβ␈α∞Th␈α␈e␈αexisten␈α␈ce␈αof␈αi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α
o␈α␈f␈α
ea␈α␈ch␈αd␈α␈egree␈αis␈αpro␈α␈v␈α}ed
␈β∂␈↓ ¬[␈εn
␈β∂∧␈↓ ↓H␈εβin␈α
e␈α␈x␈α␈ercise␈α
4␈α␈;␈α∂th␈α␈erefore␈α
|␈α␈elds␈α
with␈↓ ¬J␈ε	p␈↓ ¬x␈εβeleme␈α␈n␈α␈ts␈α
ex␈α␈i␈α↓st␈α
for␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈es␈↓ 	'␈ε	p␈↓ 	E␈εβand␈αall␈↓ 
9␈ε	n␈↓ 
Y␈ε↔∃␈εβ␈α
1.)
␈β∂(␈↓ ¬␈εn
␈β∂,␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈α
Sh␈α␈o␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈α
an␈α}y␈α
|␈α␈eld␈α
with␈↓ ∧{␈ε	p␈↓ ¬)␈εβelem␈α␈en␈α␈ts␈α
h␈α␈as␈α
a␈α\p␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α}e␈α
roo␈α␈t"␈α
eleme␈α␈n␈α␈t␈↓ 
¬␈ε	_␈↓ 
"␈εβsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t
␈β∂K␈↓ εg␈ε
n
␈β∂O␈↓ ¬r␈εε2␈↓ εY␈εp␈↓ εv␈ε~␈␈εε2
␈β∂S␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
eleme␈α␈n␈α␈ts␈α
o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈α
|␈α␈eld␈α
are␈ε↔␈αf␈εβ0,␈α¬1,␈↓ ¬D␈ε	_␈↓ ¬T␈εβ,␈↓ ¬b␈ε	_␈↓ ¬␈␈εβ,␈↓ ε∞␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ε:␈εβ,␈↓ εI␈ε	_␈↓ π≤␈ε↔g␈εβ␈α␈.␈α≡[␈ε⊂Hin␈α␈t:␈εβ␈α∂Ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
3.2.1.2-1␈α␈6␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α␈s
␈β∂{␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αwh␈α␈en␈↓ α↑␈ε	n␈↓ α{␈εβ=␈α
1␈α␈.]␈α_(c)␈α
If␈↓ ∧0␈ε	f␈↓ ∧?␈εβ(␈↓ ∧J␈ε	x␈↓ ∧\␈εβ)␈α
is␈αa␈α␈n␈α
irredu␈α␈cible␈α
p␈α␈olyn␈α␈omial␈α
mod␈α␈ulo␈↓ 	∧␈ε	p␈↓ 	∃␈εβ,␈α
of␈α
deg␈α␈ree␈↓ 
5␈ε	n␈↓ 
I␈εβ,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β⊂~␈↓ α.␈ε
m
␈β⊂≡␈↓ α ␈εp
␈β⊂ ␈↓ 	$␈εα(
␈β⊂#␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∂␈ε	x␈↓ αJ␈ε↔␈␈↓ αq␈ε	x␈↓ β
␈εβis␈α
div␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈α
b␈α␈y␈↓ ∧←␈ε	f␈↓ ∧n␈εβ(␈↓ ∧z␈ε	x␈↓ ¬␈εβ)␈α
if␈αa␈α␈nd␈α
o␈α␈nly␈α
if␈↓ εf␈ε	m␈↓ π
␈εβi␈α↓s␈α
a␈α
m␈α}ultiple␈α
of␈↓ λp␈ε	n␈↓ 	∧␈εβ.␈↓ 	0␈εβIt␈α
follo␈α␈ws␈α
tha␈α␈t␈αw␈α␈e
␈β⊂J␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈α
te␈α␈st␈α
irredu␈α␈cibility␈α
ra␈α␈ther␈α
q␈α␈uick␈α␈l␈α↓y␈α␈:␈αA␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈↓ εc␈ε	n␈↓ εw␈εβth␈α	de␈α␈gree␈α	poly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ 	1␈ε	f␈↓ 	A␈εβ(␈↓ 	L␈ε	x␈↓ 	↑␈εβ)␈α
is␈α
irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e
␈β⊂m␈↓ ∧?␈ε
n␈↓ λJ␈ε
n␈↓ λY␈επ/␈↓ λd␈ε
q
␈β⊂r␈↓ ∧1␈εp␈↓ λ<␈εp
␈β⊂s␈↓ λ∨␈εα(␈↓ 	{␈εα)
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ α=␈ε	p␈↓ αY␈εβif␈α
and␈α	only␈α
if␈↓ ∧∨␈ε	x␈↓ ∧U␈ε↔␈␈↓ ∧|␈ε	x␈↓ ¬_␈εβis␈αd␈α␈ivisible␈α
by␈↓ εk␈ε	f␈↓ ε{␈εβ(␈↓ πε␈ε	x␈↓ π↔␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ πm␈εβg␈α␈cd␈↓ λ+␈ε	x␈↓ λv␈ε↔␈␈↓ 	≡␈ε	x␈↓ 	0␈εβ,␈↓ 	D␈ε	f␈↓ 	T␈εβ(␈↓ 	←␈ε	x␈↓ 	p␈εβ)␈↓ 
⊃␈εβ=␈α	1␈α
for␈α
all
␈β⊃~␈↓ βl␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rimes␈↓ α3␈ε	q␈↓ αM␈εβd␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈↓ βN␈ε	n␈↓ βb␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ εRF␈α|A␈α␈CTORIZ␈α␈A␈α}T␈α␈ION␈α	OF␈α	POL␈α⎇YNOMIA␈α␈LS␈↓ 
v␈εα425
␈βα&␈↓ ¬Q␈εε2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ[␈ε	M23␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β3␈ε	F␈↓ βU␈εβbe␈α
a␈α|␈α␈eld␈α
wi␈α↓th␈α
1␈↓ ¬@␈εβ3␈↓ ¬h␈εβelemen␈α}ts.␈αHo␈α␈w␈αma␈α␈n␈α␈y␈α
eleme␈α␈n␈α␈ts␈α
of␈↓ 	M␈ε	F␈↓ 	o␈εβh␈α␈av␈α}e␈αor␈α␈der␈↓ ∪␈ε	f␈↓ #␈εβ,
␈βαN␈↓ ¬>␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
ea␈α␈ch␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈↓ β1␈ε	f␈↓ βK␈εβwith␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧Y␈ε	f␈↓ ∧s␈εβ<␈α	1␈↓ ¬.␈εβ3␈↓ ¬K␈εβ?␈α∃(␈α↓Th␈α␈e␈α
\␈α␈ord␈α␈er"␈α	of␈α
an␈α	e␈α␈l␈α↓em␈α␈en␈α␈t␈↓ λ}␈ε	a␈↓ 	_␈εβi␈α↓s␈α	the␈α	least␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e
␈βαu␈↓ ∧β␈εm
␈βαy␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈↓ α6␈ε	m␈↓ α↑␈εβsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ βr␈ε	a␈↓ ∧#␈εβ=␈α
1␈α␈.␈α↓)
␈ββ$␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ ∧U␈εn
␈ββ(␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β1␈ε	u␈↓ βE␈εβ(␈↓ βP␈ε	x␈↓ βb␈εβ)␈α	=␈↓ ∧!␈ε	u␈↓ ∧D␈ε	x␈↓ ∧j␈εβ+␈↓ ¬∂␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬9␈εβ+␈↓ ¬←␈ε	u␈↓ ¬}␈εβ,␈↓ ε
␈ε	u␈↓ ε:␈ε↔≤␈εβ␈α	0,␈α	be␈αλa␈αλprimitiv␈α␈e␈αλp␈α␈olyn␈α␈omial␈αλwi␈α↓th␈απi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈ββ3␈↓ ∧4␈εn␈↓ ¬r␈εε0␈↓ ε ␈εn
␈ββP␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈αan␈α␈d␈αlet␈↓ βi␈ε	v␈↓ β{␈εβ(␈↓ ∧ε␈ε	x␈↓ ∧↔␈εβ)␈αbe␈αth␈α␈e␈αmo␈α␈nic␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈αde␈α␈|n␈α␈ed␈αb␈α␈y
␈ββ}␈↓ β9␈εn␈↓ βJ␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬<␈εn␈↓ εW␈εn␈↓ εh␈ε~␈␈εε1␈↓ λ;␈εn␈↓ λL␈ε~␈␈εε2␈↓ 	|␈εn␈↓ 

␈ε~␈␈εε1
␈β∧∧␈↓ α8␈ε	v␈↓ αJ␈εβ(␈↓ αU␈ε	x␈↓ αf␈εβ)␈α
=␈↓ β%␈ε	u␈↓ βw␈ε↔↓␈↓ ∧π␈ε	u␈↓ ∧≠␈εβ(␈↓ ∧'␈ε	x␈↓ ∧8␈εβ/␈↓ ∧I␈ε	u␈↓ ∧l␈εβ)␈α	=␈↓ ¬+␈ε	x␈↓ ¬T␈εβ+␈↓ ¬⎇␈ε	u␈↓ εF␈ε	x␈↓ π∃␈εβ+␈↓ π=␈ε	u␈↓ λπ␈ε	u␈↓ λ*␈ε	x␈↓ λy␈εβ+␈↓ 	"␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	I␈ε	u␈↓ 	h␈ε	u␈↓ 
2␈εβ.
␈β∧∞␈↓ ∧\␈εn␈↓ ε⊂␈εn␈↓ ε ␈ε~␈␈εε1␈↓ πQ␈εn␈↓ πa␈ε~␈␈εε2␈↓ λ~␈εn␈↓ 	\␈εε0
␈β∧∪␈↓ β9␈εn␈↓ 	|␈εn
␈β∧7␈↓ ↓H␈εβ(a␈α␈)␈α	Giv␈α␈en␈αλth␈α␈at␈↓ β≠␈ε	v␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	x␈↓ βI␈εβ)␈α	ha␈α␈s␈α	th␈α␈e␈α	c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈te␈α	fa␈α␈ctorizat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈↓ π↔␈ε	p␈↓ π3␈εβ(␈↓ π>␈ε	x␈↓ πO␈εβ)␈↓ π`␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ␈ε	p␈↓ λ(␈εβ(␈↓ λ3␈ε	x␈↓ λE␈εβ)␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλthe␈αλin␈α␈teg␈α␈ers,␈α	where
␈β∧B␈↓ π&␈εε1␈↓ λ≤␈εr
␈β∧←␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈↓ α∪␈ε	p␈↓ α.␈εβ(␈↓ α:␈ε	x␈↓ αK␈εβ)␈α
is␈αm␈α␈onic,␈α
what␈α
is␈α
the␈α
c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈te␈α
factor␈α␈i␈α↓za␈α␈tion␈α
o␈α␈f␈↓ λ
␈ε	u␈↓ λ≡␈εβ(␈↓ λ)␈ε	x␈↓ λ:␈εβ)␈αo␈α}v␈α␈er␈α
th␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs?␈α↔(b)␈α
If
␈β∧j␈↓ α"␈εj
␈β¬β␈↓ αN␈εm␈↓ βz␈εm␈↓ ∧⊃␈ε~␈␈εε1
␈β¬π␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓l␈ε	x␈↓ ↓⎇␈εβ)␈α
=␈↓ α<␈ε	x␈↓ αm␈εβ+␈↓ β∃␈ε	w␈↓ βi␈ε	x␈↓ ∧?␈εβ+␈↓ ∧g␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬⊗␈εβ+␈↓ ¬?␈ε	w␈↓ ¬m␈εβis␈αa␈αfacto␈α␈r␈αof␈↓ π1␈ε	v␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε	x␈↓ π←␈εβ),␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ 	"␈ε	w␈↓ 	Q␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈αo␈α␈f
␈β¬⊃␈↓ β,␈εm␈↓ βC␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬U␈εε0␈↓ 	8␈εk
␈β¬*␈↓ ↓\␈εm␈↓ ↓s␈ε~␈␈εε1␈ε~␈␈↓ α2␈εk
␈β¬.␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ αJ␈εβfor␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ βC␈ε	k␈↓ β\␈εβ<␈↓ ∧π␈ε	m␈↓ ∧$␈εβ.
␈β¬=␈↓ ↓\␈εn
␈β¬]␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Eisenste␈α␈i␈α↓n␈α␈'s␈αcriterio␈α␈n.␈εβ)␈α~P␈α↓erh␈α␈ap␈α␈s␈αth␈α␈e␈αb␈α␈est-k␈α␈no␈α␈wn␈αcla␈α␈ss␈αof␈αi␈α↓r␈α␈redu␈α␈cible␈αpoly␈α␈-
␈βε¬␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈αλo␈α␈v␈α␈er␈αλthe␈αλi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈α	was␈αλi␈α↓n␈α}trod␈α␈uce␈α␈d␈α	b␈α␈y␈αλG.␈α	E␈α↓isen␈α␈stein␈αλi␈α↓n␈ε⊂␈αλJ␈α␈.␈α
f␈↓ λ↑␈ε⊂u␈↓ λ←␈ε⊂∪␈↓ λp␈ε⊂r␈α	d␈α␈i␈α↓e␈αλreine␈αλun␈α␈d␈α	a␈α␈ng␈α␈ew.
␈βε(␈↓ λg␈εn
␈βε,␈↓ ↓H␈ε⊂M␈α␈ath␈α␈.␈ε∪␈α
39␈εβ␈α(18␈α␈50),␈α
1␈α␈66↑␈α␈167␈α␈:␈α≤L␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬ ␈ε	p␈↓ ¬=␈εβbe␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
a␈α␈nd␈αlet␈↓ π>␈ε	u␈↓ πR␈εβ(␈↓ π]␈ε	x␈↓ πo␈εβ)␈α=␈↓ λ2␈ε	u␈↓ λV␈ε	x␈↓ 	␈εβ+␈↓ 	)␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	X␈εβ+␈↓ 
α␈ε	u␈↓ 
.␈εβha␈α␈v␈α␈e␈αthe
␈βε7␈↓ λE␈εn␈↓ 
∃␈εε0
␈βεT␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αprop␈α␈erties:␈α~(i)␈↓ ∧4␈ε	u␈↓ ∧c␈εβis␈αno␈α␈t␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isible␈αby␈↓ εt␈ε	p␈↓ π¬␈εβ;␈α~(ii)␈↓ π\␈ε	u␈↓ λ%␈εβ,␈↓ λ:␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λf␈εβ,␈↓ λ{␈ε	u␈↓ 	&␈εβare␈αdiv␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈αb␈α␈y␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ;
␈βε←␈↓ ∧G␈εn␈↓ πo␈εn␈↓ π␈␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	∞␈εε0
␈βεx␈↓ ∧P␈εε2
␈βε|␈↓ ↓H␈εβ(iii)␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α0␈εβis␈αn␈α␈ot␈αdiv␈α␈i␈α↓s␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αby␈↓ ∧?␈ε	p␈↓ ∧]␈εβ.␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈↓ ε⊃␈ε	u␈↓ ε%␈εβ(␈↓ ε0␈ε	x␈↓ εB␈εβ)␈αis␈αi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe␈αin␈α}teger␈α␈s.
␈βπε␈↓ α_␈εε0
␈βπ&␈↓ ∧N␈εn
␈βπ+␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈28␈↓ αm␈εβ]␈α⊗If␈↓ β*␈ε	u␈↓ β>␈εβ(␈↓ βI␈ε	x␈↓ β[␈εβ)␈α	=␈↓ ∧~␈ε	u␈↓ ∧=␈ε	x␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬ε␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬0␈εβ+␈↓ ¬U␈ε	u␈↓ ¬⎇␈εβis␈αλa␈α␈n␈α␈y␈απpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αλo␈α␈v␈α}er␈αλthe␈απcomp␈α␈lex␈αλn␈α}um␈α}bers,␈αλl␈α↓e␈α␈t
␈βπ5␈↓ ∧-␈εn␈↓ ¬h␈εε0
␈βπN␈↓ αd␈εε2␈↓ ∧~␈εε2␈↓ ∧3␈εε1␈α␈/2
␈βπO␈↓ α"␈εα(␈↓ ∧'␈εα)
␈βπR␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	u␈↓ ↓e␈ε↔j␈εβ␈α	=␈↓ α.␈ε↔j␈↓ α7␈ε	u␈↓ α[␈ε↔j␈↓ αt␈εβ+␈↓ β→␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ βC␈εβ+␈ε↔␈α∧j␈↓ βq␈ε	u␈↓ ∧⊃␈ε↔j␈↓ ∧X␈εβ.␈α∩(a)␈αλL␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬\␈ε	g␈↓ ¬l␈εβ(␈↓ ¬w␈ε	x␈↓ ε	␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ εS␈ε	x␈↓ εg␈ε↔␈␈↓ π␈ε	␈↓ π∨␈εβ)␈↓ π*␈ε	u␈↓ π>␈εβ(␈↓ πI␈ε	x␈↓ πZ␈εβ)␈αλand␈↓ λ+␈ε	h␈↓ λ<␈εβ(␈↓ λG␈ε	x␈↓ λX␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ 	"␈ε	␈↓ 	#␈εβ∩␈↓ 	4␈ε	x␈↓ 	I␈ε↔␈␈εβ␈α∧1)␈↓ 

␈ε	u␈↓ 
≡␈εβ(␈↓ 
)␈ε	x␈↓ 
:␈εβ),␈α	where
␈βπ]␈↓ αJ␈εn␈↓ ∧∧␈εε0
␈βπz␈↓ ↓H␈ε	␈↓ ↓d␈εβis␈αa␈α␈n␈α␈y␈α
c␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈x␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αa␈α␈nd␈↓ ∧}␈εβ∩␈↓ ∧}␈ε	␈↓ ¬~␈εβis␈αits␈α
co␈α␈mplex␈α
c␈α␈onju␈α␈ga␈α␈te.␈αP␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈ε↔␈α
j␈↓ 	8␈ε	g␈↓ 	G␈ε↔j␈εβ␈α
=␈ε↔␈α	j␈↓ 
∞␈ε	h␈↓ 
≡␈ε↔j␈εβ.␈α_(b␈α␈)␈α
L␈α↓e␈α␈t
␈βλ!␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	co␈α␈mplete␈αλfactor␈α␈i␈α↓za␈α␈tion␈α	o␈α␈f␈↓ ∧n␈ε	u␈↓ ¬α␈εβ(␈↓ ¬
␈ε	x␈↓ ¬∨␈εβ)␈α	o␈α␈v␈α}er␈α	th␈α␈e␈α	com␈α␈plex␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α	b␈α␈e␈↓ λ←␈ε	u␈↓ 	α␈εβ(␈↓ 	
␈ε	x␈↓ 	&␈ε↔␈␈↓ 	O␈ε	␈↓ 	m␈εβ)␈↓ 	⎇␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
*␈εβ(␈↓ 
5␈ε	x␈↓ 
N␈ε↔␈␈↓ 
v␈ε	␈↓ _␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈βλ+␈↓ βf␈ε↓Q
␈βλ,␈↓ λr␈εn␈↓ 	`␈εε1␈↓ λ␈εn
␈βλI␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αwrite␈↓ α`␈ε	M␈↓ ββ␈εβ(␈↓ β∞␈ε	u␈↓ β"␈εβ)␈α=␈↓ ∧i␈εβm␈α␈ax␈↓ ¬'␈εβ(␈α↓1␈α␈,␈ε↔␈αεj␈↓ ¬[␈ε	␈↓ ¬y␈ε↔j␈εβ).␈α⊂Pro␈α␈v␈α}e␈αthat␈↓ πM␈ε	M␈↓ πp␈εβ(␈↓ π{␈ε	u␈↓ λ∂␈εβ)␈ε↔␈α∀␈αj␈↓ λ\␈ε	u␈↓ λp␈ε↔j␈εβ/␈ε↔␈α␈j␈↓ 	∪␈ε	u␈↓ 	6␈ε↔j␈εβ.␈α≥(c)␈αSh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t
␈βλT␈↓ ¬m␈εj␈↓ 	&␈εn
␈βλX␈↓ αg␈ε↓␈␈↓ αu␈ε↓␈␈↓ β9␈ε↓↓␈↓ ∧E␈ε↓␈␈↓ ¬
␈ε↓↓␈↓ ¬_␈ε↓↓
␈βλ\␈↓ ∧λ␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ∧-␈εj␈↓ ∧9␈ε~∀␈↓ ∧S␈εn
␈βλr␈↓ ββ␈εn␈↓ β∪␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧S␈εn␈↓ ∧d␈ε~␈␈εε1
␈βλz␈↓ ↓H␈ε↔j␈↓ ↓Q␈ε	u␈↓ ↓p␈ε↔j␈α∀␈αj␈↓ α:␈ε	u␈↓ α↑␈ε↔j␈↓ βG␈ε	M␈↓ βj␈εβ(␈↓ βu␈ε	u␈↓ ∧	␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬2␈εβfor␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ ε/␈ε	j␈↓ εI␈ε↔∀␈↓ εv␈ε	n␈↓ π
␈εβ.␈α≠(␈α↓d␈α␈)␈αCom␈α␈b␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈αthe␈α␈se␈αresults␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β	¬␈↓ ↓d␈εj␈↓ αM␈εn
␈β	
␈↓ β_␈εj␈↓ ∧V␈εj␈↓ ∧b␈ε~␈␈εε1
␈β	≡␈↓ ε~␈εm
␈β	"␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
if␈↓ α3␈ε	u␈↓ αG␈εβ(␈↓ αR␈ε	x␈↓ αc␈εβ)␈α=␈↓ β(␈ε	v␈↓ β9␈εβ(␈↓ βD␈ε	x␈↓ βV␈εβ)␈↓ βa␈ε	w␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ ∧p␈ε	v␈↓ ¬α␈εβ(␈↓ ¬
␈ε	x␈↓ ¬≡␈εβ)␈α
=␈↓ ¬c␈ε	v␈↓ ε	␈ε	x␈↓ ε:␈εβ+␈↓ εd␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π∪␈εβ+␈↓ π=␈ε	v␈↓ πY␈εβ,␈α
wher␈α␈e␈↓ λQ␈ε	u␈↓ λe␈εβ,␈↓ λ|␈ε	v␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	$␈ε	w␈↓ 	I␈εβall␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r
␈β	,␈↓ ¬r␈εm␈↓ πL␈εε0
␈β	I␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈αthe␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts␈αof␈↓ ¬␈ε	v␈↓ ¬≤␈εβare␈αb␈α␈oun␈α␈de␈α␈d␈αb␈α␈y
␈β	[␈↓ ¬G␈ε↓␈␈↓ ε∩␈ε↓↓␈↓ εv␈ε↓␈␈↓ πA␈ε↓↓
␈β	u␈↓ ¬U␈εm␈↓ ¬l␈ε~␈␈εε1␈↓ π∧␈εm␈↓ π≤␈ε~␈␈εε1
␈β	⎇␈↓ ∧f␈ε↔j␈↓ ∧o␈ε	v␈↓ ¬
␈ε↔j␈α	∀␈↓ ε ␈ε↔j␈↓ ε)␈ε	u␈↓ ε=␈ε↔j␈εβ␈αλ+␈↓ πO␈ε↔j␈↓ πY␈ε	u␈↓ π|␈ε↔j␈εβ.
␈β
λ␈↓ ∧⎇␈εj␈↓ πl␈εn
␈β

␈↓ ¬m␈εj␈↓ π
␈εj␈↓ π⊗␈ε~␈␈εε1
␈β
8␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗The␈α
p␈α␈urp␈α␈ose␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈is␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α	i␈α↓s␈α
to␈α
o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α	usefu␈α␈l␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈s␈α
on␈α
th␈α␈e␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈β
`␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈ε⊂␈αm␈α}ultivaria␈α␈te␈εβ␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈αfa␈α␈ctors␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe␈αin␈α␈te␈α␈gers.␈αGiv␈α}en␈αa␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈↓ 
β␈ε	u␈↓ 
↔␈εβ(␈↓ 
"␈ε	x␈↓ 
>␈εβ,␈↓ 
M␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
y␈εβ,␈↓ λ␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈β
i␈↓ ¬⎇␈ε↓P
␈β
j␈↓ 
2␈εε1␈↓ _␈εt
␈ββ␈↓ π␈εε2␈↓ π%␈εε1/␈α␈2
␈β∧␈↓ ¬f␈εα(␈↓ π→␈εα)
␈βπ␈↓ ↓H␈εβo␈α}v␈α␈er␈α
the␈α
com␈α␈plex␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈αl␈α↓e␈α␈t␈ε↔␈αj␈↓ ¬∩␈ε	u␈↓ ¬&␈ε↔j␈εβ␈αbe␈↓ ¬r␈εβ(␈↓ ε)␈ε↔j␈↓ ε2␈ε	u␈↓ πβ␈ε↔j␈↓ πV␈εβs␈α␈umm␈α␈ed␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
all␈αth␈α␈e␈αco␈α␈e}cien␈α}ts.
␈β∩␈↓ εE␈εj␈↓ ε[␈εε...␈↓ εp␈εj
␈β→␈↓ εz␈ε
t
␈β~␈↓ εO␈επ1
␈β+␈↓ αz␈εε2␈↓ βπ␈ε→␈↓ β⊗␈εi␈↓ β ␈εx
␈β/␈↓ ↓H␈εβLet␈↓ α¬␈ε	e␈↓ α∩␈εβ(␈↓ α≥␈ε	x␈↓ α.␈εβ)␈α
=␈↓ αm␈ε	e␈↓ β.␈εβ.␈α~(a)␈αPro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t
␈βT␈↓ ∧O␈ε↓Z␈↓ ¬7␈ε↓Z
␈β]␈↓ ∧s␈εε1␈↓ ¬[␈εε1
␈βa␈↓ ¬m␈ε↓␈␈↓ πb␈ε↓␈
␈βt␈↓ πn␈εε2
␈βw␈↓ ¬m␈ε↓␈␈↓ πb␈ε↓␈
␈β⎇␈↓ ∧∞␈εε2
␈β␈↓ ε
␈εα(␈↓ πV␈εα)
␈ββ␈↓ βh␈ε↔j␈↓ βq␈ε	u␈↓ ∧¬␈ε↔j␈↓ ∧$␈εβ=␈↓ ¬¬␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬y␈ε	u␈↓ ε→␈ε	e␈↓ ε&␈εβ(␈↓ ε1␈ε	∩␈↓ εI␈εβ),␈↓ εc␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π∂␈εβ,␈↓ π≡␈ε	e␈↓ π+␈εβ(␈↓ π6␈ε	∩␈↓ πK␈εβ)␈↓ λ␈ε	d␈↓ λ∩␈ε	∩␈↓ λ-␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λY␈ε	d␈↓ λk␈ε	∩␈↓ 	β␈εβ.
␈β∞␈↓ ε<␈εε1␈↓ πA␈εt␈↓ λ≥␈εt␈↓ λw␈εε1
␈β'␈↓ ∧c␈εε0␈↓ ¬K␈εε0
␈βH␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈α
Let␈↓ α5␈ε	u␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	x␈↓ αf␈εβ)␈α	=␈↓ β$␈ε	v␈↓ β6␈εβ(␈↓ βA␈ε	x␈↓ βR␈εβ)␈↓ β]␈ε	w␈↓ βv␈εβ(␈↓ ∧↓␈ε	x␈↓ ∧∪␈εβ),␈α
wh␈α␈ere␈α	de␈α␈g(␈↓ ¬L␈ε	v␈↓ ¬↑␈εβ)␈α	=␈↓ ε≤␈ε	m␈↓ εC␈εβan␈α␈d␈α	de␈α␈g(␈↓ π?␈ε	w␈↓ πX␈εβ)␈α	=␈↓ λ↔␈ε	k␈↓ λ'␈εβ.␈αUse␈α	the␈α	re␈α␈sults␈α	of␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se
␈βN␈↓ πb␈ε↓␈␈↓ λ∪␈ε↓↓␈↓ λ!␈ε↓␈␈↓ λI␈ε↓↓
␈βh␈↓ πp␈εε2␈↓ π|␈εm␈↓ λ/␈εε2␈↓ λ<␈εk
␈βk␈↓ ¬⊂␈εε1/␈α␈2
␈βo␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈0␈αλto␈αλs␈α␈ho␈α␈w␈αλth␈α␈at␈ε↔␈αλj␈↓ β4␈ε	v␈↓ βE␈ε↔j␈α↓j␈↓ βX␈ε	w␈↓ βq␈ε↔j␈α	∀␈↓ ∧.␈ε	f␈↓ ∧=␈εβ(␈↓ ∧I␈ε	m␈↓ ∧f␈εβ,␈↓ ∧u␈ε	k␈↓ ¬¬␈εβ)␈↓ ¬6␈ε↔j␈↓ ¬?␈ε	u␈↓ ¬S␈ε↔j␈εβ,␈α	where␈↓ εK␈ε	f␈↓ ε[␈εβ(␈↓ εf␈ε	m␈↓ π∧␈εβ,␈↓ π∩␈ε	k␈↓ π#␈εβ)␈α	=␈↓ λW␈εβ.␈α∩(c)␈αλLet␈↓ 	Y␈ε	u␈↓ 	m␈εβ(␈↓ 	x␈ε	x␈↓ 
∀␈εβ,␈↓ 
#␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
O␈εβ,␈↓ 
↑␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βz␈↓ 
π␈εε1␈↓ 
m␈εt
␈β
␈↓ πv␈εm␈↓ λ6␈εk
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ α␈εβ,␈↓ α∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α;␈εβ,␈↓ αJ␈ε	x␈↓ αc␈εβ)␈↓ αn␈ε	w␈↓ βπ␈εβ(␈↓ β∩␈ε	x␈↓ β.␈εβ,␈↓ β=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βi␈εβ,␈↓ βx␈ε	x␈↓ ∧⊃␈εβ),␈α∂wh␈α␈ere␈↓ ¬⊗␈ε	v␈↓ ¬5␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬x␈ε	w␈↓ ε≡␈εβh␈α␈av␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
respe␈α␈ctiv␈α␈e␈α
de␈α␈grees␈↓ 	>␈ε	m␈↓ 	t␈εβa␈α␈nd␈↓ 
7␈ε	k␈↓ 
←␈εβin␈↓ λ␈ε	x␈↓ #␈εβ.
␈β
"␈↓ ↓t␈εε1␈↓ αZ␈εt␈↓ β"␈εε1␈↓ ∧λ␈εt␈↓ 	Z␈εj␈↓ 
E␈εj␈↓ ↔␈εj
␈β
?␈↓ ↓H␈εβPro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t
␈β
`␈↓ πl␈εε1␈α␈/2
␈β
c␈↓ ¬6␈εα(␈↓ π`␈εα)
␈β
f␈↓ ∧3␈ε↔j␈↓ ∧<␈ε	v␈↓ ∧M␈ε↔j␈α↓j␈↓ ∧`␈ε	w␈↓ ∧y␈ε↔j␈α	∀␈↓ ¬B␈ε	f␈↓ ¬R␈εβ(␈↓ ¬]␈ε	m␈↓ εε␈εβ,␈↓ ε∀␈ε	k␈↓ ε0␈εβ)␈↓ ε@␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εm␈ε	f␈↓ ε|␈εβ(␈↓ πλ␈ε	m␈↓ π.␈εβ,␈↓ π<␈ε	k␈↓ πU␈εβ)␈↓ λ∩␈ε↔j␈↓ λ≠␈ε	u␈↓ λ/␈ε↔j␈εβ.
␈β
q␈↓ ¬y␈εε1␈↓ ε#␈εε1␈↓ π$␈εt␈↓ πK␈εt
␈β∞≥␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∞!␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβ[␈ε	M24␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Hen␈α␈sel'␈α↓s␈α
Lemma␈α␈.␈εβ␈α↓)␈α≡Let␈↓ ¬c␈ε	u␈↓ ¬w␈εβ(␈↓ εβ␈ε	x␈↓ ε∀␈εβ),␈↓ ε7␈ε	v␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε[␈ε	x␈↓ εm␈εβ),␈↓ π∂␈ε	w␈↓ π0␈εβ(␈↓ π;␈ε	x␈↓ πM␈εβ),␈↓ πo␈ε	a␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε	x␈↓ λ≤␈εβ),␈↓ λ?␈ε	b␈↓ λL␈εβ(␈↓ λW␈ε	x␈↓ λh␈εβ)␈α∞be␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∞with
␈β∞+␈↓ εE␈εe␈↓ π%␈εe
␈β∞H␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αco␈α␈e}cien␈α}ts,␈αsatisfyin␈α␈g␈αthe␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tions
␈β∞v␈↓ ¬A␈εe
␈β∞|␈↓ α#␈ε	u␈↓ α7␈εβ(␈↓ αB␈ε	x␈↓ αS␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ β∩␈ε	v␈↓ β,␈εβ(␈↓ β7␈ε	x␈↓ βH␈εβ)␈↓ βS␈ε	w␈↓ βt␈εβ(␈↓ β␈␈ε	x␈↓ ∧⊃␈εβ)␈α∩(mod␈α␈ulo␈↓ ¬0␈ε	p␈↓ ¬K␈εβ),␈↓ ε-␈ε	a␈↓ ε>␈εβ(␈↓ εI␈ε	x␈↓ εZ␈εβ)␈↓ εe␈ε	v␈↓ ε␈␈εβ(␈↓ π
␈ε	x␈↓ π≠␈εβ)␈αλ+␈↓ πV␈ε	b␈↓ πd␈εβ(␈↓ πo␈ε	x␈↓ λ␈εβ)␈↓ λ␈ε	w␈↓ λ,␈εβ(␈↓ λ7␈ε	x␈↓ λI␈εβ)␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α	1␈α∪(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ 
,␈ε	p␈↓ 
=␈εβ),
␈β∂ε␈↓ β!␈εe␈↓ βi␈εe␈↓ εt␈εe␈↓ λ!␈εe
␈β∂0␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α,␈ε	p␈↓ αM␈εβis␈α⊂prime␈α␈,␈↓ β`␈ε	e␈↓ β}␈ε↔∃␈εβ␈α∩1␈α␈,␈↓ ∧\␈ε	v␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬⊃␈εβ)␈α⊂i␈α↓s␈α∂mon␈α␈ic,␈α⊃deg␈α␈(␈↓ π␈ε	a␈↓ π⊃␈εβ)␈α⊃<␈↓ π←␈εβdeg␈↓ λ⊃␈εβ(␈↓ λ≤␈ε	w␈↓ λ=␈εβ),␈α⊃deg␈α␈(␈↓ 	∨␈ε	b␈↓ 	-␈εβ)␈α⊃<␈↓ 	{␈εβde␈α␈g␈↓ 
-␈εβ(␈↓ 
8␈ε	v␈↓ 
R␈εβ),␈α⊃a␈α␈nd
␈β∂:␈↓ ∧j␈εe␈↓ λ2␈εe␈↓ 
G␈εe
␈β∂W␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg(␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α→␈εβ)␈α
=␈↓ α←␈εβd␈α␈eg␈↓ β⊂␈εβ(␈↓ β≤␈ε	v␈↓ β5␈εβ)␈α	+␈↓ βs␈εβde␈α␈g␈↓ ∧%␈εβ(␈↓ ∧0␈ε	w␈↓ ∧Q␈εβ).␈α∩S␈α␈ho␈α}w␈α∞h␈α␈o␈α␈w␈α
to␈α
co␈α␈mp␈α␈ute␈α
p␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ 	π␈ε	v␈↓ 	F␈εβ(␈↓ 	Q␈ε	x␈↓ 	c␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ 
)␈ε	v␈↓ 
B␈εβ(␈↓ 
M␈ε	x␈↓ 
←␈εβ)␈α
a␈α␈nd
␈β∂b␈↓ β*␈εe␈↓ ∧F␈εe␈↓ 	⊗␈εe␈↓ 	 ␈εε+␈α↓1␈↓ 
7␈εe
␈β∂{␈↓ ∧b␈εe
␈β∂␈␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ α∞␈εβ(␈↓ α→␈ε	x␈↓ α+␈εβ)␈ε↔␈α∂⊃␈↓ αu␈ε	w␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε	x␈↓ β3␈εβ)␈α∞(mod␈α␈ulo␈↓ ∧Q␈ε	p␈↓ ∧m␈εβ),␈α⊂sa␈α␈ti␈α↓sfy␈α␈ing␈α∞the␈α∞sam␈α␈e␈α∂c␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈α∞wi␈α↓th␈↓ 	0␈ε	e␈↓ 	K␈εβincre␈α␈ased␈α∞b␈α␈y␈α∂1␈α␈.
␈β⊂	␈↓ ↓↑␈εe␈↓ ↓i␈εε+1␈↓ β␈εe
␈β⊂"␈↓ 	↔␈εe␈↓ 	"␈εε+1
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβFu␈α␈rther␈α␈more,␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ∧8␈ε	v␈↓ ∧w␈εβ(␈↓ ¬α␈ε	x␈↓ ¬∀␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ ¬j␈ε	w␈↓ ε1␈εβ(␈↓ ε<␈ε	x␈↓ εN␈εβ)␈αa␈α␈re␈αun␈α␈i␈α↓q␈α␈ue,␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	ε␈ε	p␈↓ 	H␈εβ.
␈β⊂1␈↓ ∧F␈εe␈↓ ∧Q␈εε+1␈↓ ε↓␈εe␈↓ ε␈εε+␈α↓1
␈β⊂N␈↓ α␈εβUse␈α∞y␈α␈ou␈α␈r␈α∂me␈α␈tho␈α␈d␈α∂fo␈α␈r␈↓ ∧R␈ε	p␈↓ ∧r␈εβ=␈α∂2␈α∂to␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α∞th␈α␈at␈α∂(2␈α␈1)␈α∂is␈α∂irred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α∂o␈α}v␈α␈er␈α∞the␈α∞i␈α↓n␈α}teg␈α␈ers,
␈β⊂s␈↓ λ
␈εα(
␈β⊂v␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈rting␈αλwith␈α	its␈αλfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈αλmo␈α␈d␈α	2␈αλfou␈α␈nd␈αλin␈αλex␈α␈e␈α␈rcise␈α	1␈α␈0.␈↓ λ→␈εβNote␈αλtha␈α␈t␈α	Eu␈α␈cl␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈αλex␈α␈tend␈α␈ed
␈β⊃~␈↓ 	␈εα)
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m,␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α4␈α␈.␈α↓6␈α␈.1↑3␈α␈,␈αwill␈αg␈α␈et␈αthe␈α
proc␈α␈ess␈αstarte␈α␈d␈αfor␈↓ λ%␈ε	e␈↓ λ;␈εβ=␈α
1␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα426␈↓ α=␈ε∞A␈α␈RITH␈α␈METIC␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈23␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Let␈↓ βJ␈ε	u␈↓ β↑␈εβ(␈↓ βi␈ε	x␈↓ βz␈εβ)␈αbe␈αa␈αsqu␈α␈arefree␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αwith␈αin␈α␈teg␈α␈er␈αco␈α␈e}cien␈α}ts.␈α
P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈αtha␈α␈t
␈βαR␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αa␈α␈re␈αon␈α␈l␈α↓y␈α
|n␈α␈itely␈αma␈α␈n␈α␈y␈αp␈α␈rimes␈↓ ¬V␈ε	p␈↓ ¬r␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ πε␈ε	u␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈ε	x␈↓ π6␈εβ)␈αis␈αn␈α␈ot␈αsqu␈α␈arefree␈α
mod␈α␈ulo␈↓ 
=␈ε	p␈↓ 
N␈εβ.
␈ββα␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβ[␈ε	M20␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Th␈α␈e␈α	text␈α	sp␈α␈eak␈α␈s␈α	only␈α	o␈α␈f␈α	f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈α	o␈α␈v␈α}er␈α	the␈α	in␈α}tegers,␈α	not␈α	o␈α}v␈α␈er␈α	th␈α␈e␈α	|eld␈α	o␈α␈f
␈ββ*␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.␈αExp␈α␈lain␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α
to␈α
|n␈α␈d␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈omp␈α␈lete␈α
facto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈α
o␈α␈f␈αa␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αwith
␈ββR␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈αc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈αo␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈αthe␈α|␈α␈eld␈αof␈αra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.
␈ββ}␈↓ π6␈εε5␈↓ λ¬␈εε4␈↓ λS␈εε2
␈β∧α␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈αis␈αth␈α␈e␈αc␈α␈omp␈α␈lete␈αfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈αo␈α␈f␈↓ π%␈ε	x␈↓ πJ␈εβ+␈↓ πs␈ε	x␈↓ λ→␈εβ+␈↓ λA␈ε	x␈↓ λg␈εβ+␈↓ 	⊂␈ε	x␈↓ 	)␈εβ+␈αλ2␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈α|eld
␈β∧*␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αration␈α␈al␈αn␈α␈um␈α}bers?
␈β∧Z␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβ[␈ε	20␈↓ α;␈εβ]␈α⊗Let␈↓ β∃␈ε	d␈↓ β2␈εβ,␈↓ βE␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βq␈εβ,␈↓ ∧∧␈ε	d␈↓ ∧)␈εβb␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α	deg␈α␈rees␈α	of␈α	the␈α	irred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α	fa␈α␈ctors␈α	of␈↓ 	∞␈ε	u␈↓ 	"␈εβ(␈↓ 	-␈ε	x␈↓ 	?␈εβ)␈α	mod␈α␈ulo␈↓ 
H␈ε	p␈↓ 
Y␈εβ,␈α
with
␈β∧e␈↓ β%␈εε1␈↓ ∧∪␈εr
␈β¬α␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rop␈α␈er␈α∞m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓icity␈α␈,␈α⊂so␈α
tha␈α␈t␈↓ ∧m␈ε	d␈↓ ¬∩␈εβ+␈↓ ¬=␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ¬m␈εβ+␈↓ ε_␈ε	d␈↓ εB␈εβ=␈↓ εr␈ε	n␈↓ π∀␈εβ=␈↓ πD␈εβd␈α␈eg␈↓ πv␈εβ(␈↓ λ↓␈ε	u␈↓ λ∃␈εβ).␈α∀Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α
ho␈α␈w␈α∞to␈α
comp␈α␈ute
␈β¬
␈↓ ∧|␈εε1␈↓ ε'␈εr
␈β¬*␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αse␈α␈t␈↓ α6␈ε↔f␈↓ αL␈εβdeg␈↓ α}␈εβ(␈↓ β	␈ε	v␈↓ β≠␈εβ)␈ε↔␈α
j␈↓ βD␈ε	u␈↓ βX␈εβ(␈↓ βc␈ε	x␈↓ βt␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ ∧5␈ε	v␈↓ ∧F␈εβ(␈↓ ∧Q␈ε	x␈↓ ∧c␈εβ)␈↓ ∧n␈ε	w␈↓ ¬π␈εβ(␈↓ ¬∩␈ε	x␈↓ ¬#␈εβ)␈α(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ε:␈ε	p␈↓ εK␈εβ)␈αfor␈αsome␈↓ πj␈ε	v␈↓ π{␈εβ(␈↓ λε␈ε	x␈↓ λ_␈εβ),␈↓ λ2␈ε	w␈↓ λK␈εβ(␈↓ λV␈ε	x␈↓ λg␈εβ)␈↓ λx␈ε↔g␈↓ 	∀␈εβby␈αp␈α␈erform␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ 
p␈ε	O␈↓ λ␈εβ(␈↓ ∪␈ε	r␈↓ !␈εβ)
␈β¬Q␈↓ ↓H␈εβo␈α␈pera␈α␈tions␈αo␈α␈n␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
bit␈αstring␈α␈s␈αof␈αleng␈α␈th␈↓ ε,␈ε	n␈↓ ε@␈εβ.
␈βεα␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβ[␈ε	H␈α↓M␈α␈30␈↓ αm␈εβ]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈α∞a␈α∞ra␈α␈nd␈α␈om␈α∞p␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈α∞p␈α␈olyn␈α␈omial␈α∞o␈α}v␈α␈er␈α∞th␈α␈e␈α∞in␈α␈t␈α␈egers␈α∞is␈α∞\␈α␈almos␈α␈t
␈βε)␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys"␈α
i␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible,␈αi␈α↓n␈α
some␈α
app␈α␈rop␈α␈riate␈αsen␈α␈se.
␈βεZ␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ[␈ε	M18␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Tru␈α␈e␈αor␈α
false:␈αIf␈↓ ∧f␈ε	u␈↓ ∧z␈εβ(␈↓ ¬¬␈ε	x␈↓ ¬↔␈εβ)␈ε↔␈α	≤␈εβ␈α
0␈α
an␈α␈d␈α
the␈α
comp␈α␈lete␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈↓ 	←␈ε	u␈↓ 	s␈εβ(␈↓ 	}␈ε	x␈↓ 
⊂␈εβ)␈α
mod␈α␈ulo␈↓ ≤␈ε	p
␈βε}␈↓ α-␈εe␈↓ β2␈εe␈↓ ε↔␈ε~0
␈βε␈␈↓ ¬,␈εα(␈↓ εE␈εα)
␈βπα␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓i␈ε	p␈↓ α¬␈εβ(␈↓ α⊂␈ε	x␈↓ α"␈εβ)␈↓ αB␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αo␈ε	p␈↓ β␈εβ(␈↓ β⊗␈ε	x␈↓ β'␈εβ)␈↓ βH␈εβ,␈αth␈α␈en␈↓ ∧)␈ε	u␈↓ ∧=␈εβ(␈↓ ∧H␈ε	x␈↓ ∧Y␈εβ)/␈↓ ∧z␈εβgcd␈↓ ¬8␈ε	u␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬i␈εβ),␈↓ εβ␈ε	u␈↓ ε≥␈εβ(␈↓ ε(␈ε	x␈↓ ε:␈εβ)␈↓ εZ␈εβ=␈↓ π∧␈ε	p␈↓ π!␈εβ(␈↓ π,␈ε	x␈↓ π=␈εβ)␈↓ πN␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πz␈ε	p␈↓ λ⊗␈εβ(␈↓ λ!␈ε	x␈↓ λ3␈εβ).
␈βπ∧␈↓ β=␈ε
r
␈βπ¬␈↓ α7␈επ1
␈βπ␈↓ ↓y␈εε1␈↓ α␈␈εr␈↓ π∀␈εε1␈↓ λ
␈εr
␈βπ.␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπ2␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβ[␈ε	M21␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(J.␈αMo␈α␈ses␈αan␈α␈d␈αD.␈αY.␈αY.␈α
Yu␈α␈n.)␈α≠Gi␈α↓v␈α}en␈αa␈α␈n␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αfo␈α␈r␈αeva␈α␈l␈α↓u␈α␈atin␈α␈g␈↓ 
F␈ε	d␈↓ 
Y␈εβ(␈↓ 
d␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈βπW␈↓ ↓z␈εα(␈↓ β	␈εα)
␈βπZ␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ αε␈ε	u␈↓ α~␈εβ(␈↓ α%␈ε	x␈↓ α6␈εβ),␈↓ αP␈ε	v␈↓ αa␈εβ(␈↓ αl␈ε	x␈↓ α}␈εβ)␈↓ β!␈εβsu␈α␈bje␈α␈ct␈αto␈αcon␈α␈dition␈α(26␈α␈),␈α
s␈α␈ho␈α␈w␈αho␈α␈w␈αto␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈αthe␈αgcd␈αin␈αgen␈α␈eral␈α(fo␈α␈r
␈βλ↓␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers).
␈βλ2␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβ[␈ε	M25␈↓ αX␈εβ]␈α⊗Wha␈α␈t␈απis␈απth␈α␈e␈αεpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αεth␈α␈at␈απt␈α␈he␈αεdistinct␈αεde␈α␈gree␈αεfacto␈α␈rization␈αεwill␈απcom␈α␈pletely
␈βλZ␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αo␈α␈f␈αd␈α␈egr␈α␈ee␈↓ ¬x␈ε	n␈↓ ε␈εβ,␈αm␈α␈od␈α␈ulo␈↓ π↔␈ε	p␈↓ π(␈εβ,␈αfor␈α|x␈α}ed␈↓ λA␈ε	n␈↓ λ`␈εβa␈α␈s␈↓ 	λ␈ε	p␈↓ 	#␈ε↔!␈α	1␈εβ?
␈β	
␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(M.␈α
O.␈αRa␈α␈bin,␈α
M.␈αBen␈α␈-Or.)␈α_Let␈↓ εO␈ε	p␈↓ εj␈εβbe␈α
an␈α
o␈α␈dd␈α
p␈α␈rime,␈αa␈α␈nd␈α
let␈↓ 	Z␈ε	g␈↓ 	j␈εβ(␈↓ 	u␈ε	x␈↓ 
ε␈εβ)␈αb␈α␈e␈α
a␈α
poly␈α␈-
␈β	2␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈αwhose␈α
irred␈α␈ucible␈α
facto␈α␈rs␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε≥␈ε	p␈↓ ε9␈εβa␈α␈l␈α↓l␈α
hav␈α}e␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈α
deg␈α␈ree␈↓ 	(␈ε	d␈↓ 	:␈εβ.␈αE␈α↓x␈α␈pla␈α␈i␈α↓n␈α
h␈α␈o␈α␈w␈αto
␈β	Z␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈αa␈α
fa␈α␈ctor␈α
o␈α␈f␈↓ β4␈ε	g␈↓ βD␈εβ(␈↓ βO␈ε	x␈↓ β`␈εβ)␈α
e}cien␈α}tl␈α↓y␈αb␈α␈y␈α
g␈α␈enera␈α␈li␈α↓z␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
(20␈α␈),␈α∞u␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
arithm␈α␈etic␈α
in␈α
a
␈β	⎇␈↓ αH␈εd
␈β
↓␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈eld␈αo␈α␈f␈↓ α7␈ε	p␈↓ αa␈εβelemen␈α}ts.
␈β
∀␈↓ πD␈ε↓Q
␈β
.␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ 
,␈εk
␈β
2␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ[␈ε	M30␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(␈ε⊂Cy␈α}clotom␈α␈i␈α↓c␈α	p␈α␈olyn␈α␈omials.␈εβ)␈α∃Let␈↓ εD␈εβ␈	␈↓ εi␈εβ(␈↓ εt␈ε	x␈↓ π¬␈εβ)␈α	=␈↓ 	N␈εβ(␈↓ 	Z␈ε	x␈↓ 	p␈ε↔␈␈↓ 
↔␈ε	|␈↓ 
9␈εβ),␈α
where
␈β
<␈↓ εX␈εn
␈β
D␈↓ πf␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ λ␈εk␈↓ λ→␈ε~∀␈↓ λ2␈εn␈↓ λB␈εε,␈↓ λN␈εεg␈α␈cd␈↓ λs␈εε(␈↓ λ|␈εk␈↓ 		␈εε,␈↓ 	⊂␈εn␈↓ 	 ␈εε)␈α↓=1
␈β
↑␈↓ α≡␈εε2␈↓ α*␈ε→␈↓ α9␈εi␈↓ αD␈εε/␈↓ αP␈εn
␈β
b␈↓ ↓H␈ε	|␈↓ ↓f␈εβ=␈↓ α⊃␈ε	e␈↓ αa␈εβ;␈αth␈α}us,␈αth␈α␈e␈αroo␈α␈ts␈αof␈↓ ∧z␈εβ␈	␈↓ ¬≡␈εβ(␈↓ ¬)␈ε	x␈↓ ¬;␈εβ)␈αa␈α␈re␈αth␈α␈e␈αcom␈α␈plex␈α
primitiv␈α␈e␈↓ λS␈ε	n␈↓ λg␈εβth␈αro␈α␈ots␈αo␈α␈f␈αun␈α␈ity.␈α$(a␈α␈)
␈β
l␈↓ ¬∞␈εn
␈β	␈↓ ↓H␈εβPro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ αl␈εβ␈	␈↓ β⊃␈εβ(␈↓ β≤␈ε	x␈↓ β.␈εβ)␈αis␈αa␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈αwith␈αin␈α␈t␈α␈eger␈αco␈α␈e}cien␈α}ts,␈αsatisfying
␈β∀␈↓ β↓␈εn
␈β*␈↓ ∧↑␈ε↓Y␈↓ π3␈ε↓Y
␈βJ␈↓ βY␈εn␈↓ π}␈εd␈↓ λX␈ε⊗␈↓ λg␈εε(␈↓ λo␈εn␈↓ 	␈εε/␈↓ 	␈εd␈↓ 	≠␈εε)
␈βP␈↓ βH␈ε	x␈↓ βq␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α	=␈↓ ¬⊃␈εβ␈	␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	x␈↓ ¬Q␈εβ);␈↓ ε3␈εβ␈	␈↓ εX␈εβ(␈↓ εc␈ε	x␈↓ εt␈εβ)␈α
=␈↓ πa␈εβ(␈↓ πl␈ε	x␈↓ λ∀␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ λM␈εβ)␈↓ 	#␈εβ.
␈βZ␈↓ ¬&␈εd␈↓ εG␈εn
␈β↓␈↓ ∧←␈εd␈↓ ∧n␈ε~∧␈↓ ∧z␈εn␈↓ π4␈εd␈↓ πC␈ε~∧␈↓ πP␈εn
␈β0␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ε5␈εα)
␈β3␈↓ ↓T␈εβCf.␈α∂ex␈α}ercises␈α∂4.5.2␈α␈↑10␈α␈(b)␈α∂an␈α␈d␈α∂4.5␈α␈.␈α↓3␈α␈↑28␈α␈(c).␈↓ εb␈εβ(b␈α␈)␈α∂P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α∂th␈α␈at␈↓ λF␈εβ␈	␈↓ λk␈εβ(␈↓ λv␈ε	x␈↓ 	π␈εβ)␈α∂i␈α↓s␈α∂irred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α∂o␈α␈v␈α␈e␈α␈r
␈β=␈↓ λZ␈εn
␈βV␈↓ 	Y␈εn
␈βZ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αth␈α␈e␈αab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αfor␈α␈m␈α␈ula␈αis␈αth␈α␈e␈αcom␈α␈plete␈αfacto␈α␈rization␈αo␈α␈f␈↓ 	H␈ε	x␈↓ 	q␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αo␈α␈v␈α}er␈αthe
␈β
α␈↓ ↓H␈εβin␈α}tegers.␈α~[␈ε⊂␈α↓Hin␈α␈t␈α␈:␈εβ␈α
If␈↓ β\␈ε	f␈↓ βl␈εβ(␈↓ βw␈ε	x␈↓ ∧	␈εβ)␈αi␈α↓s␈αan␈αi␈α↓rre␈α␈du␈α␈cible␈αfac␈α␈tor␈αo␈α␈f␈↓ π≡␈εβ␈	␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε	x␈↓ π`␈εβ)␈αo␈α␈v␈α␈er␈αthe␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈α
a␈α␈nd␈αif␈↓ 
`␈ε	⊂␈↓ 
z␈εβis␈αa
␈β

␈↓ π3␈εn
␈β
&␈↓ εs␈εp
␈β
*␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈x␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
with␈↓ ∧∪␈ε	f␈↓ ∧#␈εβ(␈↓ ∧.␈ε	⊂␈↓ ∧<␈εβ)␈α=␈α0␈α␈,␈α
pro␈α␈v␈α}e␈αtha␈α␈t␈↓ εK␈ε	f␈↓ ε[␈εβ(␈↓ εf␈ε	⊂␈↓ π↓␈εβ)␈α=␈α0␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α␈ll␈α
pr␈α␈i␈α↓m␈α␈es␈↓ 	3␈ε	p␈↓ 	P␈εβn␈α␈ot␈αdivid␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈β
M␈↓ ¬@␈εn
␈β
Q␈↓ ↓H␈εβIt␈αmay␈αh␈α␈elp␈αto␈αuse␈αthe␈αfact␈αth␈α␈at␈↓ ¬/␈ε	x␈↓ ¬Y␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αi␈α↓s␈αsqu␈α␈arefree␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λY␈ε	p␈↓ λv␈εβfor␈αsuch␈αp␈α␈rimes.]␈α≤(␈α↓c␈α␈)
␈β
y␈↓ ↓H␈εβDiscu␈α␈ss␈αth␈α␈e␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tion␈αo␈α␈f␈↓ ∧G␈εβ␈	␈↓ ∧k␈εβ(␈↓ ∧v␈ε	x␈↓ ¬λ␈εβ),␈αan␈α␈d␈αtab␈α␈ulate␈α
the␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αfo␈α␈r␈↓ λ>␈ε	n␈↓ λ\␈ε↔∃␈εβ␈α	15␈α␈.
␈β∞β␈↓ ∧[␈εn
␈β∞*␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβ[␈ε	M22␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(Geo␈α␈rge␈αλE␈α↓.␈α	C␈α␈oll␈α↓in␈α␈s.␈α↓)␈α∪Let␈↓ ¬`␈ε	d␈↓ ¬⎇␈εβ,␈↓ ε∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε;␈εβ,␈↓ εN␈ε	d␈↓ εr␈εβbe␈αλpositiv␈α␈e␈αλin␈α␈teg␈α␈ers␈α	wh␈α␈ose␈αλsum␈αλi␈α↓s␈↓ 
P␈ε	n␈↓ 
d␈εβ,␈α
a␈α␈nd
␈β∞4␈↓ ¬p␈εε1␈↓ ε]␈εr
␈β∞Q␈↓ ↓H␈εβlet␈↓ ↓y␈ε	p␈↓ α⊗␈εβb␈α␈e␈α
p␈α␈rime.␈α∞W␈α↓h␈α␈at␈αis␈αthe␈αp␈α␈roba␈α␈bility␈αtha␈α␈t␈αthe␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αfa␈α␈ctors␈αo␈α␈f␈α
a␈αra␈α␈nd␈α␈om␈↓ 
n␈ε	n␈↓ α␈εβth␈α␈-
␈β∞y␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ ∧M␈ε	u␈↓ ∧a␈εβ(␈↓ ∧l␈ε	x␈↓ ∧⎇␈εβ)␈αhav␈α}e␈αdeg␈α␈rees␈↓ εZ␈ε	d␈↓ εv␈εβ,␈↓ π␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π8␈εβ,␈↓ πN␈ε	d␈↓ πj␈εβ?␈α∞S␈α␈ho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αthis␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈αis
␈β∂β␈↓ εi␈εε1␈↓ π]␈εr
␈β∂ ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈sym␈α␈ptotica␈α␈ll␈α↓y␈αth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αa␈α␈s␈αthe␈αpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈αtha␈α␈t␈αa␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αp␈α␈erm␈α␈ut␈α␈ation␈αo␈α␈n␈↓ 
⊂␈ε	n␈↓ 
0␈εβe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈β∂H␈↓ ↓H␈εβh␈α␈as␈αcy␈α}cles␈αof␈αleng␈α␈ths␈↓ β|␈ε	d␈↓ ∧_␈εβ,␈↓ ∧,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Y␈εβ,␈↓ ∧m␈ε	d␈↓ ¬	␈εβ.
␈β∂S␈↓ ∧␈εε1␈↓ ∧|␈εr
␈β∂y␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβ[␈ε	M47␈↓ αX␈εβ]␈α⊗(V.␈αR.␈αPratt.)␈α≠If␈αpo␈α␈ssible,␈α|n␈α␈d␈αa␈αway␈αto␈αc␈α␈ons␈α␈truct␈αproo␈α␈fs␈αof␈αirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈il␈α↓ity
␈β⊂ ␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α
all␈α∞p␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈α
th␈α␈at␈α
are␈α
irre␈α␈du␈α␈ci␈α↓b␈α␈le␈α
o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α
the␈α
in␈α␈te␈α␈gers,␈α∞so␈αtha␈α␈t␈α∞t␈α␈he␈α
len␈α␈gth␈α
o␈α␈f␈α∞p␈α␈roo␈α␈f
␈β⊂H␈↓ ↓H␈εβis␈α∞a␈α␈t␈α∞mo␈α␈st␈α∞a␈α∞p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α∞i␈α↓n␈α
d␈α␈eg(␈↓ ¬∨␈ε	u␈↓ ¬3␈εβ)␈α∞a␈α␈nd␈α
the␈α
l␈α↓e␈α␈ngt␈α␈h␈α∞o␈α␈f␈α∞i␈α↓ts␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts.␈α≡(Only␈α
a␈α∞b␈α␈ou␈α␈nd
␈β⊂o␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈ε⊂␈αleng␈α␈th␈εβ␈αo␈α␈f␈α
p␈α␈roof␈αis␈αrequ␈α␈ested␈αhere␈α␈,␈α
as␈αin␈αex␈α}ercise␈α4.5␈α␈.␈α↓4␈α␈↑17␈α␈,␈α
n␈α␈ot␈αa␈αbo␈α␈un␈α␈d␈αon␈αthe␈αtime
␈β⊃↔␈↓ ↓H␈εβn␈α␈eed␈α␈ed␈αto␈α
|n␈α␈d␈αsu␈α␈ch␈αa␈αp␈α␈roo␈α␈f.␈α↓)
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓∩∪018:<@ABCPQSXYZaxx/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=⊂∩!"'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=	∩"'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXY[\]↑abcdefghijklmnopqrstuvwxyz|⎇}}/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=0CEHINQSTUU/FONT#5=cmr7[XGP,SYS]=()+,./0123456789<[]gll/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()+,./0123456=cdgll/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=/12344/FONT#8=cmi10[XGP,SYS]=∞→#ABCDIMNOPQRSVabcdefghijkmnpqrstuvwxyzz/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=
∞⊂∩⊗_#0123456789ABDFGHMNOPQRSUVWXYZabdefghjkmnpqrstuvwxz||/FONT#11=cmi7[XGP,SYS]=∞→aceijkmnprstt/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=⊗→NTdeijkmnprstxx/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=cdjkmnqrtt/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=ACDEFHILMNOPRSTVYZZ/FONT#15=cms10[XGP,SYS]=∞≥',-.ABCDEFGIJLMNPQSTUZabcdefghiklmnopqrstuvwxyz|}}/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=∪'.:CEHJLMNPSacdefghilmnopqrstuvwyy/FONT#18=cmb10[XGP,SYS]=.0123456789ABCDEFGHLMNRSTUabcdefghilmnopqrstuvyzz/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.01234567899/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=↓αε⊃∀∃≤ 12fgj⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓α⊃∀∃≤ !1fgjpp/FONT#25=cmsy7[XGP,SYS]=ε∀00/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=∧∀∃!011/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=*.1246ACDEFHILMNOPRSTXYabcefilmnorstvyzz